一类具有组合非线性项的p-Laplace方程的多解性及集中紧性.pdf

高校应用数学学报2023,38(2):223-235一类具有组合非线性项的p-Laplace方程的多解性及集中紧性刘文静，许丽萍*(河南科技大学数学与统计学院，河南洛阳47 10 2 3)摘要：该文研究了一类具有组合非线性项的p-Laplace方程的多解性以及解的集中紧性.当位势函数V(c)满足较弱的条件时，利用变分法，得到了该方程多个非平凡解的存在性并讨论了解的集中紧性，所得结果推广了相关文献的研究成果.关键词：具有组合非线性项的p-Laplace方程；变分法；多解性；集中紧性中图分类号：0 17 5.14S1 引 言(1)文献标识码：A本文研究如下类型的p-Laplace方程-Apu+AV(a)lup-2 u=f(a,u)+s(a)u|q-2 u,a E RN,uE W1,P(RN),其中,u=div(IVup-2u）是p-Laplace算子，p1,1q 0,0.假设位势函数V()和非线性项f(c,u)满足：(Vi)V(a)EC(RN,R+),且在RN上V(a)0;(V2）存在常数b0,使得集合V:=【ERIV()b）非空且有有限Lebesgue测度;(V3)集合Q=intV-1(O)非空且具有光滑的边界;(F1)f(c,u)E C(RNR),对于任意的r E(p,p*)有I(a,u)/c(1+a/-1)(F2)对于aERN，l i m。=0 关于a一致成立;lu/=oTu/p-1收稿日期：2 0 2 2-0 1-0 4修回日期：2 0 2 2-10-2 9*通讯作者,E-mail:基金项目：国家自然科学基金(12 0 7 148 6)；河南省自然科学基金(2 32 30 0 42 0 113)文章编号：10 0 0-442 4(2 0 2 3)0 2-0 2 2 3-13224高校应用数学学报第38 卷第2 期(Fs)）对于任意的 RN,F(a,u)0且存在常数a满足p p使得下式成立：(F6)对于V(a,u)RNR有f(c,-u)=-f(a,u).p-Laplace方程有着广泛而重要的物理应用背景，如在流体力学、渗流和非线性弹性力学等学科中该方程都有广泛的应用.近年来学者们对p-Laplace方程解的存在性和多解性等进行了深入的研究，得到了许多重要结果，如文献1-5.文献6 研究p-Laplace方程其中p1，C R N是具有光滑边界的有界开区域.当非线性项f在无穷远处满足渐近p-线性条件时，作者利用变分法获得了该方程的两个非平凡解.文献7 和文献8 也研究了文献6 中的问题.文献7 运用变分法和Vitali收敛定理给出了该方程的非平凡解的存在性结果.而文献8 则运用变分法研究了非线性项f满足超p线性条件时该问题无穷多个解的存在性与多解性.文献9研究了p-Laplace方程其中RN(N3),0p,2N.在b和f满足一定条件时，通过选取适当的空间，用有界区域向无界区域逼近的方法，克服紧性缺失的困难，通过无(PS)条件的山路引理证明了该方程非平凡解的存在性.文献10 研究了p-Laplace方程其中CRN(N1)是具有光滑边界的有界区域，参数入0.在非线性项f满足一定条件时，利用山路引理得到了该方程非平凡解的存在性和多解性.文献11则讨论了一类不具有(AR)条件的p-Laplace非线性椭圆方程其中10使得laB,(o)n;(ii)存在e E X)B(0)使得(e)0;(ii)p满足(C)。条件.即对于VcER以及X中任意满足下列条件的序列(un):(un)c,Ilp(un)l(1+Ilunll)0,都有一个收敛的子列.则c:=infermaxsE0,1(s)是 的一个临界值,其中T:=(E C(0,1,X):(0)=0,(1)=e).定理2.2(见13）设X=YZ是无限维的Banach空间，其中Y是有限维的若EC1(X,R)且对任意c0,满足(C)c条件,以及(i)对任意u E X,(0)=0,p(-u)=p(u);(i)存在常数p,0,使得laB,nz;(ii)对于任意有限维子空间 X,有R=R()0使得在BR上(u)0;则有一个无界的临界值序列.用IlIl表示通常的L范数，这里1s0，并且用ci,C,C;(i=0,1,2.)表示不同的正数.设X=uE W1,P(RN)引入内积(IVup-2uVv+V(r)lu/p-2 u)dc,Vu,E X.JRN和范数ull当入 0 时，定义内积(u,U)入=JRN相应的范数为Ilull=/e(IVuP+AV(a)laulP)dae,Vu E X.JRN易知当入1时，lullIlull/令E=（X，l u l l/），则E是Hilbert空间.