新的周期准互补序列集构造方法_陈晓玉.pdf

2023 年 5 月 Journal on Communications May 2023 第 44 卷第 5 期 通 信 学 报 Vol.44 No.5新的周期准互补序列集构造方法 陈晓玉1,2，王成瑞1,2，刘凡1,2（1.燕山大学信息科学与工程学院，河北 秦皇岛 066004；2.河北省信息传输与信号处理重点实验室，河北 秦皇岛 066004）摘 要：为解决完备互补序列集序列数目受限的问题，构造了周期准互补序列集。首先基于循环 Florentine 阵列，应用N上的映射函数构造了几乎最优周期准互补序列集，所构造的周期准互补序列集具有全新的子序列长度；其次基于单重合跳频序列集，定义q到(1)q q上的映射函数，构造了渐近最优周期准互补序列集。对比结果表明，与现有周期准互补序列集相比，所提方法在子序列长度相同时包含更多的序列数目，可以在多载波通信系统中支持更多用户。关键词：准互补；几乎最优；渐近最优；循环 Florentine 阵列；单重合跳频 中图分类号：TN911.2 文献标志码：A DOI:10.11959/j.issn.1000436x.2023100 New construction method of periodic quasi-complementary sequence set CHEN Xiaoyu1,2,WANG Chengrui1,2,LIU Fan1,2 1.College of Information Science&Engineering,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China 2.Hebei Province Key Laboratory of Information Transmission and Signal Processing,Qinhuangdao 066004,China Abstract:To solve the problem that the number of sequences in the complete complementary sequence set is limited,pe-riodic quasi-complementary sequence set was constructed.Firstly,based on the circular Florentine array,the near optimal periodic quasi-complementary sequence set was constructed by using the mapping function onN.The obtained period-ic quasi-complementary sequence sets had new subsequence lengths.Secondly,based on the one-coincidence frequen-cy-hopping sequence set,the asymptotically optimal periodic quasi-complementary sequence set was constructed by de-fining the mapping function from q to(1)q q.The comparison results show that compared with the existing periodic quasi-complementary sequence sets,the proposed method contains more sequences with the same subsequence length,and can support more users in multi-carrier communication system.Keywords:quasi-complementary,near optimal,asymptotically optimal,circular Florentine array,one-coincidence fre-quency-hopping 0 引言 完备互补序列集（PCSS,perfect complementary sequence set）也称相互正交互补序列集（MOCSS,mutually orthogonal complementary sequence set）,可以看作二维矩阵的集合，每个二维矩阵表示一个完备互补序列，任意 2 个互补序列对应位置的子序列的互相关函数和为零1-2。PCSS 具有理想的相关特性，因此，在许多实际应用，如降低峰均功率比、信道估计、多输入多输出（MIMO）雷达设计等场景中都备受关注。文献3首先提出 PCSS 可以应用在异步多载波码分多址（MC-CDMA,multicarrier code-division multiple-access）系统中，理论上可以完全消除多径干扰（MPI,multipath interference）和多址干扰（MAI,multiple access interference）。