特殊对称铺设复合材料层合矩形板的全局动力学研究_马文赛.pdf

109马文赛等特殊对称铺设复合材料层合矩形板的全局动力学研究第 2 期第 42 卷 第 2 期2023 年 4 月内蒙古工业大学学报（自然科学版）Journal of Inner Mongolia University of Technology（Natural Science Edition）Vol.42 No.2Apr.2023文章编号：1001-5167（2023）02-0109-07特殊对称铺设复合材料层合矩形板的全局动力学研究复合材料具有独特的机电耦性、比强度高、比刚度大和抗疲劳等优点，受到越来越多科研工作者的青睐1-3。由于复合材料通常是薄壁结构，因此它们在各种外部载荷下容易发生大变形，导致其表现出复杂几何形状的非线性动态特征。复合材料结构的非线性动力学特性往往会造成材料结构的破坏，因此，如何减少或者避免复合材料非线性振动所造成的破坏，使复合材料在实际工程和科学中发挥最大的作用，是一个非常有意义的研究。ZHANG W 等4对一种展开式正交异性复合材料悬臂矩形板在气动压力和平面内谐波激励下的非线性动力学进行了分析。YANG S W 等5应用多尺度的方法研究了功能梯度复合材料截断圆锥壳在气动力和面内激励联合作用下的次谐共振。MA T 等6研究了正交各向异性复合材料层合矩形板的非线性次谐共振。YANG S W 等7研究了微飞行器用悬臂碳纳米管增强复合材料梯形板的非线性动力学和振动特性，并讨论了板的几何形状、碳纳米管的体积马文赛1，刘方浩1，李东霄1，张杰英2，吕书锋1（1.内蒙古工业大学 理学院，呼和浩特 010051；2.呼伦贝尔职业技术学院 机电工程系，内蒙古 呼伦贝尔 021000）Global dynamics of a special symmetrically laid composite laminated rectangular plateMA Wensai1,LIU Fanghao1,LI Dongxiao1,ZHANG Jieying2,LYU Shufeng1收稿日期：2021-10-15基金项目：国家自然科学基金项目（12102207）；2021 博士启动金项目（DC2100000950）第一作者：马文赛（1989），男，博士，讲师，主要从事高维非线性系统的复杂动力学研究。E-mail:通信作者：吕书锋（1983），男，博士，教授，主要从事非线性动力学、振动控制的研究。E-mail:(1.School of Science,Inner Mongolia University of Technology,Hohhot 010051,China;2.Department of Mechanical and Electrical Engineering，Hulunbuir Vocational Technical College，Hulunbuir 021000,China)Abstract:The global bifurcation and chaotic dynamics of simply supported orthotropic symmetrically laminated composite rectangular plate is studied for the first time by using the generalized Melnikov method.The five-dimensional nonlinear dynamic system of composite laminated rectangular plate is obtained by coordinate transformation theory.The k-pulse Melnikov function of the system is calculated by the generalized Melnikov theory,and the chaotic threshold interval of composite laminated rectangular plate system is obtained.Using MATLAB software,the theoretical results are numerically simulated to obtain the bifurcation diagram,phase diagram and time history diagram of the composite laminated rectangular plate to verify the correctness of the theoretical analysis.Finally,the theoretical analysis and numerical simulation further show that there is multi-pulse chaotic motion in the composite laminated rectangular plate.Key words:composite laminated rectangular plate;bifurcation;chaos;Melnikov method摘要：应用广义 Melnikov 方法首次研究了四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板的全局分岔和混沌动力学。通过坐标变换理论得到复合材料层合矩形板的五维非线性动力系统，由广义 Melnikov 理论计算出系统的 k-脉冲Melnikov 函数，得到复合材料层合矩形板系统的混沌阈值区间。利用 Matlab 软件，对理论结果进行数值模拟，得到复合材料层合矩形板的分岔图、相图和时间历程图来验证理论分析的正确性。最后，通过理论分析和数值模拟进一步表明复合材料层合矩形板存在多脉冲混沌运动。关键词：复合材料层合矩形板；分岔；混沌；Melnikov 方法中图分类号：TB 332文献标志码：ADOI:10.13785/ki.nmggydxxbzrkxb.2023.02.003110内蒙古工业大学学报（自然科学版）2023 年 其 中 系 数 12，1，2，3，4，F2，22，1，2，3，4，F1是与系统相关的常数。