一类时滞造血模型周期解的指数稳定性.pdf

第39 卷第4期2023年8 月Journal of Harbin University of Commerce(Natural Sciences Edition)哈尔滨商业大学学报(自然科学版)Vol.39 No.4Aug.2023一类时滞造血模型周期解的指数稳定性李?华,龙志文?（1.安徽理工大学数学与大数据学院，安徽淮南2 32 0 0 1；2.湖南人文科技学院数学与金融学院，湖南娄底417 0 0 0）摘要：研究了一类具有时变时滞的造血模型，利用Brouwer不动点定理,证明了所研究模型周期解的存在性，通过构造合适的Lyapunov函数，运用微分不等式技巧、连续性理论以及一种新的分析方法，获得了该模型正周期解指数稳定性的充分判据.给出了一个数值例子,证明了理论结果的有效性，并运用Matlab绘制了造血模型数值解的拟合图像.结论改进和推广了已有文献的相关结果.关键词：造血模型；周期解；指数稳定性；非自治；时滞；不动点定理中图分类号：0 193文献标识码：A文章编号:16 7 2-0 9 46(2 0 2 3)0 4-0 42 6-0 5Exponential stability of periodic solutions for a hematopoiesis modelwith a time-varying delayLI Hua,LONG Zhiwen?(1.School of Mathematics and Big Data,Anhui University of Science and Technology,Huainan 232001,China;2.School of Mathematics and Finance,Hunan University of Humanities,Science and Technology,Loudi 417000,China)Abstract:A class of hematopoietic model with time-varying delay was studied,usingBrouwer fixed point theorem,the existence of periodic solution of the model was proved.Byconstructing suitable Lyapunov function,using differential inequality technique,continuitytheory and a new analytical method,some sufficient criteria of exponential stability of thepositive periodic solution of the model was obtained.Finally,a numerical example was givento prove the effectiveness of the theoretical results,and Matlab was used to draw the fitingimage of the numerical solution of the hematopoietic model.Conclusion had improved andgeneralized the corresponding results of existing literatures.Key words:hematopoiesis model;periodic solution;exponential stability;non-autonomous;time-varying delay;fixed point theorem收稿日期：2 0 2 2-10-2 1.基金项目：安徽省自然科学基金（No.2208085MA04）；安徽省教育厅高校自然科学研究项目重大项目（No.KJ2020ZD32）；安徽省教育厅高校优秀人才支持计划重点项目（No.gxyqZD2022035）；湖南省教育厅优秀青年项目（No.18B456）作者简介：李华（1999），女，硕士生，研究方向：微分方程与动力系统.通信作者：龙志文（198 0），男，博士，副教授，研究方向：微分方程，E-mail：z h i w e n l o n g 2 0 12 12 6.c o m.第4期Mackey和Glass在文献1中提出了如下非线性时滞微分方程(1)来描述血红细胞的动力学行为,其中：（t）为血液循环中成熟细胞的密度，c为在循环中细胞灭亡的速率，T为骨髓中未成熟细胞开始产生和释放到循环系统之间的成熟时滞,1+*(-T)为细胞从干细胞舱室进人到循环的流函数,它是依赖于(t-T)那么,对于 C=I C,Q(s）时刻的细胞数量x（t-）.