一类忆阻型4D保守混沌系统的设计及其分析.pdf

收稿日期:2022-09-27基金项目:国家自然科学基金(62071411)通信作者:曾以成,教授,博士,研究方向为混沌电路与系统、专用电路设计。E-mail:yichengz 电子元件与材料Electronic Components and Materials第 42 卷Vol.42第 6 期No.66 月Jun2023 年2023一类忆阻型 4D 保守混沌系统的设计及其分析夏国莹,曾以成(湘潭大学 物理与光电工程学院,湖南 湘潭 411105)摘 要:提出一类基于忆阻器、具有非双曲平衡点的非哈密顿四维保守混沌系统。通过计算系统的散度,分析了系统相体积的守恒性;对系统进行 Kolmogorov 变换,证明了系统哈密顿能量并不守恒;同时该系统对参数和初始值变化敏感。运用系统的相轨图、Lyapunov 指数谱、Poincar 映射、分岔图等理论和数值分析工具,分析了系统复杂的动力学行为,得知系统具有混沌流与不同幅度准周期流的非对称共存等多稳态特性;最后,通过模拟电路验证了设计的可行性与分析的正确性。该保守系统具有良好的初始值灵敏性,可应用在信息和图像加密等领域。关键词:忆阻器;非哈密顿;保守混沌;多稳态中图分类号:TN602文献标识码:ADOI:10.14106/ki.1001-2028.2023.1585引用格式:夏国莹,曾以成.一类忆阻型 4D 保守混沌系统的设计及其分析 J.电子元件与材料,2023,42(6):704-713.Reference format:XIA Guoying,ZENG Yicheng.Design and analysis of a 4D conservative chaotic system based onmemristors J.Electronic Components and Materials,2023,42(6):704-713.Design and analysis of a 4D conservative chaotic systembased on memristorsXIA Guoying,ZENG Yicheng(School of Physics and Optoelectronic Engineering,Xiangtan University,Xiangtan 411105,Hunan Province,China)Abstract:A non-Hamiltonian 4D conservative chaotic system was proposed with non-hyperbolic equilibrium point basedon memristors.The conservatism of the phase volume of the system was analyzed by calculating the divergence of the system.The Kolmogorov transformation of the system proves that the Hamiltonian energy of the system is not conservative.And thesystem is sensitive to the variation of parameters and initial values.The complex dynamic behaviors of the system wereanalyzed by using theoretical and numerical analysis tools such as Lyapunov exponent spectrum,Poincar map,andbifurcation diagram.The system has the characteristics of multi-stable state,such as asymmetric coexistence between chaoticflow and quasi periodic flow of different amplitudes.Finally,the feasibility of the design and the correctness of the analysiswere verified by the analog circuit.With good sensitivity to initial values,the conservative system can be used in informationand image encryption fields.Keywords:memristor;non-Hamiltonian;conservative chaos;multi-stable state 忆阻器是 Chua1在 1971 年首次提出的定义电荷和磁通量之间关系的基本元件。忆阻器具有非线性和非易失性,在人工神经网络2-3、逻辑运算4、人工智能5-6和图像加密7等诸多领域都有应用。