由条件(V1)，（V2)和Sobolev不等式，可以证明存在正常数入o,Co(与入无关)，使得对于VuEE入，入入o，有其中ll 1,(R)=(JR(IVulP+ulP)da).事实上，由(Vi)，(V2)和Sobolev不等式可知(IVulp+lulP)da=JRN,(IVuP+V(a)lulP)da，入入o,psp*，有(2)定义方程(1)的能量泛函为I(u)PJRN其中(u)=RN若(F1)和(F2)成立，利用文献14的定理1.2 2,易证IECi(E,R)，且其Gateaux微分为(Ix(u),u)=其中由此可知uEE是I的一个临界点，当且仅当u是问题(i)的一个弱解.引理3.1假设(F4)成立以及()L=(R,R+)(1q是问题(1)的一个非平凡解，则对于V入入o和0,有I(u)k:=证若u是问题(1)的解，则有),u）=0.从而由(F4)，(3)，（4)以及Holder不等式可知，I(u)=Ilux/PP1/RN力01PP*-卫P*/RNRNP*-卫P*1P*-卫Ill,c lll 1,(RM)Cscolll/=k ll/.(IVulP+V(ac)lulP)da-b(u),Vu E Ex,F(a,u)da+/(a)lalde.(IVulp-2 uVu+AV(a)lalp-2ao)da-(u),u),Vu,E Ex,/RN(a(u),u)JRNF(a,u)da-JRNqJRN(a,u)uada+s(a)lux/daJRNda+RNkll(a)l/,lluxl/.1入6bJRNIV1VulPda)+bJRNAVlulPdc(IVulP+AV/ulP)dcRNinfJR/VulPdaqJRNf(a,u)uda+$(a)|uq-2avda.RNRN83主要结果(-p)(p-Q)0-quko-pF(a,ux)da-QJRNVlulPdaS.Pp-qRN(3)(4)s(ac)lux/da刘文静等：一类具有组合非线性项的p-Laplace方程的多解性及集中紧性227设uxl/=t,令kgll(a)l.t9,当g(t)=0时,解得to=%kgl(a),产,将to代入g(t),即得(-p)(p-Q)I(u)k:=:pq引理3.2设(F1)和(F2)成立,(a)L(R,R+)(1q0,使得对于VE(O,o),有证对于任意0,若(F1)和(F2)成立，则存在数C。0 使得对于任意uEE,有从而有根据上式以及Sobolev不等式，有F(a,u)dasJRNPJRN从而I(u)=uF(,u)daP/RNekPPP1uuP入LP(1-ek)lu/-ukgll(a)l,ao-pI(u)ll=p n 0.f(a,u)elu/p-1+Celu-1,F(a,u)lulpP+PCd-JRN()luldaqJR.NCkrukgP入CaktuIIs()CektukgP(5)(6)ekp7PKdcPPukgul(7)令e=岁,以及h(t)=岁-Ct-1.则当to=值，从而存在常数p0,有T-Pmax h(t)=h(p)t0由(7)可知，存在常数o，0,当o时，有I(u)u=0.引理3.3假设条件(F1)-(F3)成立,(a)L=a(RN,R+)(1p,使得对于任意0,有I(e)0以及C(M)0使得F(a,u)M|ul-C(M)lup.因此,对于任意的t0,uEE且u0,有I(tu)tlul/-Mtolulda+C(M)tp2由于p，1p，上式表明当t+时，I(tu）=-o.因此to充分大,令e:=tou,r(p-q)2pCekr(r-q)r(p-q)2p(r-q),2pCekr(r-Q)luF(a,tu)da-/RNP0时,函数h(t)达到最大T-P(a)ItuldaqJRNlulPda-t952()/ulda.JRN228高校应用数学学报第38 卷第2 期则有lellp,使得对于任意0,有I(e)是(C)。序列，那么对于V入入o,un)在E中有界.证由于序列un)C E是(C)。序列，故当n足够大时，若(F4)成立，根据(3)和(4),1+c I(un)P1/RN11ln11P因此又由于于是上式表明对于V入入o，u n 在E中有界.引理3.5 假设条件(V1)-(V3)和(F1)-(F4)成立.对于VD0,3Ao=A(D)入o使得对于Vc o,I满足(C)。条件.证设unCE是(C)。