微分算子展开与耦合势三维有限体积法快速计算随钻超深前视电阻率测井响应非线性Born逼近.pdf

第6 6 卷第7 期2023年7 月王亚洲，汪宏年，康庄庄等2 0 2 3.微分算子展开与耦合势三维有限体积法快速计算随钻超深前视电阻率测井响应非线性Born逼近.地球物理学报，6 6（7）：310 2-3114，doi:10.6038/cjg2022Q0650.Wang Y Z,Wang H N,Kang Z Z,et al.2023.Efficient computation of nonlinear Born approximation of the LWD ultra-deeplook ahead resistivity measurement using coupled potentials 3D finite-volume method and differential operator expansion.Chinese J.Geophys.(in Chinese),66(7):3102-3114,doi:10.6038/cjg2022Q0650.地球物理学报CHINESE JOURNAL OF GEOPHYSICSVol.66,No.7Jul.,2023微分算子展开与耦合势三维有限体积法快速计算随钻超深前视电阻率测井响应非线性Born逼近王亚洲1，汪宏年1*，康庄庄，殷长春1吉林大学物理学院计算方法与软件国际中心，长春130 0 122吉林大学地球探测科学与技术学院，长春130 0 2 6摘要本文将非均质各向异性地层中电磁场耦合势Helmhotz方程分解为各向异性背景场方程与散射场方程，并应用算子展开技术推导出耦合势Born级数解，建立一套三维非均质各向异性地层中随钻超深前视电阻率测井响应各阶散射电磁场与非线性Born逼近的有效计算方法.首先，利用传输线法与二维插值技术确定背景电磁场空间分布，得到零阶Born逼近解，然后根据电磁场耦合势的Born级数解推导出各阶散射电磁场方程与递推关系，通过三维有限体积法实现各阶散射场耦合势方程的离散，在此基础上结合MKLPARDISO并行技术，通过递推方式逐步计算各阶散射电磁场，并根据Born级数部分和确定不同阶次的非线性Born逼近.最后利用数值模拟结果对正演算法加以检验，并深入研究分析各阶散射场的变化特征与Born级数的收敛性质.关键词三维有限体积法；非线性Born逼近；超深前视电阻率测井doi:10.6038/cjg2022Q0650Efficient computation of nonlinear Born approximation of the LWD ultra-deeplook ahead resistivity measurement using coupled potentials 3D finite-volumeWANG YaZhou,WANG HongNian*,KANG ZhuangZhuang,YIN ChangChun?1 International Center for Computational Method and Software,College of Physics,Jilin University,Changchun,130012,China2 College of Geo-exploration Science and Technology,Jilin University,Changchun,130026,ChinaAbstract In this paper,the Helmholtz equation of electromagnetic(EM)coupled potentials ininhomogeneous anisotropic formation is decomposed into two parts:anisotropic background EMequation and scattered EM equation caused by local scatterers.The generalized Born seriessolution of coupled potentials is derived by operator expansion technique.The solution is used tostudy the different order of scattered EM fields and the approximation of generalized Bornsolution of ultra-deep look ahead resistivity measurement while drilling in 3D complex formation.