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析因设计资料的方差分析
某研究者进行急性菌痢治疗的研究，拟分析临床类型（A）和疗法（B）对治疗急性菌痢的影响。临床类型有两个水平：典型、非典型；疗法也有两个水平：特异疗法+辅助疗法、特异疗法。将16名典型急性菌痢患者和16名非典型急性菌痢患者按临床类型及疗法随机等分为四组，测得其治愈天数结果表1。
32名急性菌痢患者治愈天数
表1：
典型（a1,i=1）
非典型（a2,i=2）

特异疗法+辅助疗法
（b1,j=1）
特异疗法
（b2,j=2）
特异疗法+辅助疗法
（b1,j=1）
特异疗法
（b2,j=2）
xij
5
7
4
6
6
4
2
4
4
5
2
5
3
5
3
5
5
8
3
7
6
7
3
6
4
7
4
6
3
5
5
5
结果分析：
方差的单变量分析
主体间因子

值标签
N
临床类型A
1
典型
16
2
非典型
16
疗法B
1
特异疗法+辅助疗法
16
2
特异疗法
16

描述性统计量
因变量:治愈天数
临床类型A
疗法B
均值
标准 偏差
N
典型
特异疗法+辅助疗法
4.50
1.195
8
特异疗法
6.00
1.414
8
总计
5.25
1.483
16
非典型
特异疗法+辅助疗法
3.25
1.035
8
特异疗法
5.50
.926
8
总计
4.38
1.500
16
总计
特异疗法+辅助疗法
3.88
1.258
16
特异疗法
5.75
1.183
16
总计
4.81
1.533
32

主体间效应的检验
因变量:治愈天数
源
III 型平方和
df
均方
F
Sig.
校正模型
35.375a
3
11.792
8.804
.000
截距
741.125
1
741.125
553.373
.000
临床类型A
6.125
1
6.125
4.573
.041
疗法B
28.125
1
28.125
21.000
.000
临床类型A * 疗法B
1.125
1
1.125
.840
.367
误差
37.500
28
1.339

总计
814.000
32

校正的总计
72.875
31

a. R 方 = .485（调整 R 方 = .430）

估算边际均值
1. 总均值
因变量:治愈天数
均值
标准 误差
95% 置信区间
下限
上限
4.813
.205
4.393
5.232

2. 临床类型A
因变量:治愈天数
临床类型A
均值
标准 误差
95% 置信区间
下限
上限
典型
5.250
.289
4.657
5.843
非典型
4.375
.289
3.782
4.968

3. 疗法B
因变量:治愈天数
疗法B
均值
标准 误差
95% 置信区间
下限
上限
特异疗法+辅助疗法
3.875
.289
3.282
4.468
特异疗法
5.750
.289
5.157
6.343

4. 临床类型A * 疗法B
因变量:治愈天数
临床类型A
疗法B
均值
标准 误差
95% 置信区间
下限
上限
典型
特异疗法+辅助疗法
4.500
.409
3.662
5.338
特异疗法
6.000
.409
5.162
6.838
非典型
特异疗法+辅助疗法
3.250
.409
2.412
4.088
特异疗法
5.500
.409
4.662
6.338
结果分析：
本例有两个因素：A因素和B因素。A因素有a1 和a2两个水平，B因素也有b1 b2两个水平，在a1 b1、 a1 b2、a2 b1和 a2b2的四种处理组合中，每个格子均有8个数据，因此该资料为重复数相等（当然也成比例）、两因素且每个因素有两个水平的2×2的析因设计。
以上结果显示：在α=0.05水准上，“临床类型”、和“疗法”间的交叉作用无统计学意义，F=0.840，P=0.367。
单用“临床类型”F=4.599，P=0.041，显示临床类型有统计学意义。
单用“疗法”F=21.117，P=0.000,显示疗法有统计学意义。
完全随机设计的方差分析
为研究A、B、C三种饲料对猪的催肥效果，用每种饲料喂养8头猪一段时间，测得每头猪的初始重量(X)与增重(Y)。试分析三种饲料对猪的催肥效果是否相同 ？
1建立数据库文件
三种饲料喂养猪的初始体重(X, kg)与增重(Y, kg)