异步多载波码分多址系统应用 PCSS 作为扩频收稿日期：20230126；修回日期：20230426 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No.62241110）；河北省自然科学基金资助项目（No.F2021203078）；河北省高等学校科学技术研究项目（No.ZD2022026）；河北省重点实验室项目（No.202250701010046）Foundation Items:The National Natural Science Foundation of China(No.62241110),The Natural Science Foundation of HebeiProvince(No.F2021203078),Science and Technology Project of Hebei Education Department(No.ZD2022026),Hebei Key Labor-atory Project(No.202250701010046)第 5 期 陈晓玉等：新的周期准互补序列集构造方法 207 序列，为每个用户分配一个特定的互补序列，互补序列的数目决定了系统能支持的用户数目4。然而，PCSS 的集合大小受到互补序列的子序列数目的限制，系统所能支持的用户数目有限。Liu 等5-6首次提出准互补序列集（QCSS,quasi-complementary sequence set）的概念，QCSS 允许其最大周期相关函数幅值max为一个较小的值，可以解决传统 PCSS子序列数目受限的问题。文献5推导了周期 QCSS参数max的下界，此下界有助于在多个参数的制约中寻找最优的周期 QCSS。为了支持更多的用户，构造最优或几乎最优的周期 QCSS 至关重要。文献5首先利用 Singer 差集构造了渐近最优周期 QCSS。文献7改进了文献5构造方法，基于几乎差集和差集构造了新的渐近最优周期 QCSS，文献5构造方法为其特例。文献8-9利用有限域的加法特征和乘法特征构造了多个渐近最优周期QCSS族。文献10基于低相关序列集和二元序列支撑集构造了周期 QCSS。文献11基于有限域的加法特征提出了小字符集渐近最优周期 QCSS 的构造框架，并基于此框架构造了 3 种小字符集的渐近最优周期 QCSS。现有周期 QCSS 的构造方法多数是利用有限域上的加法和乘法特征来实现的，本文通过最大周期汉明相关函数为 1 的序列集与相应的映射函数构造周期 QCSS。本文首先基于循环 Florentine 阵列（CFA,cir-cular Florentine array），利用N上的映射函数构造了几乎最优周期 QCSS，且该周期 QCSS 在子序列长度为素数情况下能达到渐近最优，所构造的周期QCSS 具有全新的子序列长度；其次基于单重合跳频序列（OC-FHS,one-coincidence frequency-hopping sequence）集和定义在q到(1)q q上的映射函数，构造了渐近最优周期 QCSS，较现有周期 QCSS 有更多的序列数目。1 基本概念 本文使用的一些符号定义如下。1)N表示模 N 的整数环。2)C表示序列集。3)表示互补序列。4)C表示互补序列子序列。5)*x 表示 x 的复共轭。6)x表示 x 的绝对值。定义 1 2个 长 度 为N的 复 数 序 列011(,)Na aaa和011(,)Nb bbb，其周期相关函数定义为 1*,0(),0tNtt Ra bNa b(1)其中，t为模N运算。当ab时，,()Ra b称为序列a的周期自相关函数，记为()R a。定义 2 011,KC是一个包含 K 个序列的集合，每个序列011,kkkkM 包含 M条子序列，每条子序列,0,1,1,kkkkmmmm NcccC的长度为 N。则序列1212,(0,1)kkk kK的周期相关函数表示为 12121,0()(),0kkkkmmMmRRNCC(2)C的 最 大 周 期 自 相 关 函 数 的 幅 值 为max|()|:0kaRN，最大周期互相关函数的幅值为1212,max|()|:,0kkcRkkNCC，最大周期相关函数的幅值为maxmax,ac。当max0MN时，称序列集C为周期准互补序列集，表示为max(,)-QCSSK M N；当max0时，称序列集C为完备互补序列集。定义 35 若 序 列 集C是max(,)-K M N QCSS，则满足 max(1)KMMNKNM(3)其最优因子定义为 max(1)KMMNKNM(4)若1，则称序列集C为最优周期QCSS；若12，则称序列集C为几乎最优周期QCSS；当N足够大时，若趋近于1，则称序列集C为渐近最优周期QCSS。定义 412 对于一个r行N列的阵列，其元素取自N个 符 号 构 成 的 集 合I，第i行 记 为(0),(1),(1)iiii N，其中0ir，若该阵列满足如下性质，则称此阵列为循环 Florentine阵列。1)同一行内元素各不相同。