基金项目中国科学院先导专项A（XD A 140 2 0 10 2），国家自然科学基金项目（42 17 4150）和吉林省科技发展计划项目（YDZJ202102CXJD016）联合资助.第一作者简介王亚洲，男，1995年生，2 0 19年毕业于吉林大学物理学院，目前在吉林大学物理学院攻读博士学位，主要研究方向为电磁场三维正反演数值模拟.E-mail：18 8 4310 8 8 91 16 3.c o m*通讯作者汪宏年，男，196 2 年生，吉林大学物理学院教授、博士生导师，主要从事石油测井、可控源电磁与海洋电磁等方面的电磁场数值模拟与反演等研究E-mail：w a n g h n jlu.e d u,c n中图分类号P631method and differential operator expansion收稿日期2 0 2 2-0 8-15，2 0 2 3-0 1-0 7 收修定稿7期王亚洲等：微分算子展开与耦合势三维有限体积法快速计算随钻超深前视电阻率测井响应非线性Born逼近Firstly,for enhancement of both precision and efficiency of computation,the background EMfields is determined by the transmission line method(TLM)and the 2D interpolation technologyso that the zero-order Born approximate solution is obtained.Then the recursive relation of thescattered EM fields of different order is given according to the Born series solution.The 3D finite-volume method(3D FV)is applied to discretize the Helmholtz equation about coupled potentials.On this basis,MKL PARDISO parallel technology is used to calculate the scattered EM fields ofdifferent order in a recursive way.Finally,the numerical simulation results are used to validatethe algorithm,and the variation characteristics of different order scattering EM fields and theconvergence properties of the generalized Born series solution are further studied.Keywords 3D finite-volume method;Nonlinear Born approximation;Ultra-deep look ahead0引言随钻多分量电磁超深前视探测技术能够提供井眼周围50 m范围内油气层空间分布信息，是实现地质导向、精细油床描述以及储层评价的一项关键技术(Upchurch et al.,2015;Bittar et al.,2020).与常规随钻电磁波测井仪器（Fang，2 0 11；于蕾等，2021；Y u e ta l.，2 0 2 2)相比，超深前视探测技术采用较低工作频率和较长收发距提升其探测范围（R a b i n o v i c h e t a l.，2 0 11），随着探测范围的增加，需要对地层电导率进行更精细的描述，以便于更准确了解地层电导率的真实分布，因此三维电磁正反演技术就成为超深前视探测技术十分重要的研究课题(Clegg et al.,2019;Wang et al.,2019;Wu et al.,2019;Yan et al.,2022).