A饲料

B饲料

C饲料

X1
Y1

X2
Y2

X3
Y3

15
85

17
97

22
89

13
83

16
90

24
91

11
65

18
100

20
83

12
76

18
95

23
95

12
80

21
103

25
100

16
91

22
106

27
102

14
84

19
99

30
105

17
90

18
94

32
110

2．线性趋势分析：
进行三组间线性趋势的初步判断。

由三种饲料喂养散点图可见：
（1）三组“增重Y”和“初始体重X”都有明显的直线趋势。
（2）三组分布基本相同，没有明显偏差。
3.各组总体回归系数分析
在进行两组间有线性趋势的初步判断后，可以进行回归分析，进一步检验各组总体回归系数是否相等。
回归
输入／移去的变量b
分组
模型
输入的变量
移去的变量
方法
A饲料
1
初始体重Xa
.
输入
B饲料
1
初始体重Xa
.
输入
C饲料
1
初始体重Xa
.
输入
a. 已输入所有请求的变量。
b. 因变量: 增重Y

模型汇总
分组
模型
R
R 方
调整 R 方
标准 估计的误差
A饲料
1
.892a
.795
.761
4.080
B饲料
1
.908a
.824
.794
2.325
C饲料
1
.957a
.917
.903
2.807
a. 预测变量: (常量), 初始体重X。

Anovab
分组
模型
平方和
df
均方
F
Sig.
A饲料
1
回归
387.627
1
387.627
23.287
.003a
残差
99.873
6
16.646

总计
487.500
7

B饲料
1
回归
151.570
1
151.570
28.042
.002a
残差
32.430
6
5.405

总计
184.000
7

C饲料
1
回归
519.602
1
519.602
65.949
.000a
残差
47.273
6
7.879

总计
566.875
7

a. 预测变量: (常量), 初始体重X。
b. 因变量: 增重Y

系数a
分组
模型
非标准化系数
标准系数
t
Sig.
B
标准 误差
试用版
A饲料
1
(常量)
33.516
10.099

3.319
.016
初始体重X
3.508
.727
.892
4.826
.003
B饲料
1
(常量)
54.570
8.243

6.620
.001
初始体重X
2.332
.440
.908
5.295
.002
C饲料
1
(常量)
43.141
6.691

6.448
.001
初始体重X
2.118
.261
.957
8.121
.000
a. 因变量: 增重Y

结果分析：
（1） 方差分析结果显示：经方差分析。三组线性回归的P值分别为P=0.003, P=0.002, P=0.000,均有统计学意义，即存在线性回归关系。
（2） 回归关系结果显示：三组自变量（初始体重）的回归系数分别为3.508、2.332、2.118，其对应的P值分别为P=0.003, P=0.002, P=0.000,均有统计学意义，即回归系数有意义。
由于三组自变量（初始体重）的回归系数为3.508、2.332、2.118，可以认为b2≈b3。
模型汇总结果显示：模型汇总是对三组线性回归模型的效果评价。其R2值分别为0.795，0.824,0.917，表示回归方程中自变量对应变量的影响分别占79.5%、82.4%、91.7%。可以确定自变量（初始体重）为协变量。
4.协方差分析
方差的单变量分析
主体间因子

值标签
N
分组
1
A饲料
8
2
B饲料
8
3
C饲料
8

主体间效应的检验
因变量:增重Y
源
III 型平方和
df
均方
F
Sig.
校正模型
2328.344a
3
776.115
68.196
.000
截距
980.448
1
980.448
86.150
.000
分组
707.219
2
353.609
31.071
.000
初始体重X
1010.760
1
1010.760
88.813
.000
误差
227.615
20
11.381

总计
206613.000
24

校正的总计
2555.958
23

a. R 方 = .911（调整 R 方 = .898）
估算边际均值
分组
估计
因变量:增重Y
分组
均值
标准 误差
95% 置信区间
下限
上限
A饲料
94.959a
1.840
91.120
98.798
B饲料
99.501a
1.203
96.991
102.011
C饲料
82.165a
1.964
78.068
86.263
a. 模型中出现的协变量在下列值处进行评估: 初始体重X = 19.25.