关于模型（1）及相关动Q1,s=-*,0 ,模型(2)的解x(t;to,)满足:力学的研究可参阅文献2 6.Q2x(t;to,山)Qi,t to,n()众所周知，现实世界中，环境的变化如：天气、进一步,模型（2)每一个解的存在区间为to，+繁殖、食物供应、资源可用性等季节性因素对生态8）.系统的动力学起着重要作用7-14.又由于生态系定义1设*（t）是模型(2）的周期解.对于统在波动环境中的选择性与在稳定环境中的选择模型(2）的任意解(t）),如果存在正数,使得性不同，特别地，周期性变化的环境对模型的动力lx(t)-x*(t)/=0(e-),t 0学影响十分重要15-16 因此,在生物种群模型中，则称*（t）是指数稳定的.考虑生物参数的周期性是合理且有意义的.注记1容易计算，当0 n1时，基于上述讨论，我们进一步考虑如下非自治造血模型x(t)=-c(t)x(t)+其中：n是一个正常数.我们综合运用Brouwer不动点定理，研究模型（2）正周期解的存在性，然后通过运用一些新颖的数学分析技巧和方法进一步研究该周期解的指数稳定性.为建立本文的主要结果,对模型（2)的生物参数做如下假设：（H)c(t),d(t),T(t）是正的连续-周期函数.本文中给出一些记号，对于有界函数fEC(R,R),记f*和f 为f*=supf(t),f-=inf(t)其中:R=0,+),C=C(-*,0,R)是连续函数空间,定义C=C(-*,O,R).根据模型(2)的生物学解释，实际应用只有正解才有意义,因此,当s0时,我们赋予模型(2）如下的初始条件：李华，等：一类时滞造血模型周期解的指数稳定性1预备知识d本小节将给出如下一些基本定义和引理.首先,类似于文献2 中的引理3.1,我们可以得到如下结果：引理 1 2 Q2 Q1,使得dd*c*Q2(1+)2在(0+）上是递减的,所以对任意,0,有d(t)+1+x(t-(t)tER 427.x(s)=(s),=C+,(0)0假设（H）成立，存在两个正常数nQ-1(2)11+x1+I(1+)h(n)I x-yl,其中：是位于和之间的数,且nQh(n)（11+Q.)2,0n1二n，2主要结果本小节将建立模型(2)周期解的存在性及指数稳定性.定理1在在引理1的条件下，进一步假设如下条件成立：-c+d*h(n)1(3)(4)428证明首先，根据式（4）可知,存在一个正常数儿满足-c+d*h(n)-,并记M,=c*M,+d*.设=(s)C+:l(s)|Mi,l(s)|M2,-T+s01易见，Q是一个紧凸集.定义一个从Q到C的映射I：I:小(s)x(s+w,)其中：(t）=x(t,山）为模型(2)的解,其初始条件为x(s)=(s),-T*s0下面将证明，即证，如果,那么EQ.定义如下辅助函数Ki(t)=supIx(t+s)IE-T+,0容易看出|x(t)|K,(t).下证对所有的t0,都有K(t)M.假设存在时刻t使得lx(ti)|=Ki(ti)=Mi,且|x(t)|Mi,tti(6)根据式(3）、（5)和式(6)可得D+|x(t)I =,-c x(t)I+1d+-c-x(ti)|+d*h(n)|x(ti-(ti)|+d*-c-+d*h(n)K,(t)+d*-K(tt)+d*=-M,+d*ti,有|x(t)K(t)M.另一方面，通过直接计算可知|x（s+）|Mz，因而有TQ二Q2.根据Brouwer不动点定理，可知存在*Q,使得I*=*,因此x(t,t*)=x(t,Fu*)即x(t,山*)=x(t+w,山*)综上所述,模型(2)存在一个周期解.下面证明该周期解的指数稳定性.哈尔滨商业大学学报（自然科学版）模型(2)的任一解,设(5)z(t)=x(t)-x*(t)则有d(t)z(t)=-c(t)z(t)+1+x(t-T(t)d(t)1+x*(t-T(t)根据式(4)以及连续性理论可知,存在一个足够小的数8 0,使得-c+es*d*h(n)0,有如下两种情况成立：情形I：IV(t z）|0,对于任意的t（t,t+）,有I V(t)/K,(t2).情形:I V(t z)|=K,(t),由式(3)、式(8)和式(9),我们有D*V(t)|l-=tn=sign/(t2)/e2(t.)+sign/V(t2)em -c(t)(t.)+d(t)d(t2)-c-+/V(t2)|+e2d*h(n)|x(tz-T(t,)-x*(tz-(t2)-c-+/V(t)|+d+h(n)(-c+s+esr+d*h(n)/K,(t2)0,当t（t 2,t +i)时,有V(t)V(t).因此,当te（t,t+i)时,K,(t)=K(t2).总之,对于任意的t0,我们有K,（t）=K,(0),这意味着|V(t)|K,(0),因此lx(t)-x*(t)|=0(e-),t0所以模型(2)的周期解*（t)是指数稳定的.证毕.第39卷假设x*（t)为模型(2)的-周期解,x(t)为(7)(8)(9)0sM(10)第4期注记2在文献2 中,作者借助于对角线法则研究了一类具有非光滑造血模型概周期解的存在性和指数稳定性问题，由于周期解是概周期解的特殊情形,其同样蕴含了周期动力学的相关判据。