目前，在实际应用中往往根据地层模型特征选择相应的正演模拟方法.对于一维层状地层主要采用解析法，如传输线法（Michalski and Mosig，1997；Yangetal.，2 0 14）、传播矩阵法（康庄庄等，2 0 2 0；Kang etal.，2 0 2 2）和广义反射系数方法（Hong etal.，2 0 14，2 0 17)等；而二维地层模型则可以采用数值模式匹配法（Wangetal.，2 0 0 8；汪宏年等，2021）、2.5D 有限差分法（Wuetal.，2 0 2 0，2 0 2 2）等；对于复杂三维地层则需要采用三维数值模拟技术，如三维有限元法（齐彦福等，2 0 2 0）、三维有限差分法（杨守文等，2 0 0 9）、三维有限体积法（Haberetal.，2 0 0 0；W a n g e t a l.，2 0 2 0）和积分方程法（陈桂波等，2 0 0 9)等.此外，基于二次场耦合势的三维有限体积法王亚洲等（2 0 2 2）也已展开了具体研究.需要指出的是，三维正演算法对计算机内存和计算速度均要求较高，特别是在进行三维电磁资料迭代反演过3103resistivity measurement程中，每修改一次地层电导率均需要重新进行三维正演计算，大大限制了三维反演算法在实际资料处理中的应用.因此，各种近似算法在电磁场数值模拟中也得到了广泛研究，其中最著名方法是Born逼近技术，该技术最初应用于量子散射问题，然后被引入到地震和电磁散射问题中（Chew，19 9 0；A k ia n dRichards，2 0 0 2），并在电磁场积分方程求解（Zhdanovand Fang，19 9 7)与电磁测井几何因子计算（Howardetal.，19 9 0；王磊等，2 0 15；于蕾等，2 0 2 3）中得到了广泛的应用.此外，采用高阶数Born逼近算法研究三维电磁响应也成为一种重要方法（Habashy et al.，1993;Gao and Torres-Verdin,2006).随钻超深前视电阻率测井数值模拟是一个移动源电磁响应计算问题，涉及到多源电磁场的处理，其三维正演计算工作量往往很大，且目前采用各种近似方法仍然缺少对计算结果的评估.为此，本文将非均质各向异性地层中耦合势Helmhotz方程分解为各向异性背景场方程与散射场方程，应用算子展开技术给出非均质各向异性地层中耦合势Helmholtz方程的Born级数解，研发出随钻超深前视电阻率测井仪器在三维复杂地层中各阶散射电磁场以及非线性Born逼近的快速算法.该算法能够快速计算出各阶散射电磁场，根据各阶散射电磁场变化特征可以对Born级数进行合理截断.1基本原理1.1地层模型与控制方程图1是倾斜井眼与三维非均质各向异性地层模型示意图.其背景电导率假定为水平层状模型且各层水平和垂直电导率用符号oH.n和ov.n，n=1,2,3表示，其层界面深度是di和d；同时，在背景模型(4)3104中可能包含着球冠起伏界面、长方体散射体、圆柱散射体等多种不同形状的局部散射体.井眼倾角假定为,并引人地层坐标系和井眼坐标系y，其中，地层坐标系的轴垂直于背景地层界面且方向向下，y平面与背景地层界面平行；井眼坐标系的轴与仪器钻进方向一致，轴与地层坐标系中y轴平行，井眼坐标系可由地层坐标系绕y轴逆时针旋转角得到.ZH.2,d,Ov.2d2图1复杂地层模型示意图Fig.1 Schematic diagram of complex formation model此外，假定随钻超深前视电阻率测井仪器发射线圈与接收线圈均是三分量正交共位线圈，仪器收发距Lsr在535m之间，仪器工作频率f在19 6kHz之间(Dong et al.,2015;Wu et al.,2018),由于收发距远大于发射线圈尺寸，所以将发射线圈视为磁偶极子源，为便于研究电磁场耦合势展开算法，将非均质各向异性地层中耦合势Helmholtz方程（王亚洲等，2 0 2 2)表示成如下算子方程形式（时间变化关系假定为e-iot）：L(r)u(r,rs)=b(r,rs),式中u=（A）T 是势和标势组成的4阶列向量，且满足库伦规范条件（Haberetal.，2 0 0 0；张烨等，2012);b(r,r）=（iw。M 8(r-r s）0)T 是发射源组合形成的4阶列向量，M=M.，十M,十M.是磁偶极子向量，rs是发射线圈位置；而L(r)为44阶微分算子：(I+ioo*(r)iao*(r)L(r)=V.