成对比较
因变量:增重Y
(I) 分组
(J) 分组
均值差值 (I-J)
标准 误差
Sig.a
差分的 95% 置信区间a
下限
上限
A饲料
B饲料
-4.542*
2.095
.042
-8.912
-.173
C饲料
12.793*
3.409
.001
5.682
19.904
B饲料
A饲料
4.542*
2.095
.042
.173
8.912
C饲料
17.336*
2.409
.000
12.310
22.361
C饲料
A饲料
-12.793*
3.409
.001
-19.904
-5.682
B饲料
-17.336*
2.409
.000
-22.361
-12.310
基于估算边际均值
*. 均值差值在 .05 级别上较显著。
a. 对多个比较的调整： 最不显著差别（相当于未作调整）。

单变量检验
因变量:增重Y

平方和
df
均方
F
Sig.
对比
707.219
2
353.609
31.071
.000
误差
227.615
20
11.381

F 检验 分组 的效应。该检验基于估算边际均值间的线性独立成对比较。
1、主体间因子显示
分组情况和各组例数。
2、主体间效应显示
“分组”的F=31.071，P=0.000，故认为初始体重不同的猪，增重存在差别。
“初始体重X”的F=81.813，P=0.000,故认为初始体重不同，猪的增重存在差异。即初始体重不同对增重有影响。
3、估计显示
两组的修正均数分别是A饲料组增重94.959，B饲料组增重99.501，C饲料增重82.165,可见三者差不多相等，无差异。
4、成对比较显示
在除去X对Y的影响后，三组增重值无差别，P值几乎相等。
5、单变量检验显示
结论与上述相同。
判别分析
调查了15个公司的组织文化、领导角色和员工发展3个方面内容作为预测变量，因变量为公司对员工的吸引力。为符合研究问题，将公司对员工的吸引力根据被测的实际填答情形，划分为高吸引力组（group=1）、中吸引力组（group=2）和低吸引力组（group=3）。数据如表1所示。

不同类的不同公司特点
公 司
组 织 文 化
领 导 角 色
员 工 发 展
Group
Microsoft
80.00
75.00
90.00
1
IBM
85.00
90.00
90.00
1
Dell
85.00
85.00
60.00
1
Apple
90.00
75.00
90.00
1
联想
99.00
78.00
80.00
1
NPP
88.00
89.00
90.00
2
北京电子
79.00
95.00
97.00
3
清华紫光
89.00
81.00
82.00
1
北大方正
75.00
95.00
96.00
1
TCLE
60.00
85.00
88.00
3
世纪成
79.00
50.00
51.00
2
Angel
75.00
88.00
89.00
1
Hussar1
60.00
89.00
90.00
3
世纪飞扬
100.00
85.00
84.00
3
Vinda
61.00
89.00
60.00
3
结果分析：
1、分类过程摘要
下表为分析案例处理摘要，显示参与分类的个案例数和剔除例数。
分析案例处理摘要
未加权案例
N
百分比
有效
15
100.0
排除的
缺失或越界组代码
0
.0
至少一个缺失判别变量
0
.0
缺失或越界组代码还有至少一个缺失判别变量
0
.0
合计
0
.0
合计
15
100.0
2、分析个案综合统计量
表1所示为系统处理的数据简明表明中的数据，按变量“组别”分组共有15个样本为判别基础数据进入分析，其中第一组8例，第二组2例，第三组5例。
表1：
组统计量
Group
均值
标准差
有效的 N（列表状态）
未加权的
已加权的
高吸引力组
组织文化
84.75
8.120
8
8.000
领导角色
83.38
7.347
8
8.000
员工发展
84.63
11.148
8
8.000
中吸引力阻
组织文化
83.50
6.364
2
2.000
领导角色
69.50
27.577
2
2.000
员工发展
70.50
27.577
2
2.000
低吸引力组
组织文化
72.00
17.621
5
5.000
领导角色
88.60
4.099
5
5.000
员工发展
83.80
14.114
5
5.000
合计
组织文化
80.33
12.726
15
15.000
领导角色
83.27
11.106
15
15.000
员工发展
82.47
14.040
15
15.000
表2：
组均值的均等性的检验