本文主要研究四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板的全局分岔与混沌动力学，为了确保理论分析结果更符合四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板的动力学特性，现应用坐标变换理论引入等效的坐标变换，将四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板的第一、二阶模态的两自由度非线性常微分方程组改写为五维相空间下的微分控制方程组。引入如下坐标变换：则系统(1)的等价形式可以表示为:分数、不同的激励方式等参数对层合板非线性振动的影响。YANG S W 等8基于一阶剪切变形理论建立了偏心旋转碳纤维增强聚合物(CFRP)层合圆柱壳动力学模型，研究了偏心旋转 CFRP 层合圆柱壳在轴向激励下的屈曲和自由振动。WU M Q 等9研究了偏心旋转功能梯度石墨烯片增强复合材料圆柱壳在轴向激励下的屈曲分析和自由振动。NOROOZI M 等10通过理论和实验研究了基础激励下双稳态非对称复合材料层合扁壳的非线性振动。在现实世界中，大部分的工程问题所建立的数学模型可用高维非线性动力学模型来描述。高维非线性动力系统往往会表现出非常复杂的动力学行为，而这些复杂的动力学行为往往会造成材料结构的破坏。因此，研究高维非线性动力系统的分岔与混沌等复杂动力学，无论对高维非线性理论的发展还是工程实际的应用都具有重要意义。张君华等11应用 Melnikov 方法研究了简支对称铺设复合材料在参数激励和外激励联合作用下的多脉冲混沌动力学。ZHANG W 等12应用Melnikov 方法研究了对称正交铺设复合材料层合悬臂矩形板在 1:1 内共振情况下的多脉冲同宿轨道和混沌动力学。朱绍涛等13针对含参非线性动力系统的多周期解分岔问题发展了高维 Melnikov 方法，并应用发展的高维 Melnikov 方法研究了负泊松比蜂窝夹层复合材料层合板的多周期运动等复杂非线性动力学行为。马文赛等14部分改进高维系统的广义 Melnikov 方法，并应用于研究环形天线结构的混沌运动等复杂非线性动力学行为。本文主要利用广义 Melnikov 方法研究四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板在外激F1作用下的全局分岔与混沌动力学，并利用数值模拟的方法来验证理论分析的正确性。1力学模型四边简支正交异性对称铺设矩形复合材料层合板的力学模型如图 1 所示，假设矩形板长度、宽度和矩形层压板的厚度为 a、b 和 h，并在横向平面上施加均匀分布的简谐激励 q=q0cost，式中是激励振幅，则离散后的四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板的力学模型可以简化为两自由度常微分系统6。(a)模型和坐标系(b)材料铺设示意图图 1四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板的力学模型Fig.1Mechanical model of orthotropic symmetrically laid composite laminated rectangular plate simply supported on four sides21xx=?22232111 132133 1xxx xx xx=-+?343121cosxxF+324xx=?22212423131322xxx xx x=-+?[phone]cosFxxx+(1)11wx=12wx=?23wx=224wx=?，t=(3)(2)(4)(5)(6)(7)22211111112221wwww ww w+-?3331421coswwFt-=-yzxq q0 cos=hzy22222222121212wwww ww w+-?3332412coswwFt-=-111马文赛等特殊对称铺设复合材料层合矩形板的全局动力学研究第 2 期 (8)对系统进行规范形计算，进而分析四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板全局动力学。考虑下面未扰动系统 (9)(10)(11)(x1,x2,x3,x4)=(0,0,0,0)为上述未扰动系统的平衡点，在平衡点(0,0,0,0)处的 Jacobi 矩阵为 (13)根据点(0,0,0,0)处的特征方程可知，未扰动系统存在一对双零特征值以及一对纯虚特征值，它们分别为 1,2=0，3,4=i2。利用 Maple 程序可得到未扰动系统的三阶规范形方程：(14)(15)(16)(17)其中：222=?，3323=8?。给方程的阻尼与激励加上扰动参数，进行等价坐标变换：(18)得到带有扰动参数的系统 (19)式中：2332 =?,212FF=?,222=?,222FF=?。将阻尼项和激励项视为弱扰动项，并作以下尺度变换:得到方程 令=0，则 未扰动系统的 Hamiltion 函数为 因为0=I?，因此在空间（u1,u2）中作为参数出现，所以未扰动系统(29)(32)是解耦的两自由度系统，取系统(33)前二维系统 =?21=xx?223321 12133 143xxx xxx=-+?324xx=?2212423131322xxx xx x=-+?33342122xx+|-0000000000001022A=21xx=?22322 1343 11()2xx xxx=-+-?22232414434231()2xxx xx xx=+?2222423333413()2xxx xxx x=-+-?21uu=?223211213 11212uuI uuu=-+?1cosFt?[phone]IIIu I=-+?22sincoscoscosIFt+?+=?21uu=?223211213 112uuu Iu=-+?121cosuF+?+222sin sincosIIF=-+?21uu=?313212121221uIuuu+-=?0=I?IuIII21233221+-=?2222222121111224Huuu I=[phone]uII+-?