其作为非线性元件,在混沌系统的构造中起着重要作用。到目前为止,学者们研究了一系列具有多涡卷、多翼、自激和隐藏吸引子现象的忆阻耗散混沌系统8-10。然而,对忆阻保守混沌系统的研究相对较少。一般来说混沌系统可分为耗散系统和保守系统。如果系统散度也即系统雅可比矩阵(J)的迹 tr(J)小于零,则为耗散系统,而如果 tr(J)等于零,则系统为保守系统。特别地,有一个保守系统的 tr(J)随时间变化夏国莹,等:一类忆阻型 4D 保守混沌系统的设计及其分析的平均值为零11。因此,保守系统具有一些区别于耗散系统的特征,例如散度、相体积的时间变化率为零(或接近零)以及 Lyapunov 指数之和为零。另一方面,根据哈密顿能量值,保守系统可以分为哈密顿系统和非哈密顿系统。如果一个保守系统的哈密顿能量变化率为零,则该系统为哈密顿保守系统;否则,为非哈密顿的保守系统。耗散系统产生的吸引子类型有极限环、汇以及混沌吸引子等,但保守混沌系统中没有吸引子,其运动轨迹统称为“流”11,或称之为混沌海。与耗散系统相比,保守系统在图像加密等应用的安全性和抵抗攻击性方面更具有优势,是因为其没有吸引子和对初始条件极端敏感性的特殊性12-13。因此,保守系统近年来受到了越来越多的关注。2018 年,Singh 和 Roy14提出了五个具有保守自治性质和平衡点为非双曲平衡点的四维混沌系统,并用Lyapunov 指数谱、Poincar 映射、分岔图等分析了其动力学特性。同年,Wu 等15提出了一个体积保守且具有非双曲不动点的五维光滑自治超混沌系统。2020年,Deng 等16提出了一种含有忆阻器和电容的三维保守混沌电路。该系统对初始值和参数高度灵敏,还有共存轨道和瞬态现象等特征。同年,Jia 等17基于Sprott-A 系统,通过能量的分析,提出一个四维具有共存隐藏吸引子的新哈密顿保守系统。2022 年,Du等18提出了一个基于忆阻的五维保守混沌系统,该系统具有多种准周期拓扑,并具有同态和异态的多稳态特性。对于上述提出的保守混沌系统简单列了一个表格,详细信息见表 1。通过表 1 可知,随着对保守混沌系统的研究深入,保守系统具有的丰富的动力学特性也大量被发现,但忆阻型保守混沌系统非常少。本文提出一个忆阻型四维保守混沌系统,根据理论分析该系统为相体积守恒、能量不守恒的非哈密顿保守系统。系统具有多种准周期拓扑结构以及混沌流和准 周 期 流 共 存 等 特 性。根 据 系 统 方 程,设 计Multisim 仿真电路,验证该系统的可行性。1 保守混沌系统构建及其分析1.1 忆阻型系统模型经典保守混沌 Sprott-A 系统19,其系统方程表达式如式(1)所示:x=yy=-x+yzz=1-y2(1)式中:x、y、z 为状态变量。在该系统中引入忆导 M(u)=ku2+b 的磁控忆阻器,系统方程可修改为:x=a(y-u)y=-x(ku2+b)+yzz=1-y2u=x(2)这里为了得到复杂的动力学行为,修改系统状态方程组的第一个方程为 x=a(y-u),u 为系统变量。其中,三阶磁控忆阻的表达式为:i=(k2+b)v=v(3)式中:i 为流过忆阻器的电流;v 为忆阻器两端电压;为磁通量。当令参数 a=0.1,k=0.1,b=1,系统初始值为(0.1,0.1,0.1,0.1)时,用 ODE45 算 法 进 行Matlab 仿真,系统的 y-z,x-u,x-z 平面和 x-y-z 空间的相轨图如图 1 所示,从空间和不同平面的相轨图上可以看出复杂的拉伸和折叠。此时系统的 Lyapunov指数 分 别 为 LE1=0.0382,LE2=0.0008,LE3=-0.0008,LE4=-0.0382,其中最大 Lyapunov 指数大于 0,系统处于混沌状态。其计算收敛过程曲线如图 2(a)所示,Lyapunov 指数之和如图 2(b)所示,可发现系统经过暂态后的 Lyapunov 指数之和为 0。表 1 不同的保守混沌系统Tab.1 Different conservative chaotic systems系统维度忆阻器平衡点类型多稳态 异态共存文献14四维无非双曲平衡点无有文献15五维无非双曲平衡点无无文献16三维有平衡点处的特征值为零有无文献17四维无无平衡点有有文献18五维有不定有有本文四维有非双曲平衡点有有507电子元件与材料(a)y-z 平面相图;(b)x-u 平面相图;(c)x-z 平面相图;(d)x-y-z 空间相图图 1 系统混沌流相图Fig.1 Phase diagrams of the chaotic flow(a)随时间变化的 Lyapunov 指数谱;(b)随时间变化的 Lyapunov 指数之和图 2 系统 Lyapunov 指数谱和 Lyapunov 指数之和Fig.2 Lyapunov exponent spectra of system and sum of Lyapunov exponents1.2 平衡点分析对于系统(2),令 x=y=z=u=0,计算可得两个平衡点,分别为 E1=(0,1,0,1),E2=(0,-1,0,-1)。