Wilks 的 Lambda
F
df1
df2
Sig.
组织文化
.769
1.800
2
12
.207
领导角色
.698
2.595
2
12
.116
员工发展
.879
.822
2
12
.463

汇聚的组内矩阵a

组织文化
领导角色
员工发展
协方差
组织文化
145.333
-7.813
14.813
领导角色
-7.813
100.465
75.935
员工发展
14.813
75.935
202.265
相关性
组织文化
1.000
-.065
.086
领导角色
-.065
1.000
.533
员工发展
.086
.533
1.000
a. 协方差矩阵的自由度为 12。

协方差矩阵a
Group
组织文化
领导角色
员工发展
高吸引力组
组织文化
65.929
-35.321
-33.250
领导角色
-35.321
53.982
12.732
员工发展
-33.250
12.732
124.268
中吸引力阻
组织文化
40.500
175.500
175.500
领导角色
175.500
760.500
760.500
员工发展
175.500
760.500
760.500
低吸引力组
组织文化
310.500
-5.500
58.750
领导角色
-5.500
16.800
15.400
员工发展
58.750
15.400
199.200
合计
组织文化
161.952
-28.524
8.762
领导角色
-28.524
123.352
91.295
员工发展
8.762
91.295
197.124
a. 总的协方差矩阵的自由度为 14。
分析 1
协方差矩阵的均等性的箱式检验
对数行列式
Group
秩
对数行列式
高吸引力组
3
12.416
中吸引力阻
.a
.b
低吸引力组
3
13.701
汇聚的组内
3
14.540
打印的行列式的秩和自然对数是组协方差矩阵的秩和自然对数。
a. 秩 < 2
b. 案例太少无法形成非奇异矩阵

检验结果a
箱的 M
21.093
F
近似。
2.320
df1
6
df2
459.639
Sig.
.032
对相等总体协方差矩阵的零假设进行检验。
a. 有些协方差矩阵是奇异矩阵，因此一般程序不会起作用。将相对非奇异组的汇聚组内协方差矩阵检验非奇异组。其行列式的对数为 14.801。

典型判别式函数摘要
特征值
函数
特征值
方差的 %
累积 %
正则相关性
1
.555a
76.1
76.1
.597
2
.175a
23.9
100.0
.385
a. 分析中使用了前 2 个典型判别式函数。

Wilks 的 Lambda
函数检验
Wilks 的 Lambda
卡方
df
Sig.
1 到 2
.548
6.624
6
.357
2
.851
1.769
2
.413
Wilks检验结果
上表所示为典型判别分析的Wilks检验结果。其中Wilks值分别为0.548、0.851，卡方检验统计量的观测值为6.624、1.769，概率P值为0.357、0.413，大于0.05。

标准化的典型判别式函数系数

函数
1
2
组织文化
-.550
.726
领导角色
.827
.373
员工发展
-.062
.399
标准化典型判别函数系数
上表给出典型判别函数的系数，其标准化函数为：
Z1=-0.550x1+0.827x2-0.062x3
Z2=0.726x1+0.373x2+0.399x3
根据判别函数方程的标准化系数，确定各变量对结果的作用大小，在函数1中领导角色的标准化系数为0.827，大于组织文化和员工发展的标准化系数，因而领导角色对函数1的影响作用大于组织文化和员工发展。而在函数2中，组织文化对函数2的影响大于领导角色和员工发展。