+21uu=?313212121221uIuuu+-=?2112xu=?2222xu=?3cosxI=4sinxI=,11 2211FF 22FF,(12)(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)(28)(29)(30)(31)(32)(33)(34)(35)222sin sincosIIFt=-+?32232112IIIu I=-+?22!sincos coscos#F+?112内蒙古工业大学学报（自然科学版）2023 年方程(34)(35)的 Hamilton 函数形式如下 其中212221+-=IT。当 方 程 满 足 条 件：T0，00 时，令TT-=，时，根 据0/222I或-I，因为系统(36)有不动点，且平衡点(u1,u2)=03,T/()为两个稳定的中心点，平衡点(u1,u2)=(0,0)是双曲鞍点，可以求得连接双曲鞍点(u1,u2)=(0,0)的同宿轨道的解析表达式为：根据假设得到 (39)令 其 中 u1=0，得 到 共 振 值32=rI/。又 根 据212/I得到212/32/，即213222,所以得到系统参数满足03，03，213222。把方程(37)代入方程(32)并积分后得到 由()()()=+dIIxIh,-，得到 根据计算方程(25)(28)的单脉冲 Melnikov 函数为经计算得到系统(1)(2)的单脉冲 Melnikov 函数为 同理，系统的 k-脉冲 Melnikov 函数为 (44)定理 1如果 k-脉冲 Melnikov 函数 Mk存在简单零点，且它的一阶导数不为零，则系统的稳定流形和不稳定流形横截相交，即系统(1)(2)会发生 Smale 马蹄意义下的多脉冲混沌运动。因为sech(0,12 T，如果lg(21)0.881 42 T+，有csch 12 T；如果0lg(21)2 T。41321220412121uTuuH-+=132sechhTuTt=?232sechtanhhuTTtTt=?021212332=+-IuII()dtuIttt|+-=021223221032tanh2+-tTT=22112u dt+-=-222332sechTTtdtT+-=-?=()()()()()+-+=0,000ttpgtpnIMhh212210cos()Muu Ft+-=-+?22102 001(sin cos()2IItdt +?321103342sinsech32TTFT-?2210201(sin cos()2u IFtdt+-+?=()-sin21202I+-3211343TM=-?020cschsin2I FT-?1032sinsech2TFT?22 01(sin)2I-?-321343kTMk=-?020cschsin2k I FT-?1032sinsech2TkFT?22 01(sin)2I-?-(36)(37)(38)(40)(43)(42)(41)113马文赛等特殊对称铺设复合材料层合矩形板的全局动力学研究第 2 期因此可以找到适当的参数满足定理 1，即系统会发生 Smale 马蹄意义下的多脉冲混沌运动。2理论分析由上述理论推导可以求得：030，03。选 取 参 数：1=-0.78，2=0.16，1=2.2，1=-23，2=3.9，3=-10.8，4=-3.7，2=-2.6，1=-4.2，2=16.8，3=-13.6，4=-3.2，1=1，2=1，初值 x1=0.891 3，x2=0.762 1，x3=0.456 5，x4=0.018 5。图 2 为四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板系统的二维分岔图。图 2(a)为在相空间(F1,x1)中的分岔图，图 2(b)为在相空间(F1,x3)中的分岔图。其中水平轴表示外激励幅值 F1，纵轴分别表示四边简支正交异性对称铺设矩形复合材料层合板第一阶模态和第二阶模态的位移。运动到周期运动再到混沌运动的变化过程。由图2(a)四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板第一阶模态的振动响应为混沌运功，随着外激励幅值的增大，系统发生了倍周期运动，随着外激励幅值的进一步增大，系统的振动响应从混沌运动到周期运动再到混沌运动；由图 2(b)不难发现，四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板第二阶模态的振动响应与第一阶模态的振动响应相似，系统的振动响应也是混沌运动和周期运动交替发生。比较图 2（(a)和(b)）可知，四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板第一阶模态的振动幅度比第一阶模态的振动幅度小。图 3 为四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板系统的最大 Lyapunov 指数图，从图中可以看出，系统发生混沌运动的区间与分岔图中混沌运动的区间一致。(a)一阶模态分岔图图 2正交异性对称铺设复合材料层合矩形板分岔图Fig.2Bifurcation diagram of orthotropic symmetrically laid rectangular composite laminated plate(b)二阶模态分岔图图 3正交异性对称铺设复合材料层合矩形板的李亚普诺夫指数图Fig.3Lyapunov diagram of orthotropic symmetrically laid rectangular composite laminated plate图 2 可以直观地显示：在外激励 F1的作用下四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板系统发生多脉冲混沌运动的情况。从图 2 可以看出，当四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板外激励幅值 F1从 50 增加到 150，系统经历了混沌现取外激励幅值 F1=60，由图 2 和图 3 可以判断，系统(1)(2)发生了混沌运动。