系统在平衡点处的雅可比矩阵为:J=0a0-a-(ku2+b)zy-2kxu0-2y001000(4)根据平衡点计算的特征值如表 2 所示。由表 2 可知,计算得到的平衡点 E1和 E2的特征方程是一样的,其中 A 为二次项系数,A=ak+ab+2+a,因此特征值也是一样的。特征值实部为零,表明都为非双曲平衡点。1.3 对称性分析对系统进行坐标变换(-x,-y,z,-u)(x,y,z,u),如式(5)所示。607夏国莹,等:一类忆阻型 4D 保守混沌系统的设计及其分析表 2 平衡点雅可比矩阵特征值Tab.2 Characteristic value of equilibrium Jacobian matrix平衡点特征方程a=0.1,k=0.1,b=1 时平衡点类型E1(0,1,0,1)E2(0,-1,0,-1)4+A2+2a=01,2=0.095i3,4=2.115i非双曲平衡点-x=a(-y+u)-y=x(ku2+b)-yzz=1-y2-u=-xx=a(y-u)y=-x(ku2+b)+yzz=1-y2u=x(5)可发现系统方程并未发生改变。因此,在空间中,系统(2)的每组解都围绕 z 轴对称。1.4 保守性分析设系统(2)为 X=F(X),其中 X 是状态变量,F(X)是包含线性和非线性项的函数,求该系统的散度,可得到:tr(J)=F=Fxx+Fyy+Fzz+Fuu=z(6)该系统的散度计算如公式(6)所示,表明该系统的耗散性仅和 z 有关。如果 z 的平均值为零20-21,则系统具有保守性。当参数 a=0.1,k=0.1,b=1时,初始值为(0.1,0.1,0.1,0.1),系统散度随时间变化的平均值如图 3 所示。从图 3 可知,忽略瞬态部分,系统散度随时间变化的平均值为零。假设相空间中体积 V(t)的任意闭合曲面为 S(t)。设体积 V(t)在经过无穷小时间 dt 的体积为 V(t+dt),则相应的曲面面积为 S(t+dt),则可得到:V(t+dt)=V(t)+S(Fndt)dA(7)式中:A 和 n 分别表示曲面 S 的表面积和曲面上从内到外的单位法向量。式(7)也可写成如下表达式:V=V(t+dt)-V(t)dt=S(Fn)dA(8)根据散度定理,V可表示为式(9)。V=V(F)dV(9)其中(F)即为F 的散度,根据式(6)(9)可得到:V(t)=V(0)ediv(F)t=V(0)ezt(10)从式(10)可以得到,z 随时间变化的平均值为零(见图 3),也即系统的空间相体积是恒定的,系统是体积保守的。图 3 随时间变化的 z 的平均值Fig.3 The average of z varying with time1.5 能量分析1991 年,Arnold 等22提出用 Kolmogorov 系统来描述耗散强迫动力系统或流体动力学的不稳定性。Kolmogorov 型变换可以判断系统的哈密顿能量是否保守17。Kolmogorov 型变换可描述为17,23:x=x,H(x)-x+f=J(x)H(x)-x+f(11)式中:x Rn表示系统的状态变量;J(x)Rn n表示反对 称 矩 阵;H(x):Rn R 代 表 哈 密 顿 能 量;x,H(x)对应于系统的能量保守部分;x 对应系统的耗散部分;f 为系统的外加能量。当方程(11)中没有 x 和 f 时,哈密顿能量是一个非零常数(哈密顿能707电子元件与材料量的变化率等于零),即哈密顿能量守恒系统;否则是非哈密顿系统。为了实现这种变换,系统(2)必须满足反对称条件23。因此,假设 X=hx,Y=y,Z=z 和 U=mu,其中 h 和 m 是两个非零常数,系统(2)可写为式(12)的变换:X=ahY-ahmUY=khm2XU2-bhX+YZZ=1-Y2U=mhX(12)ah=bh 0,ahm=mh 0(13)设 a1=ah,a2=bh,b1=ahm,b2=mh,k1=khm2,x=X,y=Y,z=Z,u=U,式(12)可以写为式(14):xyzu=a1y-b1u-a2x+yz-y2b2x-0k1xu200+0010=J(x)H(x)-x+f(14)其中,J(x)=0a10-b1-a20y00-y00b2000,H(x)=xyzu,x=0k1xu200,f=0010,a1=a2,b1=b2,则计算该系统的哈密顿能量部分为:H(x)=12(x2+y2+z2+u2)(15)对式(15)进行计算,系统的哈密顿能量变化率为:dH(x)dt=xH(x)=xx+yy+zz+uu=k1xyu2+z (16)很明显该系统的哈密顿能量变化率不为零,即该系统为非哈密顿能量的体积保守混沌系统。1.6 参数对系统动力学行为的影响随着系统参数的变化,系统会处于不同的状态。固定初始值(0.1,0.1,0.1,0.1),当参数 b=1,k=0.1 时,参数 a 在0,10范围内的 Lyapunov 指数谱如图 4(a)所示,状态变量 y 随参数 a 变化的分岔图如图 4(c)所示。可以得到,参数 a 在区间0,1.56,2.04,2.48,2.58,2.72,2.83,3.07,3.60,4.02处于混沌状态,在区间1.57,2.03,2.49,2.57,2.73,2.82,3.08,3.59,4.03,10处于准周期状态。