微分方程法在中值定理问题辅助函数构造中的应用.pdf

第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.021高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023微分方程法在中值定理问题辅助函数构造中的应用张良，郭如强，王燕，解小莉（西北农林科技大学理学院，陕西杨凌7 12 10 0）摘要本文基于微分方程理论结合罗尔中值定理，给出一类二阶中值问题辅助函数构造的通用思路和方法，将原本复杂的二阶中值问题转化为简单的求解微分方程问题.通过实例说明本文所提出的方法具有很高的普适性。关键词中值定理；微分方程法；罗尔中值定理；辅助函数中图分类号0 13Differential Equation and the Construction ofAuxiliary Functions for 2nd Order Mean Value ProblemsZHANG Liang,GUO Ruqiang,WANG Yan,and XIE Xiaoli(School of Science,Northwest A&F University,Yangling 712100,China)Abstract With differential equation and Rolles theorem,this paper presents a general idea and method forthe construction of auxiliary functions for a class of second-order mean value problems,which transformsthe problems into a simple problem of solving differential equations.Examples are given to show the appli-cable of the proposed method.Keywords Mean value theorem,differential equation,Rolles theorem,auxiliary function文献标识码A文章编号10 0 8-1399(2 0 2 3)0 3-0 0 58-0 3通解去构建一阶中值定理辅助函数的方法5，唐珑1引言涛创立了一种构造辅助函数的万能方法6。目前对中值定理的证明是考研数学及竞赛数学的重点考察题型之一，对学生的思维能力有很高的要求.大部分中值定理问题都能归结为罗尔定理的应用，这类题型的解题关键就是辅助函数的构造，但是辅助函数的构造并非十分容易.为了构造辅助函数，李选平等引人了待定系数法1，刘文武采用了凑原函数法2 ，李兴东提出了积分因子法3，王志刚运用了积分构造法4，陈兆斗给出了利用一阶线性微分方程于一阶中值问题的辅助函数构造有比较通用的微分方程法，但对于二阶问题却没有一个比较通用的方法.本文基于找原函数的思想，借助微分方程求通解的思路，给出了一类二阶中值问题辅助函数构造的通用方法.该方法能让这类中值问题的证明变成一道简单的微分方程求解.2微分方程的思路和步骤收稿日期：2 0 2 1-11-12基金项目：陕西省自然科学基金（2 0 2 3-JC-YB-083）；陕西省“十四五”教育科学规划2 0 2 2 年度课题（SGH22Y1250）；西北农林科技大学理学院2 0 2 1年“课程思政”示范课程建设项目（2 0 2 10 1）；陕西省“十三五”教育科学规划2 0 2 0 年度课题（SGH20Y1044)；陕西省高等教育学会2 0 2 1年高等教育科学研究项目（XGH21056）.作者简介：张良（197 9一），男，山东日照，博士，副教授主要从事应用数学和基础教学研究Email：z h a n g l s d 12 6.c o m.修改日期：2 0 2 2-0 3-0 22.1行微分方程法的原理中值问题中导数为零的问题往往可以写成F()=0的形式,可以将这个命题转为证明F()=C.也就是只要根据F（)=O去构造出F()=C,那么这个F（)就是我们寻求的辅助函数.这个过程就体现了微分方程的求解思路.再利用F（)这个辅助函数在题设区间利用罗尔定理就能使命题得第2 6 卷第3 期证7.对于二阶中值问题，利用微分方程法，其通解会带有两个任意常数，那么我们就需要对通解进行两次处理，构造中间辅助函数和问题辅助函数.中间辅助函数,顾名思义就是用以过渡的辅助函数，它的作用是将其结论用以问题辅助函数证明过程中.