微积分中若干思政元素的探讨.pdf

第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.032高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023微积分中若干思政元素的探讨周小辉，赵选泽?（1.上海财经大学浙江学院，浙江金华，32 10 0 0；2.浙江财经大学东方学院，浙江嘉兴，31440 8)摘要文中探讨了微积分中若干思政元素首先，从微积分的简史中让学生树立正确的科学观，启发学生们要具备勇于探索，不断创新的精神.微积分的发展历程体现了唯物辩证法的量变引起质变的规律进一步，利用极限理论对唯物辩证法的质量互变规律进行量化表示，其中也蕴涵了动态变化和相对静止的辩证统一：最后，通过连续函数建立自然哲理的数学模型，探讨连续所蕴涵的人生启发，以及对芝诺论的新解释。关键词极限理论；唯物辩证法；连续函数中图分类号0 17 1On Some Dialectical Thoughts in CalculusZHOU Xiaohui and ZHAO Xuanze?(1.Shanghai University of Finance and Economics,Zhejiang College,Jinhua 321000,China;2.Zhejiang University of Finance and economics Dongfang College,Jiaxing 314408,China)Abstract Some dialectical ideas in Calculus are discussed in this paper.Firstly,a correct scientific view isshown to students from the brief history of Calculus.The development of Calculus implicates the law ofthe qualitative change caused by a quantitative change in the materialist dialectics.Furthermore,the limittheory is used to quantify the law of quality mutual change of materialist dialectics,which also contains thedialectical unity of dynamic change and relative static.Finally,the mathematical model of the natural phi-losophy is established through continuous functions,and the life inspiration implied by continuity and anew explanation of Zeno paradox is discussed.Keywords limit theory,materialist dialectics,continuous function文献标识码A文章编号10 0 8-139 9（2 0 2 3)0 3-0 10 2-0 4做功等；经济学中边际效应、弹性分析等；几何学中1引言求曲线曲率与斜率、图形的面积与几何体体积等.它微积分是本科生各专业的一门数学类基础课不仅对自然现象提供了科学原理与计算方法，而且程，主要内容包括极限理论、导数与微分、积分与多从新的角度阐述了辩证思维与人生哲理.正如数学元微积分学及其应用.目前的教材普遍是基于极限家Demollins所指出的，“没有数学，我们无法看透理论来讨论微积分学导数与微分是一套研究变量哲学的深度；没有哲学，我们无法看透数学的深度；变化率和改变量的理论方法，包括求导数、求微分的而若没有两者，人们就什么也看不透.2 古希腊哲运算.