分式方程及解法.doc

15.3分式方程（一）教学设计
明德天心中学 袁海英
三维目标
一、知识与技能
1．通过对实际问题的分析，感受分式方程刻画现实世界的有效模型的意义．
2．通过观察、思考，归纳分式方程的概念．
3．解分式方程的一般步骤．
4．了解解分式方程验根的必要性．
二、过程与方法
1．通过具体例子，让学生独立探索方程的解法，经历和体会解分式方程的必要步骤．
2．使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想，认识到能将分式方程转化为整式方程，从而找到解分式方程的途径．
三、情感态度与价值观
1．培养学生自觉反思求解过程和自觉检验的良好习惯，培养严谨的治学态度．
2．运用“转化”的思想，将分式方程转化为整式方程，从而获得一种成就感和学习数学的自信心．
教学重点
1．解分式方程的一般步骤，熟练掌握分式方程的解法．
2．明确解分式方程验根的必要性．
教学难点 明确分式方程验根的必须性．
教具准备 电脑、课件、投影仪．
教学过程
一、旧知回顾，新知奠基
活动1、
找出下列各组分式的最简公分母
回忆一下

设计意图：去分母时，学生找不到最简公分母将会成为新授课的障碍，因此，课前先为新授课扫清障碍。
师生行为：
教师展示问题，让学生思考、回顾，教师展示答案
活动2
温故知新：解方程
初一已经学习过解含有分母的整式方程，通过解含有分母的整式方程，渗透对比学习的学法方法，为探究分式方程的解法做铺垫。
师生行为：
教师展示问题，让学生一起回答，教师展示过程，师生回顾步骤
二、创设问题情境、引入新课
活动3
想一想，做一做：
一般轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？
设计意图：
通过对实际问题的分析，感受分式方程是刻画现实世界的有效模型，用引言中的问题来提问，使整个教学过程贯穿一线，体现了本章问题解决的主线之一．
师生行为：
教师展示问题，让学生思考、回顾，充分发表意见．
经过分析，得出分式方程的概念．
师生共析：
设：江水的流速为v千米/时，则：轮船顺流航行速度为（20+v）千米/时，逆流航行速度为（20-v）千米/时，顺流航行100千米所用的时间为小时，逆流航行60千米所用的时间为小时．
根据“两次航行所用时间相等”可以得到方程：=
说明：这个方程的分母中含未知数v，像这样的方程叫分式方程．即：
分母中含未知数的方程叫做分式方程．
活动4
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程

设计意图：通过区分，进一步巩固分式方程概念
师生行为：
教师展示问题，学生一起作答，PPT展示结果．
三、讲授新课，探索分式方程的解法
活动5
思考：
分式方程的特征是什么？如何解分式方程？
设计意图：
首先要让学生理解分式方程的概念，然后通过分析分式方程的特点，找出与其他方程不同之处．结合方程的特点探索分式方程的解法，这样步步逼近，使学生认识到进一步学习的必要性，激发学生学习的主动积极性．
师生行为：
教师提出问题，学生思考、讨论；对比含分数整式方程的解法，师生共同得出结论：
师生共析：
解方程：=
去分母，方程两边同时乘以各分母的最简公分母（20+v）（20-v）得
100（20-v）=60（20+v）
解得：v=5．
检验：将v=5代入原方程中，左边＝4=右边，因此v=5是分式方程的解．
由此可知：江水的流速为5千米/时．
归纳：
解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，这也是解分式方程的一般思路和做法．在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。
活动6
解方程：
设计意图：
让学生尝试解分式方程，及时了解学生理解程度，并由此例说明分式方程检验的必要性．
鼓励学生在独立思考的基础上，积极的参与到对数学问题的讨论中来，敢于发表自己的观点、见解．
师生行为：
教师出示例题，学生动手独立完成去分母，得出解的过程
教师进行评价，提出质疑，然后进行说明强调．
解：
去分母，在方程两边同时乘以最简公分母，（x-5）（x+5），得整式方程 x+5=10
解得：x=5．
师：x=5是原方程的解吗？
生：将x=5代入原分式方程检验，发现这时分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义，所以……
师：对，因此x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原方程的解，实际上，这个分式方程无解．
活动7
思考：
在上面两个分式方程中，为什么=①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？
设计意图：
让学生通过实践，激发学生积极思考，继续探索，将新知识更加系统化．
师生行为：
学生思考，分母讨论，发表自己的见解．
教师给出增根概念，学生讨论增根产生原因。．
教师归纳：增根:在去分母,将分式方程转化为整式方程的过程中出现的不适合于原方程的根，即使分母值为零的根
产生的原因:分式方程两边同乘以一个零因式后,所得的根是整式方程的根,而不是分式方程的根.
因此解分式方程可能产生增根，解分式方程必须检验 ( 代入最简公分母检验

