一种新型五自由度混联机器人动力学建模与性能评价_王明昊.pdf

第 59 卷第 9 期 2023 年 5 月 机 械 工 程 学 报 JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERING Vol.59 No.9 May 2023 DOI：10.3901/JME.2023.09.063 一种新型五自由度混联机器人动力学建模 与性能评价*王明昊 汪满新(南京理工大学机械工程学院 南京 210094)摘要：研究一种新型五自由度混联机器人动力学建模和性能评价方法。该混联机器人的主机构为由一条串接一转动副的1T1R(T：平动，R：转动)平面并联运动链和两条空间无约束主动支链组成的 1T2R 三自由度并联机构。建立该机器人位置逆解、速度、加速度及其动力学模型，并通过 Solidworks motion 验证动力学模型的正确性。在此基础上，计及末端转头加减速运动对并联机构驱动关节驱动力的影响，并考虑到此类机构切向和法向运动的差异，基于矩阵奇异值理论分别提出该机器人并联机构切向和法向加减速特性评价指标，揭示关键尺度和结构参数对加减速特性影响规律，为机器人的集成优化设计提供参考依据。最后，通过比对分析验证所提出的新型五自由度混联机器人具有与著名 Tricept 机器人和 Trimule 机器人相似的加减速特性。关键词：混联机器人；动力学建模；性能评价 中图分类号：TP24 Dynamic Modeling and Performance Evaluation of a New Five-DOF Hybrid Robot WANG Minghao WANG Manxin(School of mechanical engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094)Abstract：A dynamic modeling and performance evaluation method for a new five-DOF hybrid robot is studied.The main mechanism of the hybrid robot is a 1T2R three-degree-of-freedom parallel mechanism,which is composed of a 1T1R(T：translation,R：rotation)planar parallel kinematic chain connected in series with a revolute joint and two spatially unconstrained actuated limbs.The inverse displacement,velocity,acceleration and dynamic models of the robot are established,and the correctness of the dynamic model is verified through Solidworks motion.Then,considering the influence of the acceleration and deceleration motion of the end-wrist on the actuated force of the actuated joint of the parallel mechanism and the difference between the tangential and normal motion of such mechanisms,tangential and normal evaluation index for the acceleration and deceleration characteristics of the parallel mechanism are proposed based on the matrix singular value theory,then the influence of key parameters on them are revealed,which provides a reference for the integrated optimal design