积分学包括不定积分、定积分等方法与概念，学家苏格拉底、芝诺、亚里士多德等最早发现并且使与求导求微分是互为逆运算的关系.这套理论方法用了“辩证法”经过几千年岁月的反复磨砺，数学思的应用是非常广泛的，如物理学中求瞬时速度、变力维方法与“辩证法”也巧妙地结合，形成一种独特的哲学思想方法一一数学辩证法31.学好唯物辩证法收稿日期：2 0 2 1-11-0 8修改日期：2 0 2 3-0 3-18基金项目：浙江省哲学社会科学规划课题（19NDQN340YB).作者简介：周小辉，男，江苏常州，博士，副教授，研究方向：小波分析与金融模型、数学辩证法等，Email:是重要的.习近平新时代中国特色社会主义思想学习纲要中强调“辩证唯物主义是中国共产党人的世界观和方法论”准确认识和把握好唯物辩证法，是第2 6 卷第3期贯彻纲要中“掌握马克思主义思想方法和工作方法”的必然要求.学好微积分中的辩证思想便是从新的角度更加准确地认识和把握好唯物辩证法.因此，微积分的专业知识教学融人思政育人元素不仅体现了微积分的课程特征及其哲学背景，更是落实习总书记关于立德树人这一根本任务的教学目标11.然而，“讲好思政课不容易，因为这个课要求高.”“办好思想政治理论课关键在教师，关键在发挥教师的积极性、主动性、创造性。”所以，微积分教学恰当地融人思政育人元素是一项高要求，高技术的教学工作一些高校教师们在微积分思政教育方面已经做了许多探索与实践，如探讨高等数学中的哲学思想5.7.8，主要包括极限中反映了质量互变规律5，从导数定义中探讨否定之否定规律5,7，连续与间断中介绍对立统一规律5.8；再如分析高等数学中蕴涵的人生观，价值观6.通过对上述工作的分析与近年来在微积分课程思政的教学经历，本文探讨了几个微积分课程思政元素.其特点在于以微积分的发展简史树立学生正确的科学观，以数列极限的-N语言深入量化剖析质量互变规律，以连续函数的增量形式的定义来分析自然规律与社会现象，从中启发人生哲理与给出一种芝诺悖论的解释.2从微积分的简史培养探索精神首先，简要介绍一下微积分学在萌芽时期的两个案例.一个是从“影长等于身长”想到“塔影等于塔高”的数学典故.这是公元前7 世纪，古希腊数学家泰勒斯想到的方法.他在研究球的面积、体积等问题中就含有一些初步的微积分思想.另一个典故“给我一个支点，我就能撬起地球”也让我们想起一个历史上的风云人物.他是公元前3世纪古希腊的数学家阿基米德.他在圆的测量，论球与圆柱等著作中也包含了一些积分学的萌芽思想.然而，魏晋时期的数学家刘徽，在他研究的割圆术中也蕴涵了一些极限与积分的思想.萌芽时期微积分发展是极其缓慢的.直到17 世纪，如求瞬时速度、求曲线的切线斜率、求曲线长等许多科学问题需要解决时，微积分便在这些问题的研究中产生了.十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、德国的开普勒等.在诸多科学家研究的基础上，英国科学家牛顿着重于从运动学的角度来研究和完成了微积分的创立工作.然而，德国数学家莱布尼茨独立地侧重于几周小辉，赵选泽：微积分中若干思政元素的探讨103何学来研究创立了微积分.牛顿把连续变量称为流动量，相应的导数方法则称为流数术.莱布尼茨创设的微积分符号优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响.现今微积分通用符号也就是当时莱布尼茨精心选用的.然而，不能不提的是，关于微积分的成果归属权问题，曾在数学界引起了一场长时间的大争论.经过调查，虽然牛顿工作的大部分是在莱布尼兹之前做的，但是莱布尼兹也是微积分思想的独立发明人.因此，微分的发明同时归功于牛顿和莱布尼茨.这场发明权之争使得当时数学家分成两派.一派是英国数学家，捍卫牛顿；另一派是欧洲大陆数学家，支持莱布尼茨.这场争论的影响是巨大的，使得英国和欧洲大陆的数学家停止了思想交换，这便使得英国的数学发展滞后.需要指出的是，牛顿和莱布尼茨的微积分都是很不完善的，他们都在无穷小量这个问题上十分含糊.牛顿的无穷小量，有时是零，有时不是零而是很小的有限量；莱布尼茨的也不能自圆其说.这最终导致了第二次数学危机.对第二次数学危机感兴趣的，可以查阅一下相关资料.