通过相图和时间历程图进一步验证系统在此外激励作用下发生了混沌运动。图 4 为当外激励幅值 F1=60 时，四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板系统发生混沌的情况，图 4(a)为平面(x1,x2)中的相图，图4(b)为平面(t,x1)中的时间历程图，图 4(c)为平面(x3,x4)中的相图，图 4(d)为平面(t,x3)中的时间历程图。从图 4（(a)和(b)）可知，四边简支正交异性对称铺设矩形复合材料层合矩形板系统第一阶模态的振动响应表现为混沌运动，并且系统在原点处存在一个混沌吸引子；图 4（(c)和(d)）可知，四边F1x1F1x3F1114内蒙古工业大学学报（自然科学版）2023 年简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板系统第二阶模态的振动响应同样为混沌运动，且系统在原点两侧各存在一个混沌吸引子。图 5 为 F1=120 时，四边简支正交异性对称铺设矩形复合材料层合矩形板系统发生混沌的情况。不难发现，随着外激励幅值的增大，四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板系统第一、二阶模态混沌吸引子的个数没有改变。从图 4(d)和5(d)可见，不同外激励作用下，四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板系统第二阶模态的振动相应幅值是不同的。图 4F1=60 时，四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板的混沌运动Fig.4 Chaotic motion of simply supported orthotropic symmetrically laid composite laminated rectangular plate under the external excitation F1=60(a)(x1,x2)上的相图(b)(x1,t)上时间历程图(c)(x3,x4)上的相图(d)(x3,t)上时间历程图图 5F1=120 时，四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板的混沌运动Fig.5Chaotic motion of simply supported orthotropic symmetrically laid composite laminated rectangular plate under the external excitation F1=120(a)(x1,x2)上的相图(b)(x1,t)上时间历程图(c)(x3,x4)上的相图(d)(x3,t)上时间历程图x2x1x1tx4x3x3tx2x1x1tx4x3x3t115马文赛等特殊对称铺设复合材料层合矩形板的全局动力学研究第 2 期3结论本文研究了四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板在外激励 F1作用下的全局分岔与混沌动力学，通过坐标变换理论得到复合材料层合矩形板的五维动力学系统，经规范型理论求得对系统全局动力学影响较小的非线性项，通过引入小尺度变换，将系统化简为未扰动部分和扰动部分之和。利用广义 Melnikov 定理计算出判断系统发生多脉冲混沌运动的 k-脉冲 Melnikov 函数，得到四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板的混沌阈值区间。通过理论分析和数值模拟进一步验证了复合材料层合矩形板系统存在 Smale 马蹄意义下的多脉冲混沌运动，结论如下：1)分岔图和最大 Lyapunov 指数图都验证了系统会发生多脉冲混沌运动，且分岔图和最大Lyapunov 指数图对应的混沌运动区间是一致的。从分叉图中可以看出，系统随着外激励振幅的增大，可能会经历多种振动状态，如准周期、周期和混沌运动。2)图 4 图 5 的相图可以观察到系统的一阶模态存在一个混扽吸引子，而系统的二阶模态存在两个混沌吸引子，并且随着激励幅值的增大，系统的混沌吸引区间也随之增大。3)图 4 图 5 中时间历程图可以观察到，随着激励幅值的增大，系统一阶模态和二阶模态的振动幅值也随之增加，因此四边简支正交异性对称铺设复合材料层合矩形板的振幅可以通过调节外激励幅值来控制。参考文献1 SHEN H S,XIANG Y,LIN F.Thermal buckling and postbuckling of functionally graded graphene-reinforced composite lamina-ted plates resting on elastic foundationsJ.Thin-Walled Struc-tures,2017,118:229-237.2 ATOBE S,NONAMI S,HU N,et al.Identification of impact force acting on composite laminated plates using the radiated sound measured with microphonesJ.Journal of Sound and Vibration,2017,405:251-268.3 JOSHAN Y S,GROVER N,SINGH B N.Analytical modelling for thermo-mechanical analysis of cross-ply and angle-ply laminated composite platesJ.Aerospace Science and Technology,2017,70:137-151.4 ZHANG W,LU S F,YANG X 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