of the robot.Finally,it is verified by comparison that the proposed hybrid robot has similar acceleration and deceleration characteristics to the well-known Tricept robot and Trimule robot.Key words：hybrid robot；dynamic modeling；performance evaluation 0 前言*随着科技的发展与智能制造时代的到来，我国 *国家自然科学基金(51605225)资助项目。20220509 收到初稿，20221124收到修改稿 航空航天、轨道交通、汽车制造等领域的事业不断深入和突破。在从“大”到“强”的转变过程中，高端制造领域对其核心装备部件(一般为大型复杂结构件)高精度加工的需求日益旺盛，高端制造领域加工装备研究的重要性日渐凸显1。近年来，一类以 1T2R(T 为平动，R 为转动)三自由度并联机构为主进给机构并在末端附加多自由度串联转头的混联 机 械 工 程 学 报 第 59 卷第 9 期期 64 构型加工装备(以下简称混联机器人)逐渐成为研究的热点，其中最具代表性的有 Tricept 机器人2、Exechon 机器人3以及 Trimule 机器人4等。混联机器人在工作空间、刚度、精度、动态特性等方面不同程度地继承或弥补了串、并联机器人的优点或不足，既能在一定的操作空间内拥有灵活多角度的操作，又能保证高刚度高精度的特性5。因此，混联机器人正逐渐成为航空航天、轨道交通等高端制造领域解决大型复杂结构件高效制造难题的一种重要技术选择6。动力学建模与性能评价是混联机器人设计中的重点内容。混联机器人动力学建模涉及主体并联机构和末端串联转头动力学模型的建立。与串联机构类似，并联机构常用的建模方法有牛顿-欧拉法7、拉格朗日法8和虚功原理9等。随着现代机构学理论的发展，旋量理论10、李群/李代数11等现代数学工具逐渐成为并联机构建立动力学模型的有效分析工具。其中，牛顿-欧拉法旨在求出每个运动副所受的力和力矩，进而建立完整的动力学模型7。但对于复杂系统，牛顿-欧拉法需建立大量递推方程，建模过程较为复杂耗时。拉格朗日法从能量的角度出发，当给定机构操作运动时，可以得到各驱动关节的驱动力8，适用于复杂系统动力学模型的建立。虚功原理考虑系统整体虚能量，直接利用机构雅可比矩阵和惯性矩阵即可建立格式紧凑的逆动力学方 程9。尤其是在对偶空间理论12框架下，能很方便地建立起各运动构件速度、加速度与末端刚体运动间的映射关系，因而虚功原理成为了研究并联机构动力学最有效的方法。在多体系统动力学问题上，基于空间向量代数的多体系统动力学算法13具有较好的普适性，逐渐成为混联机器人解决末端串联转头动力学问题的有效途径。混联机器人在加工过程中因需多轴联动，故各轴不可避免地需要频繁加减速，因此加减速特性是这类装备最重要的技术性能之一14。对于末端多自由度串联转头，加减速特性主要体现在其传动系统上，因此串联模块性能分析不存在困难。而作为混联机器人主进给模块的并联机构，其加减速特性与机构尺度、结构参数密切相关15，因而成为了混联机器人设计初期性能分析的重点。正确评价机构的加减速特性对于机器人结构优化设计、轨迹规划以及驱动电机性能参数预估等都具有重要意义。目前，主要有两类评价指标评估机构的加减速特性。一类是基于笛卡尔惯性矩阵代数特征构造的评价指标，如 ASADA 提出的广义惯性椭球(GIE)16。这一类指标多用于评价并联机构动力学性能的各向同性以及负载惯量匹配。根据椭球的形状，可以合理选择机器人的工作空间，以期获得良好的加减速特性。另一类是基于关节驱动力与操作加速度之间的映射矩阵代数特征构造的评价指标，如 YOSHIKAWA 提出的动态可操作性椭球(DME)17。这类指标不仅能够评价并联机构动力学性能的各向同性，还能反映关节驱动力与操作加速度之间的传递特性，多用于机构路径规划以及关键设计参数优化。对于平转耦合并联机构，其映射矩阵存在量纲不一致的问题，为此，GREGORIO、BOWLING 等学者采用平转分离法18-19分别构造出移动和转动动力学性能评价指标。利用上述评价指标，近年来许多学者围绕机构加减速特性的评价及尺度、结构参数的优化设计开展了大量研究工作。