而问题辅助函数的作用就是使用中间辅助函数的结论作为条件对题目的问题进行证明.2.2行微分方程法的步骤假设要证明的二阶中值定理的结论为：日使G(E,f(E),f(s),f()=0.第一步:将换成,得G(,f()，f （),f()=0,并解出二阶微分方程的通解为H（，f(),Ci,C,)=0;第二步：反解C（常数具有任意性，这里也可以是C,),得Ci=h(c,f(),Cz）;第三步:对Ci=h（，f（),C,）关于求导并反解C得C,=(,f(),f();第四步:令g（)=h（，f（）,C），并利用题目已知条件去确定C的取值，设CCz，则g（)=h(，f（）,C）称为中间辅助函数；第五步:最后令F()=(，f(),f（),称为问题辅助函数.证明思路，利用已知条件对C2取值，则中间辅助函数g（）=h（，f（），C）必定具有三个函数值相等的点，由罗尔定理可得g（)具有2 个零点.g（)具有2 个零点等价F()于具有两个函数值相等的点,再利用一次罗尔定理可得F（)存在一个零点，而此零点即所求的.3典型例题选讲例1设函数f()在a,b连续,在(a,b）内二阶可导,且 f(a)=f(c)=f(b)=0,ac 0.（*)证明:存在E0成立.分析此题用配凑法和观察法构造辅助函数十分麻烦，但使用微分方程法就变成了一个简单的求解微分方程通解的问题.由（）式容易得到f（）在内存在一个零点，于是条件等价于43()=f()=f(c)=0.将结论中的换成,得微分方程y十2 y十2 y=0.易得通解为y=e-(Cicosa+C,sina).反解Ci 得，Ci=yeseca一Cztanc,取C为零可使g(r)=f()esecc有三个零点.对Ci=yesec一Cztana关于求导并反解C2，可得F()=e(f()cos+f()cos+f()sin),59令g()=ye-Cze=f()e-Czer.由已知f(a)=f(c)=f(b)=0,为了让中间辅助函数g()满足具有三个零点的性质，直接令g（a)=g（c)=g(b),得C=0,这样得到的g（)=f()e-就具有三个零点最后将C对应的式子令成问题辅助函数，即F()=e-2(y-y)=e-2(f()-f().元元连续，在元，元434360这样两个辅助函数就找出来了。证明（求(c）=0 部分省略）令g()=f()eseca,由()=(号)=f(c)=0,可得g(a)=g(c)=g(b)=0.根据罗尔定理,存在E（c)，使g(ni)=en(f(ni)secni+f(n)seci+f(m)secni tanni)=0.存在E(c.号),使g*(na)=em(f(ne)secme+f(ne)secn2+f(n2)secn2 tann2)=0,即 f(n:)secn:+f(n:)sec:+f(n;)secn:tann;=0.因为 （平-号)c0%0(i=1,2),因此上等价于f(n:)cosn;+f(n:)cosn:+f(n)sinn:=0,i=1,2再令F()=e(f()cosa+f()cosr+f()sinr).显然F（n）=F（n 2）=0.根据罗尔定理,存在EF($)=ecoss(f(s)+2f(s)+2f(s)=0,即()十2 f(s)十2 f(s)=0,命题得证.例3（2 0 13年考研真题）设奇函数（）在一1,1上二阶可导，(1)=1.试证明(1)存在E(0,1)，使f()=0.(2)存在nE(-1,1),使f(n)+f(n)=1.分析如果证明第二问用配凑法构建辅助函数，通常需要用第一问作为条件.但如果使用微分方程法，则此题并不需要第一问的提示直接可以求解第二问，这也将考研压轴题变得十分简单.在这里省略第一问的求解.由f（)为奇函数且定义域包含原点，则有f(-1)=-1，f(0)=0，f(1)=1,这也是三点问题.将结论中=换成，得微分方程：+y=1.易得通解为y=Ci+C2e-+a反解C 得,C=f（）一一Cze,取C为零可使g()=f()一满足g(-1)=g(0)=g(1)=0.再对Ci=f(）一一C2e-关于求导并反解C2，可得C,=(f()-1)e.令F()=(f()-1)e,这样两个辅助函数就找到了.高等数学研究证明设辅助函数g（）=f（）一，由条件f(-1)=-1,f(0)=0,f(1)=1,得g(-1)=g(0)=g(1)=0根据罗尔定理，存在mE（-1,0),使g(nm)=f(m)-1=0存在 n2 E(0,1),使g（m）)=f（m2）-1=0(这也证明了第一间.）即f(n）-1=0，（i=1,2).再令F()=(f()-1)e,显然F（n）=F（n 2）.