一种基于内外比例因子的4阶Bézier曲线路径平滑方法.pdf

Mar.2023ElectronicandElectroptical Systems2023年0 3 月No.1电系第1期光统一种基于内外比例因子的4 阶 Bzier曲线路径平滑方法杨鹏飞，赵坤，张国宾中国电子科技集团公司第二十七研究所，郑州45 0 0 47摘要：路径平滑是指利用以曲代直的方法解决路径中存在的尖角问题，使路径变得平滑以满足实际需求。通过研究Bzier曲线在路径平滑中的优点以及存在的问题，文章提出了一种基于内外比例因子的4阶Bzier曲线路径平滑方法。该方法因为只有内外比例因子两个自由参数，因此，操作简单，易于实现，而且适用性更强，能够更好地平滑近似原有路径。实验结果表明该方法平滑效果好，速度快。关键词：路径平滑；以曲代直;Bzier曲线；内外比例因子中图分类号：TP273文献标识码：AA 4-order Path Smoothing Method of Bezier Curve Based onInternal and External Proportional FactorsYANG Peng-fei,ZHAO Kun,ZHANG Guo-bin(The 27th Research Institute of China Electronics TechnologyGroup Corporation,Zhengzhou 450047,China)Abstract:Path smoothing refers to the method of replacing straight with curve to solve the sharp angle problemin the path and make the path smooth to meet the actual needs.By studying the advantages and existing prob-lems of Bzier curve in path smoothing,this paper proposes a 4-order path smoothing method of Bzier curvebased on internal and external proportional factors.Because this method has only two free parameters of internaland external proportional factors,it is easy to operate,easy to implement,and more applicable,and cansmoothly approximate the original path.The experimental results show that the method has good smooth effectand fast speed.Key words:Path Smoothing;Replacing Straight with Curve;Bzier Curve;Internal and External ProportionalFactor1引言在很多情况下，比如无人机、无人车路径规划1-5 、汽车、轮船造型设计等，为了得到平滑的曲线，通常会先利用某种方法获得一组离散的点，然后将这些点按顺序逐一连接起来，形成一条由多个线段组成的折线路径（以下简称路径），最后对形成的路径进行平滑处理，以满足实际工程应用要求。路径平滑6-8 是指利用以曲代直（所谓以曲代直就是用曲线路径近似代替折线路径）的方法解决路径中存在的尖角问题，使路径变得平滑以满足实际需要。它是路径规划中的关键技术之一，具有重要的科学研究价值和广泛的工程应用需求。P图1规划路径图1所示的是一条含有6 个节点的路径示意图，其中两个端点P。和Ps分别代表起点和终点，Pi,P2,P，和P4是路径规划的中间节点。对于图1中的路径平滑问题就是如何选择一个形状大小作者简介：杨鹏飞（1993 一），男，博士，工程师，毕业于中国科学院大学，研究方向：任务规划与图像处理。第1期系电光统28合适的曲线来近似代替4个中间节点P1,P2,P3和P4所对应的4个尖角乙PI，LP2，ZP，和ZP4。