如王潇剑等9基于 DME 分别构造了 2UPU/SP 并联机构线加速度和角加速度性能评价指标并通过性能对比验证了并联机构的可行性，董成林等15基于矩阵奇异值理论，构造了Trimule 机器人加减速特性评价指标并指导了后续机器人的集成设计。但由于混联机器人结构特点，并联机构关节驱动力与末端串联转头运动是耦合的，特别是在末端转头具有高加减速运动工况下，末端转头加减速运动将影响并联机构的动力学性能，而已有的研究大都仅停留在并联机构部分或将串联转头视为并联机构末端的集中质量构造性能评价指标，忽略了上述耦合效应。因此需要构造考虑末端转头加减速运动耦合效应的动力学性能评价指标，更准确地评估并联机构的加减速特性。本文以一种用于大型复杂结构件高精度加工的新型五自由度混联机器人20为研究对象，运用旋量理论和虚功原理建立其运动学和动力学模型，并通过 Solidworks motion 验证动力学模型的正确性；在此基础上，考虑末端转头运动对并联机构驱动力的影响，提出该机器人并联机构的加减速特性评价指标，并揭示关键尺度和结构参数对加减速特性的影响规律；最后将该机器人加减速特性与 Tricept 机器人和 Trimule 机器人比对分析。论文旨在为该新型混联机器人的应用提供理论基础。1 系统描述与运动学建模 1.1 系统描述与坐标系建立 如 图 1 所 示，五 自 由 度 混 联 机 器 人 由(R(RPS&RP)&2-UPS 三自由度并联机构与 A/C 转头串联而成，在此，R、P、U、S 分别表示转动副、月 2023 年 5 月 王明昊等：一种新型五自由度混联机器人动力学建模与性能评价 65 移动副、虎克铰、球副，P 表示主动移动副。(R(RPS&RP)&2-UPS 并联机构由静平台、动平台、以及连接在两者之间的转轴、RP 支链、RPS 支链和2 条 UPS 支链组成，其中转轴与静平台转动连接，RP 支链和 RPS 支链的一端均与转轴转动连接，另一端则分别与动平台固接和球铰接，且两者始终共面；UPS 支链一端通过虎克铰与静平台连接、另一端与动平台球铰接。在三个移动副的驱动下，并联机构的动平台可进行沿 z 轴的平动、绕 x 轴和绕 y轴的转动，故称此并联机构为 1T2R 并联机构。此外，为实现末端姿态的调整，在并联机构末端串接了一个二自由度 A/C 转头，形成五自由度混联机器人，为描述方便，在此称为 Trifree 机器人。此外，采用“Trifree 机构”、“Tricept 机构”、“Exechon 机构”以及“Trimule 机构”分别表示 Trifree 机器人中的(R(RPS&RP)&2-UPS 并联机构、Tricept 机器人中的 UP&3-UPS 并联机构、Exechon 机器人中的(R(2-RPR)&SPR 并联机构以及 Trimule 机器人中的(R(2-RPS&RP)&UPS 并联机构，四者拓扑结构的异同主要在于以下几点。图 1 Trifree 机器人实体造型(1)Trifree 机构与 Tricept 机构相比，两者驱动支链均为三对称布置，均包含一条从动支链，具有完全相同的运动模式。但 Trifree 机构仅有两条 UPS空间支链，第三条 UPS 支链和 UP 支链的近架转动副合并，采用共用转轴与机架相连，形成 R(RPS&RP)运动链，节省一个 R 副，且 RPS 与 RP 支链始终 共面。(2)Trifree 机构与 Exechon 机构和 Trimule 机构相比，三者均包含一个平面并联运动链和空间支链，且平面并联运动链均采用共用转轴与机架相连。但三者平面并联运动链和空间支链形式不同，Exechon机构的平面并联运动链由两条 RPR 主动支链构成，空间支链为一条 SPR 支链；Trimule 机构的平面并联运动链由两条 RPS 主动支链和一条 RP 被动支链构成，空间支链为一条 UPS 支链；Trifree 机构的平面并联运动链由一条 RPS 主动支链和一条 RP 被动支链构成，空间支链为两条 UPS 支链，使得 Trifree机构可保留三对称特性，而 Trimule 机构和 Exechon机构均为面对称机构。(3)四者的驱动力旋量均由三条驱动支链提供，而 Tricept 机构的约束力旋量仅由 UP 支链单独提供；Trifree 机构与 Trimule 机构类似，约束力旋量由平面并联运动链提供；Exechon 机构的约束力旋量由平面并联运动链和空间支链共同提供。计由转轴和 RPS 运动链组成的 UPS 支链为第一支链，两条 UPS 支链分别为第二和第三支链，由转轴、RP 运动链和 A/C 转头组成的 UPRR 支链为第四支链。