当参数 a=0.1,k=0.1 时,参数 b 在0,10范围内的 Lyapunov 指数谱如图 4(b)所示,状态变量 y 随参数 b 变化的分岔图如图 4(d)所示。可以得到,参数 b 在区间0,1.48,3.09,3.75处于混沌状态,在区间1.49,3.08,3.76,10处于准周期状态。系统随 a、b 参数变化的Lyapunov 指数之和分别如图 4(e)和(f)所示。总的来说,系统(2)从混沌状态开始,随着 a、b 参数的变化,系统存在混沌状态和准周期状态的来回切换,最后稳定在准周期状态。Lyapunov 指数谱具有关于水平x 轴对称的结构,系统的 Lyapunov 指数之和为零。此外,分岔图与 Lyapunov 指数谱也相对应。参数 a、k 和初始值同上,b 取值准周期状态区间,随 b 值的变化,系统(2)具有丰富的准周期拓扑结构。b取不同值时,x-z 平面准周期相轨图如图 5 所示。从图 4(b)中可以得到,当 b=1 时为混沌状态,b=10 时为准周期状态。固定参数 a=0.1,k=0.1,初始值(0.1,0.1,0.1,0.1),当 b=1 时,y-z,x-z,z-u 平面的混沌流相图(青绿色)如图 6(a),(c),(e)所示;当 b=10 时,对应平面的准周期流相图(青绿色)如图 6(b),(d),(f)。红点则显示了图 6 中 y-z,x-z,z-u 各个切面上对应的 Poincar 映射。根据系统不同平面上的 Poincar 映射,可得到验证:准周期的 Poincar 映射是一条闭合曲线或只有有限个点,而混沌的 Poincar 映射是一些离散点。807夏国莹,等:一类忆阻型 4D 保守混沌系统的设计及其分析(a)随参数 a 变化的 Lyapunov 指数谱;(b)随参数 b 变化的 Lyapunov 指数谱;(c)状态变量 y 随参数 a 变化的分岔图;(d)状态变量 y 随参数 b 变化的分岔图;(e)随参数 a 变化的 Lyapunov 指数之和;(f)随参数 b 变化的 Lyapunov 指数之和图 4 系统随参数 a、b 变化的 Lyapunov 指数谱、分岔图以及 Lyapunov 指数之和Fig.4 Lyapunov exponent spectra,bifurcation diagrams and sum of Lyapunov exponent of the system varying with a,b(a)b=1.5;(b)b=2.49;(c)b=3;(d)b=3.8;(e)b=5;(f)b=6;(g)b=7;(h)b=8图 5 b 取不同值的准周期拓扑相轨图Fig.5 Quasi-periodic topological phase diagrams with b in different values907电子元件与材料(a)y-z 平面混沌流相图和 Poincar 映射;(b)y-z 平面准周期流相图和 Poincar 映射;(c)x-z 平面混沌流相图和 Poincar 映射;(d)x-z 平面准周期流相图和 Poincar 映射;(e)z-u 平面混沌流相图和 Poincar 映射;(f)z-u 平面准周期流相图和 Poincar 映射图 6 系统混沌流和准周期流相图及其 Poincar 映射Fig.6 Phase diagrams of the chaotic flows and quasi-periodic flows and their Poincar map1.7 初始值对系统动力学的影响当系统参数不变时,不同初始值可能会产生具有多个不同拓扑结构的吸引子(保守系统的混沌流或准周期流)称为多稳态。系统(2)对初始值变化敏感,受初始值影响,可产生混沌流和准周期流的状态切换。参数 a=0.1,k=0.1,b=1 保持不变时,设初始值为(0.1,y(0),0.1,0.1)或(0.1,0.1,z(0),0.1)。关于初始值 y(0)和 z(0)的 Lyapunov 指数谱和相应分岔图如图 7 所示。从图 7 可知,所有 Lyapunov指数谱也关于水平 x 轴对称。根据图7(a),当 y(0)在区间-5,-1.3,-0.64,0.5和1.52,5系统处于混沌 状 态,当 y(0)在 区 间 -1.29,-0.65,0.51,1.51系统处于准周期状态。从图 7(c)可得z(0)取值-5,5,系统始终处于混沌状态。1.8 共存现象固定参数值时,系统(2)可以由不同的初始值产生无穷多个共存流。有趣的是,对于不同的初始值,该系统可产生混沌流和不同幅度周期流的非对称共存。选取参数 a=0.1,k=0.1,b=1 不变,如图 8(a)所示,可产生初始值为(0.1,0.01,0.1,0.1)的混沌流(蓝色),(0.1,0.05,0.1,0.1)的混沌流(红色),(0.1,0.8,0.1,0.1)的周期流(青绿色),(0.1,1,0.1,0.1)的周期流(玫红色)共存现象。