1、第十三讲 圆锥曲线的综合问题考点一:与圆锥曲线弦长、距离有关的问题弦长问题是直线与圆锥曲线位置关系的一个重要内容,处理有关弦长及距离问题时,有以下处理方法:1.“设而不求”求弦长,即将直线与圆锥曲线联立,得出关于(或)的一元二次方程,由根与系数的关系求出(或)代入弦长公式.2. 与弦中点有关的问题用点差法.3. 根据圆锥曲线的定义和焦点三角形结合正、余弦定理求弦长.4. 数形结合.考点二:与圆锥曲线相关的最值、范围问题 与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强,解决的方法:一是由题目中的限制条件求范围,如直线与圆锥曲线的位置关系中的范围,方程中变量的范围等;二是将要讨论的几何量如长度、面积、代
2、数式等用参数表示出来,再对表达式进行讨论,应用不等式、三角函数等知识求最值(或范围),在解题过程中注意向量、不等式等在解题中的应用.考点三:圆锥曲线中的定值、定点问题 圆锥曲线中的定值、定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关,如椭圆的长、短轴,双曲线的虚、实轴,抛物线的焦参数等.可通过直接计算来求解,另外还可用“特殊位置法”和“相关曲线系法”求解.例1. 已知两定点,满足条件的点P的轨迹是曲线E,直线与曲线E交于A、B两点.(1)求的取值范围;(2)如果,且曲线E上存在点C,使,求的值和ABC的面积S.例2. 设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.(1)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小
3、值;(2)设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点A、B,且AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.例3. 如图所示,椭圆和圆,过椭圆上一点P引圆O的两条切线,切点分别为A、B.(1)若圆O过椭圆的两个焦点,求椭圆的离心率;若椭圆上存在点P,使得APB90o,求椭圆离心率的取值范围;(2)设直线AB与轴,轴分别交于点M,N,求证:为定值.例4. 设过点,倾斜角为135o的直线与抛物线C相交于点A和点B,抛物线C的顶点在原点且以轴为对称轴.若、成等比数列,试求抛物线C的方程.练习题1. 在平面直角坐标系中,已知椭圆如图所示,斜率为且不过原点的直线交椭圆C于A,B两点,线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C于点G,交直线于点 (1)求的最小值. (2)若,求证:直线过定点; 试问点B,G能否关于轴对称?若能,求出此时ABG的外接圆方程;若不能,请说明理由.2. 已知抛物线过点(1)求抛物线C的方程,并求其准线方程. (2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线,使得直线与抛物线C有公共点,且直线OA与的距离等于?若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.