这里所说的近似代替指的是平滑曲线在中间节点附近能够以曲代直，按照具体问题的实际需要满足替代要求，即在中间节点附近区域用曲线路径代替折线（直线）路径，同时保证路径起点和终点不变，以及在路径非尖锐性中间节点区域附近尽量与原路径保持一致，使得平滑之后的曲线路径与原路径差别较小。目前，比较常用的路径平滑算法大致包括：（1)基于Dubins曲线的路径平滑算法；（2）基于Bzier曲线9-10)的路径平滑算法；（3）基于Pythago-rean Hodograph(PH)曲线的路径平滑算法。其中Bzier曲线因其具有明确的解析形式，并且实现起来更为简单方便，在路径平滑问题中被广泛使用。2Bzier 曲线1962年，法国工程师PierreBzier在设计汽车造型时，提出了一种矢量绘制曲线的方法，并给出了详细的计算公式，因此这类曲线就被称为Bzier曲线。在空间中给定n+1个点Po,Pi,P2，,Pn，称下列参数曲线为n阶Bzier曲线：P,(t)P,Bn.(t),0t1i=0式中,Bn,(c)是Bernstein基函数,即Bn.,(t)=Cit(1-t)-i这里C是组合二项式系数，即n！i(n-i),i=,n一般称折线P。P,P,P,为曲线P(t)的控制多边形;称点Po,Pi,P2，,P,为P,（t)的控制点。在二维平面情况下,曲线P,（t）=（x(t）,y（t)）和控制点P,=（;,y;,z,）的关系用分量写出，即nx(t)x,Bn.(t)二i=0Zy.B.(t)n(t)=0当t在区间0,1 上变动时，就产生了Bzier曲线。常用来进行路径平滑的是3 阶及更高阶的Bzier曲线。3 阶Bzier曲线如图2 所示。3阶Bezierl曲线10.9F0.80.70.6f0.50.40.30.20.10.511.522.533.54X图23阶Bzier曲线其参数表达形式如下：3P;(t)Z P,Bs.(t)=P(1-t)+i-023P,t(1-t)+3P,t(1-t)+P,t,t=0,1矩阵形式为厂-13-31P3-630PP,(t)=t t t 1,0t1-330P,100P,J4阶Bzier曲线10.9F0.80.70.6?0.50.40.30.20.100.511.522.533.54X图3 4阶Bzier曲线4阶Bzier曲线具有比3 阶Bzier曲线更好的光滑性，如图3 所示。其参数表达形式如下4P4(t)=Z P,B.(t)=P。(1-t)*+i=04P,t(1-t)3+6P,t(1-t)+4P,t(1-t)+Pat,t e0,1矩阵形式为总第18 3 期种基于内外比例因子的4阶Bzier曲线路径平滑方法杨鹏飞，等：291-46-417Po1-412-1240PlP(t)=2 t 16-12600P2,0t1-44000P;L1000P.n阶Bzier曲线具有以下特性：(1)曲线经过第1个和第n个（最后一个）控制点，即P(0)=P。P(1)=Pn（2）曲线端点切向量为P(0)=n(P,-P。)P(1)=n(P,-P,-1)（3）曲线在任一点曲率为x(t)y(t)-y(t)x(t)k(t)：V(x(t)+(y(t)3（4）改变任意一个控制点，都会改变曲线形状；（5）曲线具有放射变换不变的特性。3内外比例因子平滑方法从第2 节中关于Bzier曲线的介绍及其路径平滑情况可知，3 阶或4阶Bzier曲线在直接应用于路径平滑问题时，虽然可以使得路径变得平滑，但近似效果不太理想，在很多实际应用中，无法满足近似替代的要求。通过对原有路径在路径中间节点存在尖角问题进行分析，结合4阶Bzier曲线的平滑特性以及尽量缩小平滑后的路径与原路径的差别，研究提出一种基于内外比例因子的4阶Bzier曲线平滑方法，其曲线形状如图4所示。该方法通过定义两个内外比例因子m和n（m E0.5,1,ne0,1）,实现航迹中相邻三个节点的平滑处理，不仅操作简单，易于实现，还可以通过动态调整比例因子大小，达到航路轨迹的预期平滑效果。P,PP1PPP1.121201.1D0图4内外比例因子路径平滑如图4所示，假设P。,P1,P，和P，是4个相邻航迹点，基于内外比例因子的4阶Bzier曲线平滑方法以3 个相邻节点为一组，进行平滑处理，以P。,P,和P,3个节点为示例,基于内外比例因子的4阶Bzier曲线路径平滑方法实现步骤如下。(1)利用外比例因子m确定P。到Pi之间的外比例点Po和P,到P，之间的外比例点P12，计算过程如下。由外比例因子可得P。Po =m P。