*(r)*（r）=R a f*（r )R 是井眼坐标系中的复电导率cosO0-sing张量,R。=010(sing0cosO地球物理学报(Chinese J.Geophys.)OH.5,Ov,5OH.4Ov.4V.a*(r)V是地层坐标系与井66卷眼坐标系间的旋转矩阵；符号“”和“2”分别是Hamilton算子和Laplace算子，I是单位张量；af*(r)=diag(o(r)-iwe,oH(r)-iwe,v(r)-iwe）是地层坐标系中复对角电导率张量，OH（r）和6v（r）是地层水平和垂直电导率，为介电常数，o为真空磁导率，=2 元f是发射线圈角频率.正演计算区域用表示，并在其外边界a2采用完美电导体边界条件(PEC)：nXA(r,r)lan=0,p(r,r)lan=0，(3)其中，n为外边界a上的单位法向量.一旦得到了方程(1)中的耦合势u=（A）T，则电磁场可以通过如下公式求解：(E(r,rs)=A(r,rs)+Vp(r,rs)(H(r,r.)=XA(r,rs)/iwo为推导散射场方程并建立相应的非线性Born逼近算法，将三维复杂地层模型中的电导率张量(r）=d i a g(o(r ),o(r),ov(r)分解为层状背景电导率和局部散射体电导率的组合，即（r）=;(r)+a(r),其中,a),(r)=diag(ob.H(r),ob.H(r),ob.v（r）为水平层状背景电导率，（r）=（r）一si（r）为局部散射体中的差异电导率.将（r）=（r）十（r）代人方程（1)中并经简单整理，得(L,(r)-L(r)u(r,r.)=b(r,rs),(5)其中，(1v2+iwog,(r)ioog,(r)L,(r)=V.o(r)是背景介质中耦合势Helmholtz方程对应的微分算子，（r）=R（r）i w e I JR 是井眼坐标系中的背景介质复电导率，而(iaoda(r)-iaoda(r)V(1)L(r)=(-V.a(r)-V.a(r)V是局部散射体差异电导率产生的摄动算子，（r）=R（r)R 是井眼坐标系中局部散射体内的差异电导率，1.2Born级数展开与各阶耦合势散射方程设Lj（r）为方程（6)中微分算子L（r）的逆算子，将其同乘方程（5)两边，得I-Lj(r)L(r)Ju(r,r.)=Lj(r)b(r,rs)，(8)（2)在满足条件L（r)L（r）l 1的情况下，由算子展开定理可以得到算子方程（8)的Born级数解：u(r,rs)=I-L,(r)L(r)-Lj(r)b(r,rs)=0u(rr.)+2ou(r,r.),(6)V.o(r)V(7)+0(9)1=17期王亚洲等：微分算子展开与耦合势三维有限体积法快速计算随钻超深前视电阻率测井响应非线性Born逼近方程（9)右端的第一项o)u（r,r）=u（r，r s）是L,ou(r,rs)=L(r)o(-1u(r,rs),背景地层中的耦合势，并满足如下Helmholtz方程：Lpub(r,r.)=b(r,rs),(10)而方程（9)右端级数中 u(r,r）,l=1,2，是第l阶散射场并满足如下Helmholtz方程：L(r)o(-1)u(r,rs)=对方程(9)右端项中的级数加以截断可以得到非均质各向异性地层中电磁场耦合势的L阶非线性Born逼近解：u(r,r.)=(0u(r,r,)+(u(r,r.),(13)并将()u(r,r.）称为o阶Born逼近解.1.3用三维有限体积法计算各阶散射场和L阶非线性Born逼近解对比方程(10)和（11)不难看出，各阶散射场均满足相同的Helmhotz方程，其唯一区别是方程右端项，方程（10)是位于r。处的磁偶极子发射源M在层状背景地层中产生的电磁场；而第l阶散射场u(r,r)，l=1,2,3,是l一1阶散射电流(-1)J(r,r.）=(r)(-1)E(r,r）在层状背景地层中产生的散射电磁场.为快速求解背景场(u（r，r s）=up（r，r）和耦合势的各阶散射场u(r,rs）=(A(r,rs）(g(r,r s)T，应用Yee氏交错网格对计算区域2 进行网格剖分，并进一步采用传输线技术求解方程（10），预先计算出不同发射源的背景电磁场并矢Green函数库，这样可以结合二维Newton插值技术快速确定任意发射源产生的背景电磁场，从而能够有效提高散射体内散射电流场计算精度和效率（王亚洲等，2 0 2 2).