序列且c0使得llunllDo.于是不妨假设在E中存在一个子序列un(为方便仍记为un)和uo使得：在E中，un一uo;当sp,p*)时,在空间Lio。(R)中,unuo;在RN中,unuo a.e.成立以及I(uo）=0.由于在E中un一uo，根据Brezis-Lieb引理(见15)，可知(8)/RNJRNlun-uolda=/lunlda-/RNJRN下面证明F(,un)-F(r,n-uo)-F(c,uo)|d=o(1)JRN以及qJRN成立.事实上，令wn=un一uo则在E中wn一0.根据条件(F1)，(F 2)和(5)有(I(un),un)F(c,un)da-JRNqJRNf(ac,un)unda+$(a)lunlda/RN1(a,un)un-F(a,un)RN1111+c+(a)|unld JRNE(a)lun1dakgll(a)/-,llunll/,JRN1+c+IVun-VuolPda=.$()(lun|-un-uol-uol)da=o(1)f(a,u)elu/p-1+Celu/-1,$(a)/unlda-1$(ac)lun lda.qJRNkgll(a)/,llun/IVunIPda-/V uolPdc+o(1),JRNuolda+o(1).JRNdc+unlPA$(a)|unlda/RN(9)(10)刘文静等：一类具有组合非线性项的p-Laplace方程的多解性及集中紧性229那么F(,u)If(a,tu)|lul dt elulP+Celul,V(a,u)ERN R.0因此|F(c,wn+uo)-F(a,wn)l根据Youngs不等式有F(c,wn+uo)-F(a,wn)|c2(elwnlP+e|uolP+elwnl+Celuol).因此由(11)得到F(,wn+uo)-F(c,wn)-F(,uo)l c3(elwn|P+eluolP+e|wnl+Ce|uol).对于n E N,令Hn():=max IF(a,Wn+uo)-F(a,wn)-F(c,uo)|-Ce(lwnlP+wnl),O).则于是根据勒贝格控制收敛定理，当no时，JRN根据Hn(c)的定义,对于n E N,F(,wn+uo)-F(c,wn)-F(c,uo)l c3e(lwn|P+wnl)+Hn(a).因此，由(12)和(2)，当n足够大时，IF(a,wn+uo)-F(c,wn)-F(ar,uo)I da cge(Ilwnl/p+lnllf)+e C4e./RN从而有从而表明(9)成立.又由于对于Ve0可以选择一个R。0,使得JRNBRe因为在E中un一 uo，在Lioc(RN)中，unuo，其中sEp,p*).于是当n足够大时，有lun-uolPda ep.JBRe由(2)和(14)以及Holder不等式可得(a)lun-uolda qJBRe(11)工If(a,wn+tuo)I luol dt(elwn+tuo/-1+Celwn+tuol-0ci(elwn|-1 uol+e|ul+Celwn-1 uol+uol0 Hn(c)c3(eluolP+Celuol).Hn()da 0.,|F(c,wn+uo)-F(a,wn)-F(a,uo)I da=o(1)./RNs(c)E L(RN,R+)(1qp),I(a)/p-a dc.P（-adaBRe9luoldtP=P(12)(13)(14)-uolPdaBRe(15)230高校应用数学学报第38 卷第2 期另一方面，P(a)lun-uolda qJRNBRe(lun/g+ul)ekg(lu/+ull1)ekg(cg+uol1).由e的任意性以及(15)和(16),可得又由于于是也即(10)成立.类似地，对宇任意EC(R)，可证/RNRNV(ac)lun-uolPda=RN于是由(8)-(10),(17)-(19)可得根据引理3.1，(2 0)，(2 1)以及(F4)有D-kc-I(uo)Ix(wn)1P11JRN1+uP因为1 0使得对于V入 入o,Ilwnll/D1+0(1).又Jwn/P da+JRNJRNVAV(a)on Pda+0(1)llm/+0(1).XbJRNVbadaJRNBRe(a)|un-uolda=o(1).qJRN(a)(lun1-/uol)da qJRN()(lunl9-un-uol-uol)d=o(1),qJRN(f(c,un)-f(a,un-uo)-f(a,uo)bda=o(1).I(un-uo)=Ix(un)-Ix(uo)+o(1).Ix(un-uo)=o(1).Wn(c)/wn ldc+o(1)(1_1)kgll(a)/,lln/+(1).WnPdcJVb一uod.JRNBRe(16)(a)lun-uoldc,qJRNV(ac)lunlPda-JRN(Ix(wn),wn)+0(1)(17)(18)V(ac)|uo|Pdc+o(1).