P,和P,P12=m P,P,代人P,P和P坐标（xo,y）,（x i,y i）和（x 2,2）可得Po和P12坐标（x01,Yo1），（X 12,12）X01=m(x-x0)+X0Yoi=m(yi-yo)+yo和12=(1-m)(2-x,)+xy12=(1-m)(y2-yi)+yi(2）利用内比例因子n确定Po到P间的内比例点Po1,1和P，到Pi2之间的内比例点P1,12，计算过程如下。由内比例因子n可得Po,Pol,=(1-n)PolP,和P,P1,12=(1-1P,P代人Po,P,和P坐标（xo,y),（,yt）和(x2,y2）可得Po1,和Pl,12坐标（0 1,1,yo1,1),（x 1,12，y1.12)x01.=(1-m)(1-n)(x-x)+xoYo1,i=(1-m)(1-n)(yi-yo)+yo和x1.12=m(1-n)(x2-x)+xy1.12=m(1-n)(y2-yi)+yi第1期系电光统30(3)以Po1,Po1.1,Pi,P1.12和Pi2为控制点,构造4阶Bzier曲线，其相应的函数形式如下：+4P+6P.t+4P一P4(t)=Por(1-t)4+4Por.it(1-t)3+6P,t对于3 个节点P,P1,P，构成的一组相邻航迹点，由比例因子m确定的控制点Po和Pi2位于距离中心点P，较远的外侧，而由比例因子n确定的控制点Po1.1和P1.12位于距离中心点P,较近的内侧,因此称这种方法为基于内外比例因子的4阶Bzier曲线平滑算法。该算法通过设置两个内外比例因子，在原有路径中间节点处确定两对内外控制节点，与该路径节点一起构成4阶Bzier曲线方法的5 个控制点。内比例因子n取值为0到1之间，而外比例因子m取值则在0.5 到1之间，这是为了防止相邻两个中间路径节点的外比例因子控制点对重合或交叉，从而保证所生成的相邻4阶Bzier曲线不会相交，以满足实际应用工程的需要。关于内外比例因子和n对平滑效果的影响，将通过第4节仿真实验结果给出。接下来考虑一般情况，将以3 个相邻路径节点为一组应用内外比例因子进行路径平滑推广至具有更多路径节点的情形。对于一条的具有n+1个路径节点Po,Pl,P2，,P，的原始路径，采用基于内外比例因子的4阶Bzier曲线路径平滑方法的算法流程如下。输入：路径节点位置坐标信息P。=（x o，y）,P，=(xi,yi）,P,=（x n,y n)和内外比例因子m,n。和t)+4Pi,12t(1-t)+Pi2tt,te0,1（1)由外比例因子m确定当前节点P（i=1,2，,n 一1）的外部等比控制点对，PP(i-1),i=(x(i-1),i,y(i-1).)Pi(i+1)（i+1)这里上角标i是为了区别相邻节点对应的外部控制点，(i-1)=m(x;-Xi-1)+X:-1y(i-1).=m(y;-yi-1)+yi-1xi.(i+1)=(1-m)(xi+1-x,)+x;=(1-m)(yi+1-y.)+y(i+1)（2）由内比例因子n确定当前节点P（i=1，2，,n-1）的内部等比控制点对,x(i-1).=(1-m)(1-n)(x;-xi-)+xi-1y(i-1)i.:=(1-m)(1-n)(y:-i-I)+yi-1和xi.(i+1)=m(1-n)(x(+1)=x,)+x;yi.i(i+1)=m(1-n)(y(i+1+y(3)利用节点P（i=1,2,n-1）和内外控制点对 P(-1).,Pi(+),P(t-1).1,Pi.(+)构造基于内外比例节点的4阶Bzier曲线，P,(t)=P(i-1)./B4.(t)+P(t-1),B4.(t)+P,B4.2(t)+P.(i+1)B.(t)+Pi.(+)B.4(t)=P(i-),(1-t)*+4P(i-1)i.t(1-t)3+6P,t(1-t)?+4Pi.(i+1)t(1-t)+Pl.(i(i+1)t4,tE0,1输出：在各中间节点尖角处使用构造的4阶Bzier曲线进行平滑处理，得到平滑路径。4仿真实验本节是对内外比例因子方法的系统仿真验证，共分为4组实验：实验1探索了m，n 取不同值时，所提出的路径平滑算法的平滑效果；实验2,3和4中m取值为0.6，n取值为0.5,实验2 和3 分别通过对不同组数据和随机数据组进行方法验证，实验4对无人机/车规划路径节点进行平滑处理。