2)设011N，对于集合I中的任意2个208 通 信 学 报 第 44 卷 符号a、b，至多存在一行满足()i ta且0()i tb，其中，01tN ，0t为模N运算。一般而言，CFA中的N个不同的符号可以是任意固定的集合，但本文中，定义其在N上。对于一个每行包含(2)N N个不同符号的CFA，其最大行数定义为()F N。引理 112 对于一个()F NN的CFA，()F N有如下性质。1)当N为偶数时，()1F N。2)当p是N的 最 小 素 数 因 子 时，1()1pF NN。3)当N是素数时，()1F NN。4)当N 15 mod 18时，()3F NN。定义 5 设011,qFfff是一个包含q个频点的集合，011(,)xxxxLsssS和011(,)yyyyLsssS是定义在频点集合F上的跳频序列，其中,xyllssF。周期汉明相关函数定义为 1,0(,),0 xyLxyll lHh ssLss (5)其中，1,(,)0,ijijijffh ffff。定义 6 设011(,)Ls ssS表示一个周期为L 的跳频序列，如果在一个周期内序列所有频点都不相同，即满足()0,0HS，则称序列为非重复跳频序列。定义 7 对于一个非重复跳频序列集，若任意两条序列的最大周期汉明相关函数值为 1，则称该非重复跳频序列集为单重合跳频序列集。引理 213 取一个素数 p 及有限域GF()p 上度为 n 的本原多项式，取为有限域GF()np上的本原元，构造序列集011,np SSS，其中，012(,),GF()npnjjjjja aaapS,01njp，则序列集是一个OC-FHS集。2 本文构造方法 2.1 基于 CFA 构造周期 QCSS 构造法 1 取一个定义在N上的()F NN的CFA，令k是 该 阵 列 的 第 k 行，其 中，0()1kF N。对于任意Nm和Nn，设映射函数(,):k mnNNf为 (,)()()modk mnkftn tmtN(6)其中，01tN。对于每个0()1kF N，构造序列集,0,1,1,kkkk NC，表示为 (,)(,)(,)(,)0,00,10,10(,)(,)(,)(,)1,01,11,1(,)1(,)(,)(,)(,)1,01,11,11k mk mk mk mNk mk mk mk mNk mk mk mk mk mNNNNNcccccccccCCC 其中，(,)()(,),k mnftk mn tNc,21eNN。定理1 构造法1得到的序列集kC有如下性质。1)对于任意0()1kF N，kC是一个完备互补序列集。2)对于任意2个不同的完备互补序列集1kC与2kC，其 集 间 互 相 关 函 数 的 上 界 为N。即(,)(,)11221,0()k mkmnnNnRNCC，其 中，120kk()1F N，120,1m mN，01N 。3)当N为奇数时，令01()1F N CCCC，则C构成几乎最优周期(),)-QCSSNF NN N N；当N是素数时，C为渐近最优周期QCSS。证明 取2211(,)(,),k mk mC，其中，120,k k()1F N，120,1m mN，在不失一般性的前提下，假设12mm，则11(,)k m和22(,)km的周期相关函数为 1122(,)(,)12122(,)(,)11122221111,*,00011()()0011()()()00()()k mkmnnk mkmnnkkNNNk mkmn tn t nntNNftft NNntNNn tt t mmm NntRCCCC(7)其中，t为模N运算。下面将分4种情况证明定理1的性质1)。情况 1 1212,0kk mm (,)(,)112212,0(0)k mkmnnNnRNCC(8)情况 2 1212,11kk mmN 对 于 任 意0，由 定 义4可 知，11()()kktt，11(),()kkNt t，因 此11|()()|kkttN，则有1()kNt 1()kt。因此 第 5 期 陈晓玉等：新的周期准互补序列集构造方法 209 (,)(,)11222121,011()()00()0k mkmnnkkNnNNn tt m NNntRCC(9)情况 3 1212,0kk mm 因 为12mm，又1201mmN，则12|mmN，所以12()Nmm。因此 12(,)(,)1122111(),000(0)0k mkmnnNNNt mmNnntRCC(10)情况 4 1212,11kk mmN (,)(,)1122122111,011()()()00()0k mkmnnkkNnNNn tt t mmm NNtnRCC(11)从以上4种情况可知，对于任意0()kF N，kC都是一个完备互补序列集。下面将对定理1的性质2)进行证明。当12kk时，有 (,)(,)1122122121,011()()()00()k mkmnnkkNnNNn tt t mmm NNtnRCC(12)由定义4可知，对于任意01tN ，12()()0kktt至多只有一个解。若此解存在，则将其记为0t，即1200()()0kktt。