在此基础上，令1=1，应用三维有限体积法对方程（11)进行离散（张烨等，2 0 12；陈博等，2 0 2 1)可以得到一阶散射场离散方程：Fb(1)u(r)=b()(rs),其中，Fb是方程(11)左端背景介质中耦合势微分算子L的离散矩阵，该矩阵是已知的MXM阶稀疏复矩阵；b(1)（r s）是方程（11）中零阶散射电流场()J(r,rs）=（r)E(r,r）的离散结果且是已知的M维列向量；u(r,r）是位于rs处的发射源M在各个交错网格上产生的一阶散射场的离散矢31051=1,2,.(11)进一步将 u(r,rs)=(A(r,r）g(r,r)T和(-1)J(r,r）=(r)(-1)E(r,r）代人(11)右端项中，经过整理，得(iwod(r)-iwod(r)(-1)A(r,r,)_(-ioo0(-1)J(r,r,)(-V.a(r)-V.(r)o(-1)g(r,r.)-V(-1)J(r,r,),1=1(1)u(rs)=Frb(1)(rs).将方程（15）的数值解与公式（3)结合，通过插值方法可以得到空间任意位置上一阶散射电场)E(r,rs）和一阶散射磁场(1)H(r,r.).将一阶散射场耦合势的数值解（15)代人到方程(11),并对右端项进行离散,可以得到二阶散射场的离散方程：Fo(2)u(rs)=b(2)(rs),进而得到二阶散射场耦合势的数值解：(2)u(rs)=Frb(2)(rs),同样地通过插值方法可以得到二阶散射电场(2)E(r,rs）和二阶散射磁场(2)H(r,rs).(14)重复上面的过程，可以依次得到第1=3，4，阶的散射场耦合势 u(rs），散射电场 E（r，r s）和磁场 H(r，r s）的数值解，将结果代人（13）中，并利用（13)式中前L项部分和可以得到电磁场耦合势的L阶非线性Born逼近u(L)（r，r.）以及电场和磁场的L阶非线性Born逼近（L orderof NonlinearBorn Approximation,L-NLBA):1=1,2,.(12)势A1/2.j.、A+1/2.和A.j.+1/2以及标势pi.j.组合成的M维列向量.M=mi十m2十m3十m4是未知量总数,其中，ml=（N，+1)N,N,m=N（N,+1)N,m=NN（N+1)和m=NNN分别是未知量A+1/2-j.k，A+1/2.，A j.+1/2 和i.j.的个数，N、N，和N。为方向、方向和方向的网格节点数.并行直接稀疏求解器PARDISO是一款高度并行的直接法求解器，该求解器性能高，功能多样且操作简便；随着计算条件的不断改善，采用该求解器对多右端项的大型方程求解问题进行并行处理十分高效，本文中采用PARDISO计算出逆矩阵FF，则由方程(14)可以得到一阶散射场耦合势的数值解：(15)(16)(17)3106(E(L)(r,rs)=E,(r,rs)+H(L)(r,rs)=H(r,rs)+1=12数值结果地球物理学报(Chinese J.Geophys.）LoE(r,r.):(18)LoH(r,r.)66卷别为10 和2 0 m、水平和垂直电导率分别为0.12 5和0.0 5Sm-1的直立圆柱体，且井眼轨迹正好穿过圆柱的轴线.本节中采用的仪器源距为35m，频率为 1 kHz.本节首先对本文提出的算法进行验证，然后通过数值结果研究各阶散射场的变化特征以及非线性Born逼近的收敛性质.在数值结果中，曲线图的记录点是发射源与接收器的中心点，为便于展示，文中的磁场与电场结果仅给出虚部值，且空间分布结果以及全部的误差均给出绝对值.网格剖分是在井眼坐标系中进行的，进行网格剖分时，散射体内和其临近区域采用相对小的网格间距来保证散射电流源的离散精度，而远离散射体区域因为受散射电磁场的影响较小，选择较大的网格.在如下计算过程中均采用表1中给出的网格数和网格大小，其中最外围的渐变网格根据Lebedev网格（Davydycheva et al.，2003)进行选取.表1网格数及网格大小Table1Grid number and grid size网格数方向52方向52方向12240X1m+40X2m+30X3m+12XLebedevgrid2.1算法检验图2 是圆柱状散射体模型示意图，其中背景地层为水平和垂直电导率分别为0.2 和0.1Sm-1的均匀各向异性地层；散射体为一个半径和高度分80H-40(a)-200204060-0.5OJO)10m图2 圆柱散射体模型示意图Fig.2Schematic diagram of cylinder model在对非线性Born逼近算法进行检验前，先给出第1、第2 和第3阶散射磁场的计算结果（图3），以网格大小30X1m+10X2m+12XLebedevgrid30X1m+10X2m+12XLebedevgrid(b)0.00.58H./(10-7A-m)Fig.3The scattered magnetic fields of 1,2 and 3 order in a cylinder modelx(x)-.SSO0-Ao-u.S I0-02(2)便为选择合适的Born级数截断阶数，提高非线性Born逼近的计算效率提供依据.