值得指出，第四支链的自由度数目与型式和混联机器人的自由度数目与型式完全一致，故也称该支链为恰约束支链。图 2 示出了新型五自由度 混 联 机 器 人 结 构 简 图，其 中 点iA表 示 第i(1,2,3i=)支链与动平台铰接的球副中心，构成等边三角形123A A A，点iB 表示第i(1,2,3i=)支链的虎克铰中心，构成等边三角形123B B B。为了便于描述，首先以123B B B中心点O为原点，建立固定参考系 R，其中，x轴方向由点O指向点1B，123zB B B，方向指向动平台，y轴由右手定则给出。相似的，以123A A A中心点O为原点，建立动平台连体坐标系R。注意到支链4中的P副与动平台固接，故动平台连体坐标系R相对于系 R的旋转矩阵pR可由支链4绕x轴旋转、绕y轴旋转后得到 1,42,43,4Rot(,)Rot(,)cos0sinsinsincossincoscossinsincoscospxy=|=|Rnss(1)式中，1,42,43,4=nss，,j is表示支链i中第j个运动副的单位矢量。图 2 Trifree 机器人结构简图 机 械 工 程 学 报 第 59 卷第 9 期期 66 此外，定义末端参考点P、C、Q分别为：点P位于A轴和C轴轴线的交点，点C位于末端刀尖点，点Q位于电主轴轴线上，且满足PQQC。以点C为原点，建立末端刀具连体坐标系CCCCu v w，其中Cw轴与刀轴重合，方向与QC一致，Cv轴与5,4s平行，方向一致，Cu轴由右手定则给出。则系CCCCu v w相对于系 R和R的旋转矩阵CR和pCR可分别表示为 CCCC=Ruvw T4,45,44,44,45,44,45,44,44,45,45,45,4coscossincossinsincoscossinsinsin0cospCpC=|RR R(2)式中，4,4和5,4分别表示C轴和A轴的关节变量。Cu、Cv和Cw分别表示系CCCCu v w中Cu轴、Cv轴和Cw轴的单位矢量在系 R下的度量。1.2 位置逆解 混联机器人位置逆解分析涉及已知机构的尺度参数、刀轴矢量Cw以及末端参考点C的位置矢量T()CCCCxyz=r，求解A/C转头的关节变量以及各支链杆长的大小iq(1,2,3i=)。由图2可知，末端参考点P在系 R中的位置矢量T()PPPPxyz=r可分别表示为 PCuCwCdd=uwrr(3)3,3,4Piiiiqe=+rbsas 1,2,3i=(4)43,4()Pqe=+rs(5)式 中，ud=PQ，wd=QC，CCC=uvw，CCCCC=vwwrr，Cv 取值可根据Pr取值较小而定，以避免机械干涉和获得良好的运动学性能21。4q表示支链 4 中 UP 支链的杆长，e表示点O到点P的距离。ib 和ia 分别表示在系 R下点O到点iB和点O到点iA的方向矢量，且=iaa、=ibb。联立求解式(1)和(5)即可计算旋转矩阵pR和3,4s，进而可得 3,4iiPiqe=+rasb 3,43,3,4iiiiiPPee+=+asbsasrbr(6)在此基础上，由式(2)即可确定 A/C 转头的关节变量4,4和5,4。1.3 速度建模 对式(4)和式(5)两端求导可得 6,1t Pj ita j iiij=?$J 1,2,3i=(7)33,4,4,444110t Pjta jtc jjj=+=?$J (8)()TTT,t PP=?$r ,1,6,itaitai=J$()T1,2,6,iiii=?4,4,4ac=JJJ ,4,1,4,2,4,3,4atatata=J$,4,1,4,2,4,3,4ctctctc=J$()TT4,4a=?0()T,41,42,43,4a=?式中，,t P$表示动平台关于末端参考点P的速度旋量；Pr?、分别表示动平台关于点P的线速度和角速度；,j i?表示该支链i中第j个运动副速度的大小，其中3,iiq=?表示支链i上移动关节线速度的大小。,ta j i$表示支链i中第j个运动副关于末端参考点P的单位运动旋量22。,4tc j$表示UP支链中第j个虚关节关于末端参考点P的单位受限运动旋量22。根据对偶空间理论，可以得到末端速度旋量,t P$与(R(RPS&RP)&2-UPS并联机构驱动关节速度之间的映射关系 ,t Pa Pa P=?