为解决第二次数学危机，法国数学家达朗贝尔指出了微积分需要可靠理论，拉格朗日最早尝试严格化微积分.在一大批杰出数学家的努力下，最终柯西精确给出了极限理论，将微积分建立在极限理论的基础上.而维尔斯特拉斯构造的实数论又为极限理论打下坚实的基础.至此，微积分理论得到完善.微积分的发展虽然一路坎珂，却在不断创造辉煌.从微积分的萌芽时期到理论完善这一发展历程的简述中，体现了事物发展的一般规律，即唯物辩证法中量变引起质变的规律.在课程教学中这一规律让学生树立正确的科学观是十分有益的.任何新的学科、新的方法、新的技术，都可能会经历从雏形不断发展至完善这一发展历程.微积分的萌芽时期、发展争论时期、完善时期，不论在哪个阶段，数学家们无不大胆尝试、勇于探索，不断从问题中寻求突破.这也启发学生们要具备勇于探索、不断创新的精神.在学习和探索过程碰到各种困难都是正常的，我们需要持之以恒、不断探索.学习和研究不论处在量变阶段还是达到质变阶段都存在重要的价值与意义.质量互变这一唯物辩证规律在微积分的极限理论中可得到新认识.3从极限理论中量化质量互变规律极限的无穷变化思想在微积分萌芽时期已经诞104生了，如庄子天下篇所述的截杖问题“一尺之捶，日截其半，万世不竭”，即一尺长的木杖，每天截取一半，长度不断减小趋向于0.又如三国时期刘徽的割圆术，利用圆内接正多边形来推算圆的面积.从图1中可直观看出，随着内接正多边形边数的不断增加，正多边形的面积不断趋向于圆的面积.图1割圆术的图示若事物的状态变化，如杖长、正多边形的面积等，便抽象为某种变量来表示.这两个例子展现了变量的变化趋向，即随着边数、天数等自变量n不断增大，因变量n（如面积、杖长)趋近于一个常数a.这种变化现象便称为数列极限.它可以理解为当自变量n足够大时,因变量n与常数之间的距离要多小就有多小.从而我们抽象出数列极限的数学符号语(N语言）.定义19 老若数列a,以常数为极限,则对任意给定充分小的正数 0,存在充分大的自然数N，当nN时lan一l0,3N0,当nN时,la,一alN时la一ale,即a,在a一和a十之间.在数轴上i不一定满足lai一ls,同样a,3,直到都不一定满足lan一a|e.直到an+1时满足laN+1-ls.之后所有的,与 的距离小于.a-88Q6000199019aa3图2 类数列极限的定义图示由上述分析，变量，随着n的增加不断变化，即N项之前不断产生量变，达到N项之后便产生质的变化(lan一ale).由此可以看出它体现了辩证法中量变引起质变的规律，进一步相对确定了量高等数学研究变达到N的时候便产生了an一a|e的质的飞跃.质变之后又表现出一种稳定的状态，即当nN时，所有的a,都在一和十之间.这说明变量具备较好的可控性.数学上称之为“收敛”由于是任意的和相对固定的,且刻画了a,与常数 之间接近程度,因此体现了性质lan一|0.但是无论t有多小，y周小辉，赵选泽：微积分中若干思政元素的探讨limAy=0Ar0105总是不等于0.在数学方面，芝诺悖论显然是错误的.因此，连续现象的数学模型在解释芝诺悖论方面也有重要的作用.5讨论与结束语文中探讨了微积分中若干思政元素，主要包括以微积分的发展简史树立学生正确的科学观，以数列极限的-N语言深人量化剖析质量互变规律，以连续函数的增量形式的定义来分析自然规律与社会现象，从中启发人生哲理与给出一种芝诺悖论的解释.这些探索在微积分课程思政中不仅起到了抛砖引玉的作用，而且学生们对上述思政内容的教学也是非常感兴趣的.在期末学生评教的反馈中给出了一些不错的学后感与意见，例如，“利用一些有趣的事情来解释关于高数知识，让同学们更加有印象记得并认知高数知识.”，“希望继续保持”，“老师会让我们在上课的时候多思考一些实际问题，虽放慢一些课程的进度，但加深我们对高数的理解”，等等.从这些反馈中我们不难看出，在教学中并没有让学生感觉到微积分中加了思政元素，而是认为多一些有趣的故事，多一些思考来帮助他们理解微积分.因此，文中探讨的微积分中若干思政元素可以潜移默化地引导学生，起到以知识育人的教学目标.这些思政元素不仅让学生们更加全面地理解微积分中的概念知识，而且在一定程度上指导学生们如何规划好学习、工作与生活.