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第十三讲 圆锥曲线的综合问题
考点一：与圆锥曲线弦长、距离有关的问题
弦长问题是直线与圆锥曲线位置关系的一个重要内容，处理有关弦长及距离问题时，有以下处理方法：
1.“设而不求”求弦长，即将直线与圆锥曲线联立，得出关于（或）的一元二次方程，由根与系数的关系求出（或）代入弦长公式.
2. 与弦中点有关的问题用点差法.
3. 根据圆锥曲线的定义和焦点三角形结合正、余弦定理求弦长.
4. 数形结合.
考点二：与圆锥曲线相关的最值、范围问题
与圆锥曲线相关的最值、范围问题综合性较强，解决的方法：一是由题目中的限制条件求范围，如直线与圆锥曲线的位置关系中的范围，方程中变量的范围等；二是将要讨论的几何量如长度、面积、代数式等用参数表示出来，再对表达式进行讨论，应用不等式、三角函数等知识求最值（或范围），在解题过程中注意向量、不等式等在解题中的应用.
考点三：圆锥曲线中的定值、定点问题
圆锥曲线中的定值、定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等.可通过直接计算来求解，另外还可用“特殊位置法”和“相关曲线系法”求解.
例1. 已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线与曲线E交于A、B两点.
（1）求的取值范围；
（2）如果，且曲线E上存在点C，使，求的值和△ABC的面积S.

例2. 设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（2）设过定点M（0，2）的直线与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.

例3. 如图所示，椭圆和圆，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A、B.
（1）①若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率；
②若椭圆上存在点P，使得∠APB＝90o，求椭圆离心率的取值范围；
（2）设直线AB与轴，轴分别交于点M，N，求证：为定值.

例4. 设过点，倾斜角为135o的直线与抛物线C相交于点A和点B，抛物线C的顶点在原点且以轴为对称轴.若、、成等比数列，试求抛物线C的方程.

练习题
1. 在平面直角坐标系中，已知椭圆如图所示，斜率为且不过原点的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线于点
（1）求的最小值.
（2）若，①求证：直线过定点；
②试问点B，G能否关于轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.

2. 已知抛物线过点（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程.
（2）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线，使得直线与抛物线C有公共点，且直线OA与的距离等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.