此时 (,)(,)112220122121201,0()1()()()01,0()k mkmnnkkNnmtmmNNn tt m t mmNNNtNt tnRN CC(13)由于21(),()kkNt t，12()()kktt，12|()()|kkttN，则12()()kkNtt，因此，式(13)第三行为零，即对于任意的12kk，(,)(,)11221,0|()|k mkmnnNnRNCC。下面将对定理1的性质3)进行证明。由 上 述 证 明 可 知，C可 构 成(),)NF NN N N-QCSS，假设在此参数情况下C不能达到几乎最优，即 max2(1)KMMNKNM 22221()1)24()1()()1)NNF NN F NNF NNNN F NN 即 2(43()1NF N(14)当N为奇数时，设p是N的最小素数因子，1()1pF NN，又 因 为3p，所 以()2F N，即2(43()0NF N恒成立，与式(14)矛盾。因此，序列集C是一个几乎最优周期(),)-QCSSNF NN N N。当N是素数时，最优因子可表示为 max2232(1)1(1)2(1)1()1KMMNKNMNN NNNNNNNNNN(15)当N趋近于无穷时，有 321lim121NNNNN(16)综上，定理1得证。例 1 取一个45的CFA，有 05152535()(0,1,2,3,4),()(0,2,4,1,3)()(0,3,1,4,2),()(0,4,3,2,1)通过构造法1，可以得到4个完备互补集0123,C C C C,令0123CCCCC，则C为(20,5,5,5)-QCSS，计算其最优因子1.149，表明C构成几乎最优周期QCSS。2.2 基于 OC-FHS 集构造周期 QCSS 通过计算循环Florentine阵列的周期汉明相关函数发现，其周期汉明相关函数最大值为1，因此循环Florentine阵列可视为一种特殊的OC-FHS集，下面基于OC-FHS给出构造法2。构造法 2 选取素数p及有限域GF()p上的度为n的本原多项式，为GF()np本原元，记nqp，通过引理2构造OC-FHS集。对于任意1qm和qn，定义映射函数(,)(1):k mnqq qf为 (,)()(1)()mod(1)k mnkftqnS tqmtq q(17)其中，02tq。对于每个01kq，构造序列集,0,1,2,kkkk qC，表示为 210 通 信 学 报 第 44 卷 (,)(,)(,)(,)00,00,10,2(,)(,)(,)(,)11,01,11,2(,)(,)(,)(,)(,)11,01,11,2k mk mk mk mqk mk mk mk mqk mk mk mk mk mqqqqqcccccccccCCC 其中，(,)()(,),(1k mnq qftk mn tc,21(1)(1)eq qq q。定理2 构造法2得到的序列集kC有如下性质。1)对于任意01kq，kC是一个完备互补序列集。2)对于任意2个不同的完备互补序列集1kC与2kC，其 集 间 互 相 关 函 数 的 上 界 为q，即(,)(,)11221,0()k mkmnnqnqRCC，其中，1201kkq，02q ，120,2m mq。3)当2q 时，令011qCCCC，则C构成渐近最优周期(1),1,)-QCSSq qq qq。证明 取2211(,)(,),k mkmC，其 中，120,1k kq，120,2m mq，且(,)()k mnft由式(17)给出，11(,)k m和22(,)km的周期相关函数为 1122(,)(,)21122(,)(,)11222121112,*,00012()()(1)(1)0012()()()100()()k mkmnnk mkmnnkqqqk mkmn tn t nntqqftft q qq qntqqStSt t mmm qqntRCCCC 2121221()()()1100kkqqn StSt m t mmqqqtn(18)其中，t为模(1)q 运算。定理2的性质1)和性质2)的证明与定理1的证明类似，在此不再赘述。下面将对定理2的性质3)进行证明。令011qCCCC，则C构 成(1),1,)-QCSSq qq qq，计算其最优因子 max22(1)1(1)2(1)(1)(1)1)(1)1KMMNKNMqq qqqq qqq qqq q221(1)(2)(1)1qqq q (19)当q趋向于无穷时，有 221lim1(1)(2)(1)1qqqq q(20)因此，C为渐近最优周期QCSS。综上，定理2得证。例 2 对于33GF(2),()1h XXX是GF(2)上度为3的本原多项式，是3GF(2)的本原元，2222(1,1,1,1)K，K的十进制表示为1,2,4,3,6,7,5dK，记为序列0S，序列集017,SSS表示为 01234567(1,2,4,3,6,7,5),(0,3,5,2,7,6,4),(3,0,6,1,4,5,7),(5,6,0,7,2,3,1),(2,1,7,0,5,4,6),(7,4,2,5,0,1,3),(6,5,3,4,1,0,2),(4,7,1,6,3,2,0)SSSSSSSS 通过构造法2可生成8个完备互补序列集01234567,C C C C C C C C，令序列集01C=CC 234567CCCCCC，则C为(56,8,7,8)-QCSS，计算其最优因子1.153。