此外,固定参数 a=0.1,k=0.1,b=10,改变系统初始值,还可得到准周期共存流,如图 8(b)所示,初始值分别为(0.1,0.1,0.1,0.1)(红色),(-0.1,-0.1,0.1,-0.1)(蓝色),(0.1,0.1,0.1,-0.1)(青绿色)的准周期流共存现象。2 电路实现本部分根据系统状态方程和电路理论设计系统(2)的等效模拟电路。选取参数 a=0.1,k=0.1,b=1 设计系统电路,对系统的状态方程进行时间尺度变换,令 t=,为时间尺度变换因子,取 =1000,如式(17)所示:x=100(y-u)y=-x(100u2+1000)+1000yzz=1000-1000y2u=1000 x(17)根据式(17)所设计系统的电路原理图如图 9 所示,相应的电路方程为式(18)所示。017夏国莹,等:一类忆阻型 4D 保守混沌系统的设计及其分析vx=R2C1R1R3vy-1C1R4vuvy=-1C2R5vx-1C2R6vxv2u+R8C2R7R9vyvzvz=-1C3R10v2y+1C3R11vu=R13C4R12R14vx(18)该电路采用线性电阻、电容、运算放大器、模拟乘法器等电路元件。其中,运算放大器所选择的工作电压为15 V。计算所得的电容、电阻值如图 9 所示。Multisim 电路仿真结果如图 10 所示,与 Matlab 的数值仿真结果对比,整体上是一致的,其结果验证了理论分析的正确性。(a)系统随 y(0)变化的 Lyapunov 指数谱;(b)系统变量 x 随 y(0)变化的分岔图;(c)系统随 z(0)变化的 Lyapunov 指数谱;(d)系统变量 x 随 z(0)变化的分岔图图 7 系统随初始值 y(0)、z(0)变化的 Lyapunov 指数谱和分岔图Fig.7 Lyapunov exponent spectra and bifurcation diagrams of the system varying with initial values y(0),z(0)(a)混沌和准周期共存流;(b)准周期共存流图 8 系统在不同初始值下的共存现象Fig.8 Coexistence of the system with different initial values117电子元件与材料图 9 系统 Multisim 仿真电路Fig.9 Multisim emulator circuit of the system(a)y-z 平面相图;(b)x-u 平面相图;(c)x-z 平面相图图 10 Multisim 仿真相轨图Fig.10 Phase diagrams by Multisim software simulation3 结论本文提出一类基于忆阻器的四维保守混沌系统,通过计算系统散度和对其进行 Kolmogorov 型变换分析了它的保守性,该系统散度随时间变化的平均值为零,哈密顿能量变化率不为零,因此为相体积守恒、哈密顿能量不守恒的保守混沌系统。分析了系统随参数和初始值变 化 的 Lyapunov 指 数 谱 和 分 岔 图,发 现 其 具 有217夏国莹,等:一类忆阻型 4D 保守混沌系统的设计及其分析Lyapunov 指数之和为零、Lyapunov 指数谱关于水平 x轴对称等特征;还具有多种准周期拓扑结构,同态和异态共存的多稳态特性。最后,通过模拟电路实验验证了相关的理论分析的正确性。保守系统比耗散系统在图像加密方面的应用更具优势,该保守系统的提出为混沌在图像加密方面的应用提供性能优良的备选系统。参考文献:1Chua L O.Memristor-the missing circuit element J.IEEETransactions on Circuit Theory,1971,18(5):507-519.2Fan Y J,Huang X,Wang Z,et al.Nonlinear dynamics and chaos in asimplified memristor-based fractional-order neural network withdiscontinuous memductance function J.Nonlinear Dynamics,2018,93(2):611-627.3Duan S K,Hu X F,Dong Z K,et al.Memristor-based cellularnonlinear/neural network:Design,analysis,and applications J.IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems,2015,26(6):1202-1213.4Aljafar M J,Perkowski M A,Acken J M,et al.A time-efficientCMOS-memristive programmable circuit realizing logic functions ingeneralized AND-XOR structures J.IEEE Transactions on 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