不同内外比例因子曲线平滑对比=0.9.n-0.8m0.8.m=070.9m=0.7.1=0.7m=0.8.n=0.80.8Hm=0.5.n-0.6m=05.n0.50.70.60.5H0.4h0.30.20.10.51.5233.544.55图5实验1总第18 3 期杨鹏飞，等：种基于内外比例因子的4阶Bzier曲线路径平滑方法31图6 所示的实验2 进行了4组固定数值的仿真实验，其中组实验数据设置为：x=0:7,y=0,1,1,2,3,1,1,0。6 组实验数据设置：x=0:8,y=0,1,0,1,0,1,0,1,0。c 组实验数据设置：x=0:9,y=5,6,4,7,3,8,2,7,3,5。d 组实验数据设置：x=0:9,y=5,y=5+（-1),i=1:9,y1o=5。(a)(b)(c)(d)38r6r0.95.82.50.85.60.75.420.65.2M1.50.50.44.80.34.60.50.24.40.14.20024123456702345678023456789012345678X9XXX图6实验2图7 所示的实验3 进行了4组随机数据的仿真实验。e组实验数据设置：x=0:8,y=randi(3，9,1）,表示随机生成9 个1到3 之间的整数，进行4次随机实验。e(1)e(2)e(3)e(4)3.533.532.82.832.632.62.42.42.52.22.52.22221.81.81.61.61.51.41.51.41.21.20123456780123456781234567802345678XXXX图7实验3图8 所示的实验4是利用对无人机在执行城市低空物流投送任务时二维建模仿真场景规划路径进行平滑处理，其中仿真场景中黑色圆圈代表障碍物。无人机规划路径共有6 个航路节点，具体仿真数据如下：起点P。=0,4，终点P，=10,4,路径中间节点P,=1.6 98 4，4.997 5 ，P,=3.2386,5.0628,P,=5.4956,5.7959,P4=6.4444,5.9952。无人机路径平滑效果如图8 所示，能够很好地解决无人机路径规划中的尖角问题，并且时间代价仅为0.0 6 13 19s，具有较快的平滑处理速度。109876u4320012345678910 xkm图：实验45结束语本文重点分析了路径平滑中的核心问题，通过在路径中间节点附近选择等比控制点对，以3个相邻路径节点为一组，采用Bzier曲线为研究工具,提出了一种基于内外比例因子的4阶Bzier曲线平滑方法，解决了路径中间节点所存在的尖角问题，而且可以根据需要通过灵活调整内外比例因子改变平滑曲线的形状，以达到预期路径平滑效果。该方法简单实用，适用性广泛，平滑效果较好且速度快。参考文献1PHUNG M D,HA Q P.Motion-encoded particle swarmoptimization for moving target search using UAVs J.Applied Soft Computing,2020,97:106705.2JLI J,DENG G,LUO C,et al.A hybrid path planningmethod in unmanned air/ground vehicle(UAV/UGV)cooperative systems J.IEEE Transactions on VehicularTechnology,2016,65(12):9585-9596.3 YIN C,XIAO Z,CAO X.et al.Offline and onlinesearch:UAV multiobjective path planning under dynamicurban environment J.IEEE Internet of Things Journal,上接第2 2 页）第1期系电光统322018,5(2):546-558.4张洪海，李翰，刘，等.城市区域物流无人机路径规划J交通运输系统工程与信息，2 0 2 0,2 0（6）2 2-2 9.5陈成，何玉庆，卜春光，等.基于四阶贝塞尔曲线的无人车可行轨迹规划J自动化学报，2 0 15，41（3）：48 6-496.6KIM C,PARK B U.Bezier Curve Smoothing of the Kap-lan-Meier Estimator J.Annals of the Institute of Statis-tical 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