通过比较发现,本文方法与文献2 中的方法是完全不同的.因此,本文所建立的结果是新颖的。3数值仿真本小节将用一个例子来说明所得结果的有效性.例1考虑如下时滞造血模型：x(t)=-(8+cos4t)x(t)+1+x(t-23(11)其中:c(t)=8+cos4t,d(t)=1.5+sin4t,T(t)=+cos4,则 c(),(1),()均为连续的号-周12+期函数.取 Q1=1,Q2=150容易验证：d+=2.5 0.18=c*Q2 1+Q17另一方面,取8=0.0 1,+有esT+1.023 61当n=时，有2-c+&+2eer*2.5 2.713 7 -0.045 6 0当n=2时,有-c*+2es*d*-7+0.01+21.023 62.5=-1.872 0因此，由定理2 可知，当n(11)分别存在一个指数稳定的晋21、2 所示。李华，等：一类时滞造血模型周期解的指数稳定性1.0 1.52.02.53.03.54.04.55.0t1图1n2时，模型(11)具有指数稳定的周期解),model(11 has a exponentialWhen n:1Figure 11.5+sin4t1cos4t222(1+Q)21和n=2时,模型2晋-周期解，如图3AOUITI C,DRIDI F,KONG F.Pseudo almostautomorphic solutions of hematopoiesis model with mixeddelays J.Computational and Applied Mathematics,429.0.300.250.200.150.100.0500.5stability periodic solution0.300.250.200.150.100.0500.51.01.52.02.53.03.54.04.55.0t图2n=2时,模型(11)具有指数稳定的周期解Figure 2When n=2,model(11)has a exponentialstability periodic solution4结语本文利用Brouwer不动点定理证明了一类非自治时滞造血模型周期解的存在性,并运用一种新的分析方法，得到了所研究模型正周期解指数稳定-7+0.01+1.023 6 性的充分判据.推广了文献中的相关结果.参考文献：1MACKEY M C,GLASS L.Oscillation and chaos inphysiological control systems J.Science,1977,197(4300):287 289.2TAN Y,ZHANG M.Global exponential stability ofperiodic solutions in a nonsmooth model of hematopoiesiswith time-varying delays J.Mathematical Methods inthe Applied Sciences,2017,40(16):5986-5995.4302020,39(2):1-20.4KONGF,NIETO J J.Almost periodic dynamicalbehaviors of the hematopoiesis model with mixeddiscontinuous harvesting terms J.D i s c r e t e&Continuous Dynamical Systems-B,2019,24（11):5803-5830.5LIU B.New results on the positive almost periodicsolutions for a model of hematopoiesis J.NonlinearAnalysis:Real World Applications,2014,17:252-264.6BEN F H,CHERIF F.Positive pseudo almost periodicsolutions to a class of hematopoiesis model:oscillationsand dynamics J.Journal of Applied Mathematics andComputing,2020,63(1):479-500.7王文涛，刘福窑，陈.具有非单调反馈的随机Mackey-Glass造血模型J.应用数学学报,2 0 2 0,43(5):865 874.8龙欣时滞Nicholson果蝇系统的动力学分析D.长沙：长沙理工大学,2 0 2 1.9董亚男，史培林.具有Logistic增长的随机溶瘤疗法模型的动力学行为研究J.