$G(9)1PP=GJ ,Pa Pc P=GGG ,a PPc P=|JJJ()T,123a Pqqq=?T,3,1,3,2,3,3a Pwawawa=J$T,1,4,2,4,3,4c Pwcwcwc=J$式中，,3,wai$表示由支链i提供的单位驱动力旋 量22；,1,4wc$表示由RP支链单独提供的单位约束力旋量，,4wc k$(2,3k=)表示由RPS&RP平面并联运动链提供的单位约束力旋量22。注意到机器人的末端刚体为支链4的输出构件，故电主轴关于末端参考点C的速度旋量可由动平台(相当于支链4的第三个构件)速度旋量,t P$叠加C轴、A轴关于末端参考点P的速度旋量后经速度伴随变换获得。此外，考虑到支链4为UPRR结构，故其受到过转轴中心且与5,4s平行的约束力，其沿月 2023 年 5 月 王明昊等：一种新型五自由度混联机器人动力学建模与性能评价 67 5,4s方向的平动为末端刚体被限制的运动，据此可得混联机器人的速度模型 5,4,4,140t Ct Pjta jtcj=+=?$X$J (10)ac=JJJ ,4,4,5,4aa Ptata=JX G$,1ctc=JX$()TT0a=?()TT,4,45,4aa P=?,4,44,4ta=0$s ,5,45,4ta=0$s 5,4,1tc=s$0 33CP=|ErX0E 式中，,t C$表示电主轴关于末端参考点C的速度旋量，,4j?和,4ta j$表示C轴(4j=)、A轴(5j=)速度的大小及其关于末端参考点P的单位运动旋量，,1tc$表示支链4关于末端参考点P的单位受限运动旋量，X为由点P到点C的速度伴随变换矩阵，jE为j阶单位阵，CP=rCP，CPr为CPr的反对称矩阵。联立求解式(7)(10)，可得支链i上构件j的速度旋量与驱动关节速度间的映射关系 ,1jt j ik ita k ia j ia Pk=?$J 14i=1ijn=(11)G,a j ij ij ii=JJEJ 14i=1ijn=,1,j itaita j i=J$,()ij ijjnj=EE0 G,iia P=JGG G4,4,aa P=JGG 1ii=GJ 144=GJ TTT4,4,4ac=GGG,4,4,4,4,44jt jt Pkta ka ja jk=+=?$J 4,5j=(12),4,4,4,4aa Pta=JG$,5,4,4,4,5,4aa Ptata=JG$()TT,4,4,4,4aa P=?()TT,5,4,4,45,4aa P=?式中，6in=(1,2,3i=)，43n=。,t j i$表示支链i上构件j关于点,j iP的速度旋量，点,j iP为支链i中构件j上与末端参考点P瞬时重合的点。1.4 加速度建模 对式(7)和式(8)两端求导并将单位旋量的导数表示为Lie括号形式可得 ,a Piiii=+?$J J 1,2,3i=(13),4444a P=+?$J J (14)()()TTT,a PPP=?$rr Tiii=J H?()T1,2,6,iiii=?T444=J H?()T4,4a=?0 ()T,41,42,43,4a=?式中，,a P$表示动平台关于末端参考点P的空间加速度，Pr?、?分别表示动平台关于点P的线加速度和角加速度。,j i?表示支链i中第j个运动副加速度的大小，其中，3,iiq=?表示支链i上移动关节线加速度大小。iH(1,2,3i=)和4H分别表示支链i和UP支链运动链的海塞矩阵12，为一共有六层的三维矩阵，每一层为一66维矩阵。与速度分析类似，可推得空间加速度,a P$与并联机构驱动关节加速度和速度之间的映射关系 ,a Pa Pa Pa Pa P=+?$GG(15),a PPa P=GG G?()(),aa Pa Pca P|=|hGh?()TT,123a Pqqq=?()T,3,1,1T,3,2,2T,3,3,3waaaa Pwaawaa|=|?$Jh$J$J ()T,1,4,4T,2,4,4T,3,4,4=wcaca Pwcawca|?$Jh$J$J()TTGG,a ia Piii=JJH J?1,2,3i=()TTGG,4,4,44aa Pa=JJHJ?,1,4,2,4,1,4,3,4,4,2,4,3,4tatatataatata|=|0$H00$000 式中，,4aH为一共有六层的三维矩阵，每一层为一3 3维矩阵；表示Lie括号运算。对式(10)两端求导，可得混联机器人的加速度模型 ,=a C+?$JJ(16)ac=JJJ?()TT0a=?()TT,4,45,4aa P=?