其中，图3（a）、（b）和（c)分别是磁场主分量 HH和H，l=1,2,3的数值结果，从图可以看到随着散射场阶数的增加，相应的散射磁场是快速衰减的，且共轴主分量 H随着阶数的增加衰减更快，而共面主分量 H和 H在达到3阶时也变得很小.由于本模型中散射体电导率对比度较小，采用3阶非8(2)H-8(3H(c)1.0-0.5图3圆柱模型中1、2 和3阶散射磁场0.0H,/(10-7A-m)0.51.0-0.4-0.38H./(107Am)-0.2-0.10.07期线性Born逼近就可以得到较好的精度.为了进一步对非线性Born逼近的计算精度加以检验，将2.5D数值模式匹配算法（2.5DNMM)(Wang et al.，2 0 12)与本文L阶非线性Born逼近（L-NLBA)的计算结果进行对比（图4），由于该模型中的所有交叉分量等于零，所以仅给出三个主分量.图4（al）、（b 1）和（cl)分别对应磁场主分量Hzx、H y 和H，黑色实线表示2.5DNMM得到的 1-NLBA-40(al)-200三204060-40-200三N2040600Fig.4The comparison of results obtained by NLBA and NMM in a cylinder model2.2正方体散射体模型图5是正方体散射体模型与井眼位置示意图，背景地层为三层各向异性地层，层边界位置分别为一15和15m，其中顶层和底层的水平和垂直电导率分别为0.0 2 和0.0 1Sm-1,中间层的水平和垂直电导率分别为0.2 和0.1Sm-1；散射体中心位置坐标为（35，0，0）m，边长为2 0 m，其水平和垂直电导率分别为0.1和0.0 5Sm-1.散射体水平和垂直电导率相对于中间层背景电导率差值为一0.1和一0.0 5Sm-1,其相对变化量为一50%.井眼轨迹为6 0 斜井，并且经过点（0，0，0）m.本节中采用的仪器源距为35m，频率为1kHz.图6 给出了二次场3DFV算法和不同阶数的非线性Born逼近得到的磁场五个分量（c、y y、z、王亚洲等：微分算子展开与耦合势三维有限体积法快速计算随钻超深前视电阻率测井响应非线性Born逼近-2.5-2.0H./(107A:m)510Hu-relativeerror/%3107结果，五角星点表示1阶非线性Born逼近（1-NLBA),叉点表示2 阶非线性 Born 逼近（2-NLBA)，圆点表示3阶非线性Born逼近（3-LNBA），图4(a2)、（b 2)和(c2)为2.5DNMM与非线性Born逼近间的相对误差.从图中可以看出，3阶非线性Born逼近解的相对误差（绝对值）在3%以内，说明本模型中非线性Born逼近具有较快的收敛速度.NMM*2-NLBA(b1),-1.5-1.0(a2)11520图4圆柱模型中非线性Born逼近与NMM结果对比OH.3=0.02 Sm-l1一Ov.3=0.01 S.m-l30-40Fig.5Schematic diagram of cube modelz和z）的曲线的对比（见图6（al）、（b l）、（c l）、(d1)和(el)以及两种算法间的相对误差（绝对值）曲线（见图6（a2）、（b 2）、（c 2）、（d 2）和（e2)）.结果显3-NLBA(c1)-2.5-2.0H,/(10-7Aml)250-1.5510Hy-relative error/%-30Borehole:-15-1001015-1.0(b2)15201.50H./(10A-ml)250.00-20图5正方体散射体模型示意图1.510.05H.