数学的实践与认识，2020,50(24):99 108.10BEREZANSKYL,BRAVERMAN E,IDELS L.Mackey-Glass model of hematopoiesis with non-monotonefeedback:stability，o s c i l l a t i o n a n d c o n t r o l J.Applied Mathematics and Computation，2 0 13,2 19(上接40 7 页)6TRAN D,BOURDEV L,FERGUS R,et al.Learningspatiotemporal features with 3D convolutional networks C/Proceedings of IEEE International Conference onComputer Vision,2015:4489-4497.7郭毅博，孟文化,范一鸣，等基于可穿戴传感器数据的人体行为识别数据特征提取方法J.计算机辅助设计与图形学学报，2 0 2 1，33（8）：12 46-12 53.8辛义忠，邢志飞.基于Kinect的人体动作识别方法J.计算机工程与设计,2 0 16,37（4)：10 56-10 6 1.9李昕迪，朱国强.基于Kinect的人体姿势识别算法与实现J.自动化技术与应用,2 0 16(2)：117-12 1.10SIMONYAN K,ZISSERMAN A.Two-stream convolutionalnetworks for action recognition in videos J.-arXivpreprint arXiv:2014,1406:2199.11 吕淑平，黄毅，王莹莹，基于双流卷积神经网络的人体动作识别研究J实验技术与管理，2 0 2 1，38(8):144-148.12孙满贞张鹏，苏本跃。基于骨骼数据特征的人体哈尔滨商业大学学报（自然科学版）(11):6268-6283.11 王利波，徐瑰瑰，张杰华.一类带有时滞的Lotka-Volterra食饵捕食系统的概周期解J.中国科技信息,2 0 2 1(2 0):10 7-10 9.12 杨巧艳，廖代琴，颜向平.具有时滞的Lotka-Volterra食饵-捕食者成年种群模型的稳定性分析J.应用数学,2 0 2 2,35(4):9 6 6-9 7 3.13 LEI J,MACKEY M C.Multistability in an age-structured modelof Ihematopoiesis:Cyclicalneutropenia J.Journal of theoretical biology,2011,270(1):143-153.14 ZHANG H,YANG M,WANG L.Existence andexponential convergence of the positive almost periodicsolution for a model of hematopoiesis J.AppliedMathematics Letters,2013,26(1):38-42.15 ZHANG H.New results on the positive pseudo almostperiodic solutions for a generalized model ofhematopoiesis J.Electronic Journal of QualitativeTheory of Differential Equations,2014,2014（2 4):1-10.16 YAN Y,SUGIE J.Existence regions of positiveperiodic solutions for a discrete hematopoiesis modelwith unimodal production functions J.AppliedMathematical Modelling,2019,68:152-168.行为识别方法综述J软件导刊，2 0 2 2，2 1（4）：233 239.13 吕亚兰，安建伟.基于特征融合双流网络的人体行为识别J.电子测量技术，2 0 2 0，43（2 0）：12 1-126.200456514WANG L,XIONG Y,WANG Z,et al.Towards GoodPractices for Very Deep Two-Stream ConvNets J.Computer Science,2015.15 裴利沈，刘少博，赵雪专人体行为识别研究综述J.计算机科学与探索，2 0 2 2，16(2)：30 5-32 2.16 李永，梁起明，杨凯凯，等基于深度学习的人体行为识别检测综述J.科学技术与工程，2 0 2 1，2 1(20):8310 8320.17邓志新,洪泓，金一,等基于时空双流全卷积网络的视频目标分割算法研究及改进J工业控制计算机，2 0 18，31(8）：113-114，12 9.18 刘云,张堃，王传旭基于双流卷积神经网络的人体行为识别方法J.计算机系统应用，2 0 19，2 8(7):234 239.第39卷