表1给出了当子序列长度逐渐增加时，通过构造法2产生的渐近最优QCSS参数，由表1可以发现，随着子序列长度的增加，所构造的周期QCSS的max趋近于1。表 1 渐近最优 QCSS 参数 p,n,q 值 K M N max p=2,n=3,q=8 56 8 7 1.153 p=3,n=2,q=9 72 9 8 1.133 p=2,n=4,q=16 240 16 15 1.069 p=5,n=2,q=25 600 25 24 1.043 p=3,n=3,q=27 702 27 26 1.039 p=7,n=2,q=49 992 32 31 1.033 3 构造方法对比 本节将现有周期QCSS与本文提出的两类周期QCSS进行了对比，结果如表2所示。对比的构造方法中除文献10中第一种方法构造了几乎最优周期QCSS外，其余方法构造产生的周期QCSS均能实现渐近最优，即最优因子趋近于1。本文所提构造法1受所选循环Florentine阵列参第 5 期 陈晓玉等：新的周期准互补序列集构造方法 211 数的影响，在N为素数情况下能实现渐近最优周期QCSS，在N为奇数情况下只能实现几乎最优周期QCSS；构造法2能够实现渐近最优周期QCSS。现有周期QCSS的构造方法多是利用有限域上的加法特征与乘法特征实现的，子序列长度与素数或素数的幂次有关，本文提出的构造法1基于()NF N阶循环Florentine阵列和N上的映射函数，可以生成(),)-QCSSNF NN N N，其中包含现有构造方法尚未覆盖的新子序列长度的周期QCSS，如子序列长度为21、25、33、35、39等的周期QCSS；本文构造法2虽然子序列长度形式也受限于素数或素数的幂次，但与现有构造方法相比，本文提出的构造法2可以在子序列长度相同时生成更多的序列，例如，当p=5，n=1时，文献11的方法1生成的序列集为(5,2,4,3)-QCSS，而本文构造法2则可以生成(20,5,4,5)-QCSS，在相同子序列长度下序列数目更多，可以在多载波通信系统中支持更多的用户。文献11提出的构造方法在子序列长度为1np时其字符集大小为p，与其相比，本文所提2种构造方法使用的字符集较大，构造法1在子序列长度为N时字符集大小为N，构造法2在子序列长度为1np时字符集大小为(1)nnpp。4 结束语 本文首先基于循环Florentine阵列，利用N上的映射函数构造了一类几乎最优周期QCSS，当子序列长度为素数时能达到渐近最优；其次基于单重合跳频序列集与定义在q到(1)q q上的映射函数，构造了渐近最优周期QCSS。2种构造方法获得了具有新参数的周期QCSS，可以作为扩频序列应用到多载波通信系统中以适应更多的应用场景。参考文献：1 RATHINAKUMAR A,CHATURVEDI A K.Complete mutually 表 2 周期 QCSS 参数比较 构造方法 K M N max 约束条件 文献7方法 p 12p p 122pp p是素数 文献8方法 1 2np 12np 1np 2432nnpp p是奇素数 文献8方法 2 22np np 21np 2()3nnpp p是素数 文献9方法 1 1np 12np 1np 22nnpp p是奇素数 文献9方法 2 1np 1np 1np 12np p是素数，n1 文献9方法 3 21np np 21np 32np p是素数 文献10方法1 np 2np 1np 2223nnpp 2p 文献10方法2 1np 12np 1np 22nnpp p是奇素数 文献11方法1 np 12np 1np 12np p是奇素数且3np 文献11方法2 np 12nnpp 1np 12nnpp p是奇素数且3np 本文构造法 1 NF(N)N N N N 是奇数 本文构造法 2(1)nnpp np 1np np p是素数且3np 212 通 信 学 报 第 44 卷 陈晓玉（1983），女，内蒙古赤峰人，博士，燕山大学副教授、硕士生导师，主要研究方向为序列设计、无线通信技术。王成瑞（1999），男，山东泰安人，燕山大学硕士生，主要研究方向为序列设计。刘凡（1998），女，河北唐山人，燕山大学硕士生，主要研究方向为序列设计。orthogonal Golay complementary sets from reed-muller codesJ.IEEE Transactions on Information Theory,2008,54(3):1339-1346.2 SUEHIRO N,HATORI M.N-shift cross-orthogonal sequencesJ.IEEE Transactions on Information Theory,1988,34(1):143-146.3 CHEN H H,YEH J F,SUEHIRO N.A multicarrier CDMA 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