根据罗尔定理，存在nE（n i，n2)E(-1,1),使F(n)=e(f(n)+f(n)-1)=0,即f(n)十f(n)=1,命题得证.上述三个例题说明本文所述方法能很大程度上降低三点二阶中值问题的证明难度.但有两点需要注意：第一点是找g()的时候其含有的任意常数不一定为零，第二点是适用的微分方程不仅仅是二阶常系数线性微分方程.下面再举两个例题进行说明.例4设函数f（)在0，4上二阶可导，且f(0)=0,f(1)=1,f(4)=2.试证明存在E（0,4)，使(6)=一1.3证明思路不难得到=一一的通解为316a+Ci+C,+青2-C2，于是得到此时反解C,得C,=f(）+中间辅助函数g()=f()+6相等,应该取 C=号,则有 g(0)=g(1)=g(4)=0.可见具体常数取值要具体问题具体分析.接下来对C.=(a)+青-Cia关于 求导并反解 C,得到6接下来的证明过程和前面的例子一样，通过1音去找寻F(2)的两个函数7g()=f()+6值相等的点，再利用罗尔定理证明最终结论.本文不再赞述.例5设函数（)在0,1上二阶可导，且f(1)=1,f(1)=1,f(0)+f(0)=2,f()0.试证明存在E（0,1),使f()十f(s)=0.(下转第6 9页)2023年5月?一Ci.为了让三点第2 6 卷第3期3计算曲线积分例3计算曲线积分中,5.其中线形状,故D=一.所以L为圆周十=3，依逆时针方向.V21解由题可得_yda+adyL5元-4y+5y22DP()=Q()=5元2-4ay+5yg，5-4.zy+5y2aPQ.可验证ay为54y+5y=1，由格林公式有d.yda+ady$-$-de+ady=2D.其中D为以L为边界的区域面积.令二次型f(a,y)=5-4y+5y2,5一2其矩阵A=.可求得A的特征值为入1=一253入2=7,对应特征向量为pi=故由正交变换XV2Y2范雅婷：二次型应用的教学案例可将二次型化为标准形f=3X十7 Y.此时椭圆3X+7Y=1的面积为一.因正交变换不改变曲-yda+ady以上几个实例给出了二次型理论在经济学、高故该曲线积分与路径无关.取L等数学等领域的应用，这些例子将抽象理论与实际问题巧妙契合、求解过程清晰，在提高学生学习兴趣、开阔知识面、培养学生探索解决问题等综合能力这些方面，是一种有益的探索与尝试.参考文献1D a v i d C.La y.线性代数及其应用M.3版刘深泉，洪毅等，译.北京：机械工业出版社，2 0 0 5.2同济大学数学系.工程数学线性代数M.6版.北京：高等教育出版社，2 0 16.3华东师范大学数学系.数学分析M4版.北京：高等教育出版社，2 0 10.4文军，屈龙江，易东云.线性代数课程教学案例建设研11V269V212元V21究JJ.大学数学，2 0 16，32（0 6）：46 52.5王勤.关于二次型的教学与应用J.高等数学研究，2013,16(01):77-79.(上接第6 0 页)证明思路止此题虽然不是三点问题，但是常规的配凑法十分麻烦，我们仍然可以使用微分方程法去求解其辅助函数.将换成，有微分方程 十y=0.如果按照二阶常系数线性微分方程的求解得到的通解=Cicosa十C2sina并不能用以此题.所以我们尝试将其看成可降阶的微分方程，令p=y,得通解为Ci=y十,即Ci=f（）+f（).由于此题并非三点问题，因此我们这样求得的辅助函数已经可以解决问题了。令F（）=f（）十f（），根据题意可知F(1)=F(0)=2,根据罗尔定理即可求解.具体证明本文不再赞述.4结束语上述分析表明，利用微分方程法去找寻辅助函数是比较便利的，同时这样的辅助函数能将一个复杂的中值问题转化为一个简单的微分方程求解问题.此方法还可以继续拓展去解决三阶中值问题甚至高阶问题，具有很强的实用性。参考文献1李选平，王国正.微分中值定理与待定系数法J.数学学习，1995（0 3）：2 0-2 2.2刘文武.两个微分中值定理证明中辅助函数作法探讨J.数学的实践与认识，2 0 0 5，（0 8：2 42-2 47.3李兴东.微分中值问题辅助函数的构造方法.兰州交通大学学报，2 0 0 8，（0 3）：151-153.4王志刚，田范基.辅助函数的积分构造法J.高等数学研究，2 0 13,16(0 3):36-38.5陈兆斗大学生数学竞赛习题精讲M北京：清华大学出版社，2 0 11.6唐珑涛中值定理证明题中辅助函数构造的万能方法J.高等数学研究，2 0 17,2 0（0 0 5）：40-41,2 1.7 张军，倪鑫，闫丝雨，等.利用微分方程求解微分中值问题的逆向思维方法J.高等数学研究，2 0 19，2 2（0 3）：15-17.