机 械 工 程 学 报 第 59 卷第 9 期期 68,4,4,4,4,5,4,5,4aa Pttatta=?JX G$,5,4,1cttc=?JX$,j ij it j ij i|=|?r$0 式中，,a C$表示电主轴关于末端参考点C的空间加速度，,4j?表示C轴(4j=)、A轴(5j=)加速度的大小，,j i表示支链i上构件j关于点,j iP的角速度,j i的反对称矩阵，,j ir?表示支链i上构件j关于点,j iP的线速度,j ir?的反对称矩阵。联立求解式(13)(16)，可得支链i上构件j的加速度与驱动关节加速度间的映射关系,a j ia j ia Pa j ia P=+?$JJ 14i=1ijn=(17)G,a j ij ij iia j i=+JJEJJ?14i=1ijn=G,iia Pia i=JGGG J?G4,4,4,4aa Paa=JGGGJ?()TTGTG,a j ia Pij ij ij ii=JJEHEJ?,4,4,4,4,4a ja ja ja ja j=+?$JJ 4,5j=(18),4,4,4,4,4,4aa Ptta=?JG$,5,4,4,4,4,4,5,4,5,4aa Pttatta=?JG$()TT,4,4,4,4aa P=?()TT,5,4,4,45,4aa P=?式中，,a j i$表示支链i上构件j关于点,j iP的空间加速度，,j iH为一共有六层的三维矩阵，每一层为iH对应层的前jj维子矩阵。2 动力学建模与仿真验证 2.1 动力学建模 为了便于刚体动力学模型的建立，作如下假设：组成S副有关构件的转动惯量相较于其他构件很小，故将其视为动平台上的集中质量；假设所有支链(除A/C转头外)均为轴对称刚体。为描述方便，将各支链部件根据各自的运动特点进行分组：将支链i(1,2,3i=)中的虎克铰、套筒加丝杠组件(不计入丝杠组件绕丝杠轴线的旋转，在此丝杠组件包括丝杠、联轴器、电机转子等)、推杆组件、丝杠组件(仅计入丝杠组件绕自身轴线的旋转)分别记为支链i的构件1、构件2、构件3、构件S；将支链4中的转轴、支链体上的连接圈、支链体上的P副分别记为该支链的构件1、构件2、构件3；A/C转头的A轴和C轴组件分别记为支链4的构件4和构件5。值得指出，由于转轴计算在支链4中，故支链1的构件1不含转轴零件。当不计作用在末端刚体上外力旋量的情况下，支链i中构件j关于其上点,j iP的惯性力旋量可以表示为 ()T,wI j ij ia j it j ij it j i=$M$M$(19),T,3,T,j ij ij ij ij ij iPCj ij iPCj ij iPCPCmmmm|=|+ErMrIrr 式中，,j iM表示支链i上构件j关于点,j iP的空间惯性矩阵在系 R下的度量。,j im和,j iI分别表示支链i中构件j的质量和关于质心,j iC的惯性矩阵在系 R下的度量，,j iPCj i=rPC。支链i(1,2,3i=)上构件S关于其质心的速度旋量和惯性力旋量可以表示为 ,3,2t S iiiqp=?0$s,3,2wI S iSiiIqp=?0$s(20)式中，SI表示丝杠组件绕其轴线的转动惯量，p为丝杠导程。于是，当考虑作用在全部构件上的惯性力、重力和驱动力时，由虚功原理可得()()433TT,111535T,4,4,4,44140t j iwI j iwg j it S iwI S iijit jwI jwg ji ijjjijq=+=?$(21),T,=j iwg j ij img$X0 ,3T,3j ij iPC|=|E0XrE 式中，,wg j i$表示作用在支链i中构件j上关于点,j iP的重力旋量，g为重力加速度矢量，,j iX表示由点,j iC到点,j iP的速度伴随变换矩阵；i(1,2,3i=)表示主动支链i的驱动力，j表示等效到C轴(4j=)、A轴(5j=)输出端的驱动力矩。将式(19)、(20)代入式(21)并整理可得 ()5T30jjjjjjjj=qD qH qg?(22)()T3123qqq=q?()TT434,4=qq?()TT534,45,4=qq?月 2023 年 5 月 王明昊等：一种新型五自由度混联机器人动力学建模与性能评价 69()T3123=()T1(1)jjj=0 4,5j=243T3,3112a j ij ia j iSijIp=+DJMJET,4,4,4ja jja j=DJMJ 4,5j=()()43TT3,3,11a j ij ia j ia j ij ia j iij=HJMJJqMJ?