融人思政元素的微积分课程教学不再是单纯的计算和应用工具的传授，而是思维模式的锻炼与思想精神方面的提升。不论在宏观上微积分的发展历程，还是在微观上极限理论都体现了唯物辩证法中质量互变规律。然而，由极限定义的其它概念在一定程度上也体现了唯物辩证法的三大规律，如连续函数、导数与微分、定积分等等.微积分中的辩证法是对唯物辩证法的一种新的解读，,其中突出的特点在于量化表示,更加具体，符合自然规律.综上所述，微积分课程思政不仅使得教学内容得到了升华，而且对唯物辩证法是一种新的量化解读.同时，这对大学生全面认识自然哲理，做好人生规划都是十分有益的.然而，微积分中辩证思想内涵丰富，思想深刻，依然存在许多问题有待于深入地探索.进一步，对微积分思政元素的教学设计与教学效果，我们也将在后期的研究中进行详细探讨.(下转第6 6 页)66由Frobenius不等式,有AR(BA,一AB)+RR(B）0BJ又由AB=BA知R(BA，一AB)=R（A B），代人上式得AR(AB)+RR（B）0BA注意到A+B=（EE)BAB)R.于是BR(AB)+R(A+B)R(AB)+R0R=R(A)+R(B),0BJ即 R(A+B)R(A)+R(B)-R(AB).分析这个证明方法充分利用了Frobenius不等式在三个以上矩阵乘积的秩的不等式中的独特作用.例2（2 0 15，华南理工大学）设A、B是n阶矩阵,证明R(AB一E)R(A一E)+R(B一E).证明因为AB-E=(AE)AE由不等式2 得B-ER(AB-E)RR(B-E)+R(A-E)A一E例3(2 0 2 0,华东师范大学）设n为奇数，A、BEM(C)，且A=O,证明:AB一BA不可逆.高等数学研究A0EO=(B,-A)0BEA0=R(A)+R(B).A0=R(A)+R(B).，由不等式2 知R(A十A(B)A(B-E)2023年5月证明因为A=O，由Sylvester不等式得2R(A)n(因为n为奇数,所以是严格小于).于是R(AB-BA)R(AB)+R(BA)R(A)+R(A)=2R(A)n,故AB一BA不可逆.分析欲证明AB-BA不可逆，可以考虑证明其秩小于n.先利用Sylvester不等式，结合n为奇数，得出2 R(A)n，然后再利用不等式1得出最后结论.三结语矩阵的秩的不等式应用通常以证明题为主，在解题的过程中，要综合考虑线性方程组、分块矩阵、线性变换等理论，还要熟练掌握Sylvester不等式与Frobenius不等式等的使用.参考文献1郭素霞.谈矩阵的不等式J.衡水学院学报，2 0 0 7，9(1):53-54.2黄述亮.关于矩阵秩的几个重要不等式.辽东学院学报（自然科学版），2 0 2 1,2 8（1）：6 1-6 5.3贺旗，廖小莲.矩阵秩的不等式及其在高等代数考研试题中的应用J.理论数学，2 0 2 1，8：16 0 1-16 0 8.4徐小萍.矩阵秩的不等式及其应用J.廊坊师范学院学报（自然科学版），2 0 12，12（5）：19-2 1.5胡付高.关于一类矩阵秩的恒等式注记J.武汉科技大学学报（自然科学版），2 0 0 4，2 7（3）：32 2-32 3.6同济大学数学系.线性代数M.北京：高等教育出版社，2 0 16.(上接第10 5页)1习近平.思政课是落实立德树人根本任务的关键课程.人民网，2 0 2 0，8，30.http:/ 0 10.3黄海，陈扬唯物辩证法的哲学品格N.北京：光明日报，2 0 19-7-31.4范秀山数学辩证法M.北京：光明日报出版社，2015.5孙涛，裴丽芳高等数学中的哲学思想高师理科学刊,2 0 15,35(4)：6 1-6 4.参考文献6武瑛，韩国栋.高等数学中的人生道理一一以连续性与凹凸性为例J.科技信息，2 0 10，33:2 2.7李晓奇，惠兴杰，王晓敏。高等数学中的否定之否定J.高等理科教育2 0 0 3，（S2)：17 6-17 7.8邱念慈.高等数学：辩证法的渊一一高等数学中的对立统一规律例谈J.扬州教育学院学报，2 0 0 5，2 3(3):16-19.9同济大学数学教研室.高等数学M.7版.北京：高等教育出版社，2 0 14.