活动8
解方程：
设计意图：
在初步了解解分式方程的解法后，提出这个题，让学生尝试解答，从而激发了学生的求知欲，有利于提高学生的动手能力．同时让学生板演，共能展示问题，形成共识。师生纠错后，谈一谈解分式方程容易出现的错误，有利于学生避免常见错误。
师生行为：
教师出示例题，学生动手完成．两个学生上讲台板演。师生共同交流容易出现的错误，总结归纳：解分式方程容易犯的错误有哪些？
(1)去分母时，原方程的整式部分漏乘．整式部分乘以最简公分母时不添括号
(2)约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号．(因分数线有括号的作用
(3)增根不舍掉。
解分式方程的一般步骤如下：

四、提升自我，关于增根
活动9、
1、如果 ，那么增根为

2、关于x的方程 ，则a=
3、若方程 无解，则m＝

设计意图：通过由浅入深一组习题的练习，进一步加深对增根的理解与运用，为学有余力的学生提供学习知识，形成技能的平台。
五、课时小结
活动10
小结
布置作业 习题16．3 1；选做《全效学习》B、C组题
设计意图：
回顾本节课所学的内容，进一步巩固所学知识，及时了解学生掌握情况．分层布置作业，体现学校分层教学思路、
师生行为：
师生共同进行：
学习了哪些知识？解分式方程的一般步骤是什么？
教师重点强调解分式方程的三个步骤：（一去分母；二解整式方程；三检验）缺一不可．
其次使学生明白、体验“转化”思想．
板书设计
16．3 分式方程（一）
1．分式方程 （1） 3．解分式方程的一般步骤
特征：分母中含未知数 （1）去分母
2．分式方程的解法 （2）： （2）解整式方程
（1）= （3）检验
6．作业
备课资料
一、巧去分母
解分式方程的基本思想是去分母，课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法，现再介绍几种灵活的去分母技巧．
1．叉乘
【例1】解方程
解：即7x=5（x-2），解得x=-5．检验略．
【例2】解方程
解：即：x（x-6）=（x-2）（x-5），解得x=10．检验略．
2．换元
【例3】解方程-3
解：设y=x-2，则x=y+2．
原方程变为：=-2．
亦即0=-2矛盾，故原方程无解．
3．对等
【例4】解关于x的方程（a≠b）
解：原方程化为：．
由于分子相等，那么分母必相等．
得x=ab．
检验略．
4．并项
【例5】解方程
解：原方程可化为＝2，即1=2矛盾，故原方程无解．
5．拆项
【例6】解方程
解：原方程可化为：1-+=8，即1=8矛盾，故原方程无解．
6．通分
【例7】解方程＝1
解：通分，得＝0．
故x=0．
检验略．
7．相消
【例8】解方程x-2+=2x+
解：分式相消，得x-2=2x．
故x=-2．
检验略．
二、小测:
1、判断下列各式哪些是分式方程，哪些是整式方程。

是分式方程有 ，是整式方程有
2、若方程 无解，则m=
3、解方程

答案：1．（4）（5），（1）（2）（3） 2．-3
3．（1）x=1，（2）x=5

教学反思：本节课的重点是分式方程的解法，将分式方程转化为整式方程是贯穿于这节课的思想方法，课前故知新环节对于含分母的整式方程的复习为去分母打了基础，课初对于最简公分母的复习也为去分母过程解除了障碍，通过习题的练习，师生共同纠错、讨论解分式方程常犯错误也为学生在解题过程中易出现的问题进行了有效提醒。故学生对于分式方程的解法学得较为轻松，效果也颇佳。对于增根的理解是本节课的难点，最初想法是通过例1学生的自我检验，发现所得根会使最简公分母会为零，从而通过思维碰撞共同讨论增根产生的原因，发现检验的必要性，课堂中也留给了学生充分思考和讨论的时间。遗憾的是课堂容量较大，后面关于增根的提升自我部分没有能在课堂中及时完成。

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