()()TT,4,4,4,4,4,4ja jja ja jjja j=HJMJJqMJ?43T3,11a j iwg j iij=gJ$T,4,4ja jwg j=gJ$4,5j=根据式(22)有非平凡解的条件，并将jD、jH和jg分块，可得新型混联机器人的逆动力学方程 ()()(),=+D q qH q q qg q?(23)()TT345=()51,352,43,5jjjjgg=gg q()551,1,1,2,1,3,534552,1,2,2,2,3,5443,1,53,2,53,3,5jjjjjjjjDDDD=|=|DDDD qDD()551,1,1,2,1,3,534552,1,2,2,2,3,5443,1,53,2,53,3,5,jjjjjjjjHHHH=|=|HHHH q qHH?()TT34,45,4=qq，()T3123qqq=q 式中，1,1,jD为jD(3,4,5j=)前3 3维子矩阵，1,2,jD(2,1,jD)为jD(4,5j=)第四列(行)前三个元素组成的列(行)矢量，1,3,5D(3,1,5D)为5D第五列(行)前三个元素组成的列(行)矢量，()D q剩余元素为jD(4,5j=)对应位置元素；(),H q q?和()g q的构造方法与()D q类似，故不再赘述。2.2 仿真验证 为验证上述动力学模型的正确性，在进行机器人详细机械结构设计的基础上，本节将比对分析利用前文动力学模型和Solidworks motion软件计算得出的驱动力和驱动力矩结果。如图1所示为设计得到 的 混 联 机 器 人 造 型 图，其 尺 度 参 数 为0.135 ma=，0.37 mb=和0.36 me=，惯性参数如表1所示，其中,j iS表示支链i上的构件j，,j iCI表示该构件关于质心,j iC的惯性矩阵在构件连体坐标系下的度量，,4jR(4,5j=)表示支链4上构件j的连体坐标系相对于系 R的旋转矩阵，r0.924 ml=表 示 推 杆 组 件 长 度，丝 杠 导 程0.01 mp=，-422 10 kg mSI=。给定动平台上末端参考点P和A/C转头两转角的轨迹方程为()()()()()()5435435435435434,45435,4sin1.21.232sincos1.21.232coscos1.21.23218045030018015180180450300180270675450180PPPxtttytttztttttttttttt=+=+=+=+=+=+(24)设定运动时长为1 s，基于给定的轨迹方程，可计算得到(R(RPS&RP)&2-UPS并联机构三个主动支链的驱动力以及A/C转头两转轴输出端的驱动力矩。图3和图4示出了基于前文运动学和动力学模型计算得到的驱动力、驱动力矩与Solidworks motion仿真结果的对比情况。从图3和和图4可以看出，理论计算的结果与Solidworks motion仿真结果变化趋势和取值大小均几乎相同，各项误差均在3%范围以内，证明了所建运动学和动力学模型的正确性。表 1 Trifree 机器人惯性参数表 构件,j iS质量,j im/kg质心坐标,j iPCr/m 转动惯量,j iCI/(2kg m)1,1S 3.07 11 3,1qcs()diag 0.02,0.003,0.02 1,iS(23i=)9.96 3,iiiqcs()diag 0.048,0.044,0.0821,4S 57.75 1,40.15P+rs()diag 0.52,2.8,3.136 2,iS(13i=)39.92 1,3,0.24iPCirs()diag 5.64,5.64,0.078 2,4S 15.2 Pr ()diag 0.15,0.1,0.15 3,iS(13i=)9.64()r3,2iilcs()diag 0.76,0.76,0.005 63,4S 129.6 3,40.76s()diag 30.23,30.23,0.87 4,4S 28.73 4,40.0140.0440.094 7|R 0.4890.0070.0260.0070.3860.0490.0260.0490.295|5,4S 22.05 5,40.080.0170.014|R 0.2440.0290.0120.0290.2910.0050.0120.0050.152|机 械 工 程 学 报 第 59 卷第 9 期期 70 图 3 驱动力对比情况 图 4 驱动力矩对比情况 3 动力学性能评价 3.1 动力学性能指标 为评估(R(RPS&RP)&2-UPS并联机构的动力学性能，本节将基于关节驱动力与操作加速度之间的映射矩阵，利用矩阵奇异值理论21表征并联机构的加减速特性。