结构矩阵

函数
1
2
领导角色
.830*
.539
组织文化
-.609
.736*
员工发展
.331
.661*
判别变量和标准化典型判别式函数之间的汇聚组间相关性
按函数内相关性的绝对大小排序的变量。
*. 每个变量和任意判别式函数间最大的绝对相关性

组质心处的函数
Group
函数
1
2
高吸引力组
-.202
.331
中吸引力阻
-1.228
-.658
低吸引力组
.814
-.266
在组均值处评估的非标准化典型判别式函数
分类统计量
分类处理摘要
下表分类处理摘要，显示参与分类的个案例数和剔除例数。
分类处理摘要
已处理的
15
已排除的
缺失或越界组代码
0
至少一个缺失判别变量
0
用于输出中
15

组的先验概率
Group
先验
用于分析的案例
未加权的
已加权的
高吸引力组
.333
8
8.000
中吸引力阻
.333
2
2.000
低吸引力组
.333
5
5.000
合计
1.000
15
15.000

分类函数系数

Group
高吸引力组
中吸引力阻
低吸引力组
组织文化
.622
.609
.540
领导角色
.833
.711
.894
员工发展
.060
.037
.039
(常量)
-64.709
-52.542
-61.776
Fisher 的线性判别式函数
分组统计量
下表所示为分组统计量列表。表中给出分组变量和合计的均数（means）、标准差（standard deviation）和有效个案的例数。
按照案例顺序的统计量表
下表所示为原始数据逐一回代的判别结果和预测分类的结果显示，其中2组6、1组9和12、3组14共有4个数据被错判（标注**者）。

按照案例顺序的统计量

案例数目
实际组
最高组

预测组
P(D>d | G=g)
P(G=g | D=d)
到质心的平方 Mahalanobis 距离

p
df
初始
1
1
1
.799
2
.429
.448
2
1
1
.806
2
.556
.432
3
1
1
.806
2
.410
.433
4
1
1
.627
2
.500
.934
5
1
1
.489
2
.565
1.430
6
2
1**
.821
2
.611
.395
7
3
3
.581
2
.541
1.085
8
1
1
.927
2
.553
.152
9
1
3**
.707
2
.625
.694
10
3
3
.741
2
.741
.600
11
2
2
.127
2
.976
4.126
12
1
3**
.934
2
.527
.136
13
3
3
.744
2
.798
.591
14
3
1**
.539
2
.710
1.236
15
3
3
.343
2
.854
2.140

按照案例顺序的统计量

案例数目
第二最高组
判别式得分

组
P(G=g | D=d)
到质心的平方 Mahalanobis 距离
函数 1
函数 2
初始
1
2
.403
.572
-.700
-.116
2
3
.365
1.273
.310
.743
3
3
.374
.618
.028
-.285
4
2
.414
1.314
-1.156
.486
5
2
.365
2.303
-1.275
.859
6
3
.295
1.852
.091
.887
7
1
.429
1.551
.965
.765
8
2
.269
1.592
-.580
.424
9
1
.349
1.861
1.152
.496
10
1
.188
3.340
1.046
-1.005
11
1
.020
11.918
-2.547
-2.203
12
1
.390
.737
.605
.039
13
1
.165
3.740
1.367
-.800
14
2
.176
4.022
-.760
1.292
15
1
.102
6.396
1.453
-1.582

**. 错误分类的案例

分类结果a

Group
预测组成员
合计

高吸引力组
中吸引力阻
低吸引力组
初始
计数
高吸引力组
6
0
2
8
中吸引力阻
1
1
0
2
低吸引力组
1
0
4
5
%
高吸引力组
75.0
.0
25.0
100.0
中吸引力阻
50.0
50.0
.0
100.0
低吸引力组
20.0
.0
80.0
100.0
a. 已对初始分组案例中的 73.3% 个进行了正确分类。
分类结果
上表给出分类结果。最后系统对回代判别情况做出评价，即高吸引组组正确率为75.0%。中吸引组为50.0%，低吸引组为20.0%，总判别正确率为80.0%，说明该判别函数的正确率还是较高的。
15