(19)JRN(20)(21)d(22)刘文静等：一类具有组合非线性项的p-Laplace方程的多解性及集中紧性231对于psAo，在E中wn0.故在E中有unuo.证毕.引理3.6 假设条件(V1)-(V3),(F1)-(F3)和(F5)成立.对于入 Ao,I满足(C)。条件.证只需证明条件(F4)成立即可.由(F5)知，当u0时,1uto-1dtF(,u)=f(a,ut)udt=00(ut)o-1ut当u的完全标准正交基.定义X;=Rej,其中Y是有限维的.下面给出以下引理来确保函数I满足山路引理的结构.引理3.7 假设条件(V1)-(V3)，(F 1)和(F2)成立.则存在常数p,0,使得对于任意入 入o,证由(2),(6)和Holder不等式得到I(u)PP1-ekp)lul/Np-s(N-p)PSPwnll/+0(1)PN(s-P)SPIlwml/+0(1).f(ac,wn)wnda-/RNNp-r(N-p)2l f(a,ut),0(u)-1f(,u)dtJo(-ut)o-1Y=0,=1Xi,Zk=h+1Xj,k e Z,Ix(u)laB,nZ 9.F(a,u)da-/RNqJRNEkpPuPCekTN(s-P)N(r-p)f(a,u),e+0-1dt=uf(a,u).1dtu(u)-1dacCektukgPI(a)lIlull/ukgPN(s-p)s()wn/dcRN(23)232高校应用数学学报第38 卷第2 期由于pr0,则有I(u)laBnz8.引理3.8 假设条件(V1)-(V3)和(F1)-(F:)成立.对于任意有限维子空间E C E,存在数R=R(E)0使得对于VuEEBR，入 入o,Ix(u)0.证由(F1)-(F3)可知，存在一个常数M0以及C(M)0使得F(a,u)M|ul-C(M)lulp.对于任意有限维空间ECE，存在正整数k使得EC E,k.由于所有范数在一个有限维空间中等价，那么存在常数0使得对任意E,有llulllull则当uEx,，入 入o时有I(u)=lu/-P l/-Mlulda+C(M)PJRNF(a,u)da-/RNs(e)luldae=llul/-/eqJRNJRNlulPda/RNF(a,u)daP上式表明存在数R=R(E)0足够大，当VuEEBR，有Io 0.因此引理得证.定理3.1假设条件(V1)-(V3)，(F 1)-(F 4)成立,s(c)EL(RN,R+).则存在两个常数o,Ao0使得对于每一个入 4o以及0 o，问题(1)至少有两个非平凡解u(i=1,2).证事实上由引理3.2，引理3.3，引理3.4以及引理3.5 可知定理2.1的条件均满足，因此由定理2.1可知，对于V入Ao和0 0,因此u 是问题(1)的一个非平凡解.下面通过局部极小化构造第二个解。由于（)L=（R,R+）（1p)，可以选择一个函数EE使得由(F3)知F(c,t)0,于是有一tpP其中t0足够小.因此p10使得:=infI（u)：E Bp 1 0.根据Ekelands变分引理,日un）Bp 1，使得当no时，I(（u n），I (un）0.因此根据引理3.5,存在一个非平凡解u满足I(u)0,lul/0使得对于每一个入 o以及0 0 使得对于每一个入 Ao以及0 0.JRNF(a,to)da-/JRNq JRNt/(a)lalda是一个偶泛函.利用引理3.7,引理3.8 以及引理3.5(或引理3.6)可知，定理2.2 的条件均满足.因此由定理2.2 可知方程(1)有无穷多个非平凡解.定理3.4设u，(i=1,2)是从定理3.1(或者定理3.2)得到的问题(1)的解，则当入o时,uu，其中uW1,P(RN)nWolP(RN)是下面方程的非平凡解-pu=f(a,u)+s(ar)u/q-2u,在中,(24)u=u=0,在上.证下面考虑当入8 o时问题(1)解的集中紧性，并给出定理3.4的证明.记=infuEW1,p(2)nWgP(2)其中I|wr(2)nwa(a)表示IA限制在Wlp(2)n wa(2)上,即w.,(2)nwg(a)(u)=其中uEW1,p(2)nWoP(2).采用类似定理3.1(或定理3.2)的证明方法可得在.