于是，略去哥式项、离心项及重力项，由式(23)可得(R(RPS&RP)&2-UPS并联机构的逆动力学方程 4,44,45,45,4ppp+D qDD?(25)3p=qq?3p=51,1,3pjj=DD 54,41,2,4jj=DD 5 41,3,5=DD，由式(25)可以看出，由于混联机器人的结构特点，主动支链驱动力不仅与P副运动耦合，还与C轴、A轴运动耦合。故为了得到主动支链驱动力与驱动加速度间的映射矩阵，同时保留构件4,4S、构件5,4S加减速运动对主动支链驱动力的影响，将由转头加减速运动产生并且由并联机构驱动关节承担的惯性负载等效到P副上，即 4,45,4eesppppsp=+=D qDqDqD q?(26),4,4,4ejjj=DDT,41,2,3,=jjjjT 4,5j=式中，,i j(1,2,3i=)表示构件,4jS加速度与主动支链P副加速度的换算系数，可根据工程中加工质量和加工效率的要求，通过轨迹规划得到。在设计初期实际性能评价中，为了“较大程度”地将A/C转头耦合运动产生的影响等效到P副上，构件4,4S与构件5,4S的换算系数,i j可取为 ,4,maxmax3i jjiq=?1,2,3i=4,5j=(27)式中，maxiq?为机器人并联机构iq?能够达到的最大值，,4,maxj?为A/C转头两转轴的最大加速度，可根据机构技术参数或工程实际需求确定。当不计哥式项和离心项后，由式(9)和式(15)可得 3Ppap=|rEJqA?(28)式中，paJ表示将主动支链P副速度映射为动平台关于末端参考点P线速度的雅可比矩阵23。令P=ar?，将式(28)代入式(26)可得 1sspa=D Ja(29)考虑到动平台上末端参考点P作球坐标运动，故(R(RPS&RP)&2-UPS并联机构加减速特性可以分为在球面切平面(uv平面)内和沿球面法线方向(w轴方向)的加减速特性，如图5所示。据此，将式(29)改写并分解可得 图 5 (R(RPS&RP)&2-UPS 并联机构运动球面 tts=a nnsa=(30)TT1TTppastn=R JD=月 2023 年 5 月 王明昊等：一种新型五自由度混联机器人动力学建模与性能评价 71()Ttuvaa=a nwaa=式中，表示主动支链驱动力到动平台关于末端参考点P线加速度的映射矩阵，ua、va和wa分别表示动平台线加速度在u、v和w轴方向上的分量。根据矩阵奇异值理论，令()maxt 和()mint 为线加速度切向分量映射矩阵t 的最大和最小奇异值，()maxn 为线加速度法向分量映射矩阵n 的最大奇异值。其中，()maxt 和()maxn 物理意义可以解释为给定s主动支链驱动力属性的情况下，在当前位形由1s=所引起的动平台在球面切平面内和沿球面法线方向的最大加速度。据此，将()maxt 和()maxn 定义为机构局部切向加减速特性,a t和法向加减速特性,a n，并将,a t和,a n在任务空间中的全域均值,a t和,a n定义为机构全域切向和法向加减速特性。此外，将()maxt 和()mint 的比值记为，其在任务空间中的全域均值记为。值得指出，,4,maxj?(4,5j=)的转动方向对s存在不同影响。于是，基于对并联机构“恶劣工况”的考虑，取()()()maxmax,mintt k=()()()maxmax,minnn k=14k=(31)式中，,t k(,n k)分别对应4,4,max?和5,4,max?四种方向组合得到的切向(法向)分量映射矩阵。()maxt 确定之后，()mint 也唯一确定。3.2 关键设计参数对加减速特性的影响规律 为了揭示关键设计参数对加减速特性的影响规律，不失一般性，以平面加工为例，即末端刀轴矢量()T001C=w，分析(R(RPS&RP)&2-UPS并联机构的加减速特性。同时，参考同类机器人maxiq?、,4,maxj?的取值15，取构件4,4S、5,4S换算系数分别为,41.55 rad mi=、,51.55 rad mi=(1,2,3i=)。机器人机构设计参数主要包括尺度参数和结构参数，如图6所示，(R(RPS&RP)&2-UPS并联机构的独立尺度参数可选为：a、