-relativeerror/%Om.4-0.1S-ml,Ou.2=0.2S-m0v.4-0.05S-mlov.2-0.1S-m-025x/m1.521.53(c2)0.10H.i=0.02S.mv.i=0.01 S:ml45601.543108-60-40-20/z0204060-2Hu/(x10-7Aml)-60-40-200N204060010_20304050H-relative error/%示随着非线性Born逼近中截断阶数的不断增加，非线性Born逼近误差逐渐变小，在本模型中，当截断阶数L=3时便达到了足够的精度.接下来对算法的计算时间进行说明，非线性Born逼近算法与二次场3DFV算法均采用PARDISO对离散方程求解，PARDISO首先对离散系数矩阵进行LU分解，然后根据右端项进行回代步骤，其中LU分解耗时较长，回代步骤耗时与右端项个数有关，一般耗时较短.本文中的数值计算所使用的工作站的CPU型号为Intel（R）Xe o n（R)Platinum8269CY、主频为2.50 GHz;在本模型中，两种算法中LU分解的耗时约为34min；模型中右端项个数为18 3，进行一次回代步骤的耗时约为1min.在本文的非线性Born逼近算法中，获取L阶非线性Born逼近解需要进行L次回代步骤，常规的二次场3DFV算法需要执行一次回代步骤.可以看出，若散射体电导率在原有模型上发生变化时，采用非线性Born逼近算法进行几次回代步骤代替一次常规的数值正演能大大提高正演模拟效率。2.3各阶散射电场的空间分布特征为便于比较，仍然采用图5的地层模型，并假定方向单位发射源。位于地层坐标系中（15.16，0，8.75）m 处（井眼坐标系中（0，0，17.5）m处）,采用的频率为1kHz.图7 给出了三个不同阶次的散地球物理学报(Chinese J.Geophys.)3DFV 0-NLBA(al)(b1)02(a2)66卷*1-NLBA2-NLBA(cl)-20Hy/(10-7A-m)051015200Hy,-relative error/%H,-relative error/%图6 不同阶数下的非线性Born逼近解Fig.6The NLBA solutions with different orders2.4频率对非线性Born逼近结果的影响考察较高频率(10 0 kHz)中不同阶次的散射电场以及非线性Born逼近电场的空间分布特征，模型.3-NLBA(d1)12424681012-6-4-202H./(10-7Aml)H/(107Am)(b2)(c2)2301020304050H.x-relative error/%射电场 E(r，r），l=1,2,3在=0 垂直截面上的分布情况，其中，图7 a、图7 b和图7 c分别对应1阶、2 阶和3阶散射电场，可以看到随着阶数增加，相应的散射电场值快速衰减，3阶散射电场的值已经很小.图8 给出了0 阶（背景电场）、3阶非线性Born逼近电场和二次场3DFV得到的电场空间分布，从图可以看出，3阶非线性Born逼近电场与3DFV电场已基本吻合.为了更直观展示各阶非线性Born逼近解的计算精度，图9 给出了三个不同阶次的非线性Born逼近电场(1-NLBA、2-NLBA 和3-NLBA)和3DFV正演电场之间的相对误差分布.从图可以清楚看出1阶非线性Born逼近解（图9a)的误差比较大，在总电场较小的区域及发射源处，相对误差超过了10%，而在散射体内电场误差也十分明显（6%左右）；2 阶非线性Born逼近解（图9b)的误差已明显下降，除了电场非常小的区域和发射源附近，整个计算区域内电场相对误差下降到4%以下；3阶非线性Born逼近解（图9 c)计算精度进一步得到改进，除了电场非常小的区域和发射源附近，整个计算区域内电场相对误差下降到1%以下.(el)-6-4-202H,/(10-7Am)(d2)02456.10Hx-relative error/%(e2)7期-20(a)-10010王亚洲等：微分算子展开与耦合势三维有限体积法快速计算随钻超深前视电阻率测井响应非线性Born逼近80E10-5(b)(c)31098(2)E83E10-6(.u.N)/(a9)u110-710-82015-20(a)-10-u/z0-1010-92535x/mFig.7 Spatial distribution of 1 order,2 order and 3 order scattered electrical fieldsO-NLBA45图7 第1阶、第2 阶和第3阶散射电场空间分布3-NLBA(b)55152535x/m455515(c)253DFV35x/m455510-510-6(.u.)