令d，由于(w1,P(2)nw(2)Ex,易证对于所有的入 0,0 o,有下面的证明借鉴了文献16-17,为方便阅读，简单给出证明.V入nco，设u：=u x，（i=1,2)是由定理3.1(或定理3.2)得到的I,的临界点.因此其中k,n是常数.由(F4)可得n(un)Ixn(un),un)11P11P这意味着这里常数c与入n无关.因此，序列un)有界.于是假设在Exn中,un一u，在Lic(RN)(psp*)中,unug.根据Fatous引理,V(c)/uolda,lim infJRN由上式以及(V3)可得u=0 a.e.于空间RV-1(0)并且u W1,P(2)nW(2).对于任意 E C(2),由于(Ixn(un),p)=0,易验证1./Vuaip-2ui sde-/f(a,ub)pda-利用上式以及C在空间Wl,p(2)nWs-(2)中的稠密性可知u是问题(2 4)的一个弱解。下面证明在L(RN)(psp*)中，unug.利用反证法，由Lionsvanishing引理(见18)，存,I|w1.(2)nwa(2)(u),VulPda-/F(a,u)da-)PJ20ncxcd.Ixn(un)0n0,p2 0,an E RN,使得卫JBp2(an)lun-uada d1.由于当anlco时，在Lio。（R N)中，unu，故有meas(Bp（a n)n V）0.根据Holder不等式可得lun-ulPda (meas(Bp2(an)n V)因此Ilu.入nb2(an)n(aERNIV(a)b)=入nbluin-ul da-JBp2(n)这就与(2 6)矛盾下面证明在W1,P(R)中，unu.根据In(un),un）=I ,(u n),u）=0和在L(RN)(ps 0,qJRN(a)|ualda k 0.qJRN(28)(29)参考文献：1Lin Xiaoyan,Tang Xianhua.Semiclassical solutions of perturbed p-Laplacian equations withcritical nonlinearityJ.Journal of Mathematical Analysis and Applications,2014,413(1):438-449.2胡茂林.P-拉普拉斯方程正解和多解的存在性J.安徽大学学报：自然科学版，2 0 0 3,2 7(2)：4-9.3 高婷梅.含有一个参数的p-拉普拉斯方程正解的存在性J.郑州大学学报：理学版，2 0 14,41(3)：9-12.4汪继秀，肖计雄.一类p拉普拉斯方程的正解J.重庆工商大学学报：自然科学版，2 0 14,31(3)：1-5.刘文静等：一类具有组合非线性项的p-Laplace方程的多解性及集中紧性2355 6789廖为，蒲志林。一类缺乏紧性的p-Laplacian方程非平凡弱解的存在性J.四川师范大学学报：自然科学版,2 0 0 6,1(1)：2 6-2 9.10 Lin Yan,Tang Chunlei.Existence of Nontrivial Solutions for a Class of P-Laplacian Equa-tionsJ.西南大学学报：自然科学版，2 0 0 8,30(2)：1-4.11Ge Bin,Zhou Qingmei,Zu Li.Positive solutions for nonlinear elliptic problems of P-Laplaciantype on RN without(AR)conditionJ.Nonlinear Analysis,2015,21(1):99-109.12 Bartolo P,Benci V,Fortunato D.Abstract critical point theorems and applications to somenonlinear problems with strong resonance at infinityJJ.Nonlinear Anal,1983,7(9):981-1012.13 Rabinowitz P H.Minimax methods in critical point theory with applications to differentialequationsM.American Mathematical Society,1986.14 Zou W M,Schechter