第六章第六节课时限时检测.doc

(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了(　　)
A．分析法　　　　　　　　　 B．综合法
C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法
解析：因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．
答案：B
2．设a，b∈R，则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若“a＋b＝1”，则4ab＝4a(1－a)＝－4(a－)2＋1≤1；若“4ab≤1”，取a＝－4，b＝1，a＋b＝－3，即“a＋b＝1”不成立；则“a＋b＝1”是“4ab≤1”的充分不必要条件．
答案：A
3．设a，b，c∈(－∞，0)，则a＋，b＋，c＋(　　)
A．都不大于－2 B．都不小于－2
C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2
解析：因为a＋＋b＋＋c＋≤－6，所以三者不能都大于－2.
答案：C
4．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0 B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.
答案：D
5．若a＞b＞0，则下列不等式中总成立的是(　　)
A．a＋＞b＋ B.＞
C．a＋＞b＋ D.＞
解析：∵a＞b＞0，∴＞.
又a＞b，∴a＋＞b＋.
答案：A
6．若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P、Q的大小关系是(　　)
A．P＞Q B．P＝Q
C．P＜Q D．由a的取值确定
解析：假设P<Q，∵要证P＜Q，只要证P2＜Q2，
只要证：2a＋7＋2＜2a＋7＋2，
只要证：a2＋7a＜a2＋7a＋12，
只要证：0＜12，
∵0＜12成立，∴P＜Q成立．
答案：C
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足______________．
解析：由余弦定理cosA＝<0，
所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.
答案：a2>b2＋c2
8．如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是________．
解析：∵a＋b＞a＋b⇔(－)2(＋)＞0⇔a≥0，b≥0且a≠b.
答案：a≥0，b≥0且a≠b
9．设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填所有正确条件的代号)．
①x为直线，y，z为平面； ②x，y，z为平面；
③x，y为直线，z为平面； ④x，y为平面，z为直线；
⑤x，y，z为直线．
解析：①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，
∴x∥平面y或x⊂平面y.
又∵x⊄平面y，故x∥y成立．
②中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立．
③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y成立．
④z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面可得x∥y，④成立．
⑤x，y，z均为直线可异面垂直，故⑤不成立．
答案：①③④
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a.
证明：要证<a，只需证b2－ac<3a2，
∵a＋b＋c＝0，
只需证b2＋a(a＋b)<3a2，
只需证2a2－ab－b2>0，
只需证(a－b)(2a＋b)>0，
只需证(a－b)(a－c)>0.
因为a>b>c，所以a－b>0，a－c>0，
所以(a－b)(a－c)>0，显然成立．
故原不等式成立．
11．设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．
(1) 求证：数列{Sn}不是等比数列；
(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？
解：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，
即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，
因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{Sn}不是等比数列．
(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列；
当q≠1时，{Sn}不是等差数列；
假设当q≠1时数列{Sn}是等差数列，则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以当q≠1时数列{Sn}不是等差数列．
12．设f(x)＝3ax2＋2bx＋c，若a＋b＋c＝0，f(0)＞0，
f(1)＞0，求证：a＞0且－2＜＜－1.
证明：f(0)＞0，∴c＞0，
又∵f(1)＞0，即3a＋2b＋c＞0.①
而a＋b＋c＝0即b＝－a－c代入①式，
∴3a－2a－2c＋c＞0，即a－c＞0，∴a＞c.
∴a＞c＞0.又∵a＋b＝－c＜0，∴a＋b＜0.
∴1＋＜0，∴＜－1.
又c＝－a－b，代入①式得，
3a＋2b－a－b＞0，∴2a＋b＞0，
∴2＋＞0，∴＞－2.
故－2＜＜－1.