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自然数求和公式及其应用
聪明的高斯在九岁时就在短时间内算出了1+2+3+-----+100的和，关于此公式的几种简单代数证明有好几种，本文将从几何的角度对此公式给出证明，然后举例说明此公式在生活中的广泛应用。
一：探究自然数求和公式与梯形面积之间的关系
n
层
1

n

n
最后一层共有n个
●
●
●

●●●

n
n

如图我们可以把左边圆圈的个数问题转化为右边梯形面积的计算问题。梯形的面积是S=n(n+1),所以左边圆圈的个数是n(n+1)，所以1+2+3+-----+n=n(n+1)
此即自然数求和公式。
利用梯形面积公式，我们还可以求出不是从“1”开始的自然数或等差数列的求和公式。而此时求和的重点在于确定梯形的“高”。
例1、求13+14+15+-----+887的值。
我们可以仿照上面的图形解释把此问题转化为求一个梯形的面积。已知此上底是13，下底是887，难点在于确定梯形的“高”，即从13到887中自然数的个数。
我们可以从最简单开始
起止数
1—2
3—7
17—35
27—66
------
m—n
自然数的个数
2
5
19
50
------
n-m+1
所以这个两底是13和887的梯形的高就是887-13+1=875。所以此梯形的面积是：
（13+887）×875=393750，所以13+14+15+-----+887=（13+887）×875=393750
更一般的，我们还可以通过这种列表探寻规律的方法来求出等差不是“1”的自然数的求和规律。（以等差为3的自然数为例）
起止数
1—4
1—10
2—17
------
m——n
个数
2
4
6
------
（n-m）+1
计算11+15+19+------+411
分析，我们可以把它看做一个两底边分别是11和411，（等差为4），高为（411-11）+1的梯形的面积既是所求11+15+19+------+411的值
即11+15+19+------+411= （11+411）×[（411-11）+1]=21311
二、自然数求和公式的应用
例1、50个同窗好友见面两两握手，共握手多少次？
我们把50个同学编上从1——50的号码。那么1号同学要与其余49人握手49次，1号同学完成任务后2号同样与余下的48个同学握手共握手48次------最后是49号和50号同学握手1次。于是这50个同学握手的问题就转化为了1+2+3+------+50的自然数求和问题。
所以握手的总次数是1+2+3+------+49=（1+49）×50=1250（次）

A B C D E F G H
例2、如图直线l上有A、B、C、D、E、F、G、H 8个点，那么这8个点一共可以确定多少条不同的线段。
线段有两个端点，因此这类问题又可以转化为这八个线段两两握手的问题。
由于点A不与自己握手构成线段，所以线段的总条数是：7+6+------+2+1=（1+7）×7=28
例3、从一点出发有6条射线，那么以O为顶点的角有多少个？
分析：由于一个角有两条有公共端点的两条射线组成，所以，这又可以转化为一条射线和另外一条射线“两两握手”的问题。从而转化为自然数的求和公式：5+4+3+2+1=（1+5）×5=15
问题1：如果是从一点出发100条射线，其中不存在与问题2：顶点三点共线的情况，那么此时共有多少条射线呢？
如果是一条直线上有100个点，那么这100个点可以确定多少条线段呢？
规律：他们都可以转化为1+2+3+------+99的求和问题。（想想为什么最大数不是加到100）
例4：实践应用
一辆列车往返北京与广州之间，若北京与广州之间共有18个站点（不包括北京与广州），那么在北京与广州的列车票价共有几种？列车票共有多种？
把问题转化为：把京广线近似地看做是一条直线，在北京与广州连同起止站点20个站点共有多少条线段的问题。
所以不同的票价为：19+18+17+------+2+1=（1+19）×19=190（种）
练习：1、如图，共有多少个三角形

2、有10个人参加乒乓球决赛，两两对决，至少要进行多少场比赛？