M.Critical Point Theory and Its ApplicationsM.New York:Springer,2006.15 Brezis H,Lieb E.A relation between pointwise convergence of functions and convergenceof functionalsJJ.Proceedings of American Mathematical Society,1983,88(3):486-490.16 Zhang Wen,Tang Xianhua,Zhang Jian.Existence and concentration of solutions for sub-linear fourth-order elliptic equationsJ.Electronic Journal of Differential Equations,2015,2015(3):1-9.17I Tang Xianhua,Zhang Jian,Zhang Wen.Existence and concentration of solutions for theChern-Simons-Schrodinger system with general nonlinearityJJ.Results in Mathematics,2016,71(3-4):1-13.18 Lions P L.The concentration-compactness principle in the Calculus of Variations.Thelocally compact case,Part 1JJ.Ann Inst Henri Poincare Anal Non Lineaire,1984,1(2):109-145.Multiplicity and concentration of solutions to a class of p-Laplace(School of Mathematics and Statistics,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471023,Abstract:In this paper,a class of p-Laplace equations with mixed nonlinearity is studied.When the potential function V(c)satisfies some mild assumptions,the existence of multiple nontrivialsolutions of the equation is obtained by using the variational method.Moreover,the concentration ofsolutions is also explored.The results extend the research results of related literatures.Keywords:p-Laplace equation with mixed nonlinearity;variational method;multiplicity ofsolutions;concentrationMR Subject Classification:39A05;34B10林振生.一类p-拉普拉斯方程解的存在性J.福建师范大学学报：自然科学版，2 0 10,2 6(2)：29-33.雷春雨，唐春雷一类渐近p-线性的p-拉普拉斯方程的多解性J。西南师范大学学报：自然科学版,2 0 14,39(4):18-2 1.Lan Yongyi,Shen Xianduan.Existence of nontrivial solutions to a class of p-LaplacianequationJ.Journal of Jimei University:Natural Science,2017,22(06):66-69.黄建平，张齐.有界区域上一类p-Laplacian方程解的存在性与多解性J华中师范大学学报：自然科学版,2 0 18,5 2(1)：8-12.equations with mixed nonlinearityLIU Wen-jing,XU Li-pingChina)