/(a)ul10-710-82015-20(a)-10-u/z0102015与发射源位置与2.3节中保持一致.图10 给出了三个不同阶次的散射电场 E(r，r）,l=1,3,7 在y=0垂直截面上的分布情况，其中，图10 a、图10 b和图10 c分别对应1阶、3阶和7 阶散射电场，随着阶数增加，各阶散射电场值变小，与低频时（1kHz)的结果图7 对比可以看出，频率较高时各阶散射电场值衰减相对较慢，需要更高的阶数以保证较好的计算精度.图11给出了0 阶（背景电场）、7 阶非线性Born10-92535x/m图8 0 阶、3阶非线性Born逼近和3DFV得到的电场空间分布Fig.8 Spatial distribution of electrical fields obtained by O-NLBA,3-NLBA,and 3D FV1-NLBA-error2535x/mFig.9Relative error of electric fields obtained by 1-NLBA,2-NLBA,and 3-NLBA4545图91阶、2 阶和3阶非线性Born逼近电场的相对误差5515(b)5515252-NLBA-error2535x/m逼近电场和二次场3DFV得到的电场空间分布，从图可以看出，7 阶非线性Born逼近电场与二次场3DFV得到的电场已基本吻合.图12 给出了三个不同阶次的非线性Born逼近电场（1-NLBA、3-NLBA和7-NLBA)和3DFV正演电场之间的相对误差分布.从图中可以看出随着采用的阶数增加，非线性Born逼近电场的误差减小，需要7 阶或更高阶数的非线性Born逼近电场来保证计算精度；部分区域相对误差较大，因为这些区域中的总电场值很小35x/m45455515(c)5515253-NLBA-error2535x/m35x/m454555551086423110-20(a)-100-地球物理学报(Chinese J.Geophys.）80E(b)66卷83E80E(c)10-510-6(.u.N)/(ag)u10-710-10-82015Fig.10Spatial distribution of 1 order,3 order and 7 order scattered electrical fields at the frequency of 100 kHzO-NLBA-20(a)-10-u/z01010-92535x/m图10频率为10 0 kHz时第1阶、第3阶和第7 阶散射电场空间分布3DFV(b)(c)4555152535x/m7-NLBA4555152535x/m455510-510-6(.w.A)/(a)u10-710-82015Fig.11Spatial distribution of electrical fields obtained by 0-NLBA,7-NLBA,and 3D FV at the frequency of 1oo kHz-20(a)-100102015Fig.12Relative error of electric fields obtained by 1-NLBA,3-NLBA,and 7-NLBA at the frequency of 10o kHz或与发射源距离很近.从图中可以看出在高频情况下,非线性Born逼近的收敛速度相对较慢，需要选取L7的截断阶数才能够取得较好的正演结果。2.5电导率对比度对非线性Born逼近结果的影响最后，考察电导率对比度增加的情况下各阶散射电场和非线性Born逼近电场的空间分布特征.模型、发射源位置以及频率与2.3节中保持一致，但散射体的水平和垂直电导率分别降低到0.0 2 和0.01Sm-1,这时散射体水平和垂直电导率相对10-92535x/m图11频率为10 0 kHz时0 阶、7 阶非线性Born逼近和3DFV得到的电场空间分布1-NLBA-error(b)2535x/m图12频率为10 0 kHz时1阶、3阶和7 阶非线性Born逼近电场的相对误差454555 155515253-NLBA-error2535x/m于背景电导率差值为一0.18 和一0.0 9Sm-1,其水平和垂直电导率相对变化量达到一90%.图13给出了不同阶次的散射电场 E（r，r），l=1,3,6 在y=0垂直截面上的分布情况，其中，图13(a)、（b)和(c)分别为1阶、3阶和6 阶散射电场，从图中可以看出各阶散射电场同样