全国高中数学联赛试题及解析 苏教版32.doc

2004年全国高中数学联赛试卷第一试一选择题(本题满分36分，每小题6分)1设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cosq=0有重根，则q的弧度数为 ( ) A B或 C或 D2已知M=(x，y)|x2+2y2=3，N=(x，y)|y=mx+b若对于所有的mR，均有MN，则b的取值范围是 ( ) A， B(，) C(， D， 3不等式+logx3+20的解集为 A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 4设点O在DABC的内部，且有+2+3=，则DABC的面积与DAOC的面积的比为( ) A2 B C3 D 5设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( ) A45个 B81个 C165个 D216个6顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥OHPC的体积最大时，OB的长为 ( ) A B C D 二填空题(本题满分54分，每小题9分)7在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；8设函数f：RR，满足f(0)=1，且对任意x，yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则f(x)= ；9如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1A1的度数是 ；10设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；11已知数列a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；12在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；三解答题(本题满分60分，每小题20分)13一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他连过前三关的概率是多少？14在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项 求点P的轨迹方程； 若直线L经过DABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围15已知a，b是方程4x24tx1=0(tR)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为a，b 求g(t)=maxf(x)minf(x)； 证明：对于ui(0，)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则+an+14，nN*； 证明有n0N*，使得对nn0，都有+n2004三(本题满分50分)对于整数n4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合m，m+1，m+n1的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素2004年全国高中数学联赛试卷第一试一选择题(本题满分36分，每小题6分)1设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cotq=0有重根，则q的弧度数为 ( ) A B或 C或 D解：由方程有重根，故D=4cos2qcotq=0， 0q0的解集为 A2，3) B(2，3 C2，4) D(2，4 解：令log2x=t1时，t2t1，2)，x2，4)，选C4设点O在DABC的内部，且有+2+3=，则DABC的面积与DAOC的面积的比为( ) A2 B C3 D 解：如图，设DAOC=S，则DOC1D=3S，DOB1D=DOB1C1=3S，DAOB=DOBD=SDOBC=S，DABC=3S选C5设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( ) A45个 B81个 C165个 D216个解：等边三角形共9个； 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，ba0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；解：f(x)= sin(ax+j)，周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求故填又解：1sin(ax+j)dx=(1sint)dt=8设函数f：RR，满足f(0)=1，且对任意x，yR，都有f(xy+1)=f(x)f(y)f(y)x+2，则f(x)= ；解：令x=y=0，得，f(1)=110+2，f(1)=2令y=1，得f(x+1)=2f(x)2x+2，即f(x+1)=2f(x)x又，f(yx+1)=f(y)f(x)f(x)y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)f(x)1+2，即f(x+1)=f(x)+1比较、得，f(x)=x+19如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1A1的度数是 ；解：设AB=1，作A1MBD1，ANBD1，则BNBD1=AB2，BN=D1M=NM=A1M=AN= AA12=A1M2+MN2+NA22A1MNAcosq，12=+2cosq，cosq=q=6010设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；解：设=n，则(k)2n2=，(2kp+2n)(2kp2n)=p2，k=(p+1)211已知数列a0，a1，a2，an，满足关系式(3an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；解：=+，令bn=+，得b0=，bn=2bn1，bn=2n即=，=(2n+2n3)12在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；解：当MPN最大时，MNP与x轴相切于点P(否则MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P使MPN更大)于是，延长NM交x轴于K(3，0)，有KMKN=KP2，KP=4P(1，0)，(7，0)，但(1，0)处MNP的半径小，从而点P的横坐标=1三解答题(本题满分60分，每小题20分)13一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关问： 某人在这项游戏中最多能过几关？ 他连过前三关的概率是多少？解： 设他能过n关，则第n关掷n次，至多得6n点，由6n2n，知，n4即最多能过4关 要求他第一关时掷1次的点数2，第二关时掷2次的点数和4，第三关时掷3次的点数和8第一关过关的概率=；第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y4的正整数解的个数，有C个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1=；第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x+y+z8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C=56种，不能过关的概率=，能过关的概率=；连过三关的概率=14在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项 求点P的轨迹方程； 若直线L经过DABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围解： 设点P的坐标为(x，y)，AB方程：+=1，4x3y+4=0， BC方程：y=0， AC方程：4x+3y4=0， 25|y|2=|(4x3y+4)(4x+3y4)|，25y2+16x2(3y4)2=0，16x2+16y2+24y16=0，2x2+2y2+3y2=0或25y216x2+(3y4)2=0，16x234y2+24y16=0，8x217y2+12y8=0 所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y2=0， 或双曲线：8x217y2+12y8=0 但应去掉点(1，0)与(1，0) DABC的内心D(0，)：经过D的直线为x=0或y=kx+ (a) 直线x=0与圆有两个交点，与双曲线没有交点；(b) k=0时，直线y=与圆切于点(0，)，与双曲线交于(，)，即k=0满足要求(c) k=时，直线与圆只有1个公共点，与双曲线也至多有1个公共点，故舍去(c) k0时，k时，直线与圆有2个公共点，以代入得：(817k2)x25kx=0当817k2=0或(5k)225(817k2)=0，即得k=与k= 所求k值的取值范围为0，15已知a，b是方程4x24tx1=0(tR)的两个不等实根，函数f(x)= 的定义域为a，b 求g(t)=maxf(x)minf(x)； 证明：对于ui(0，)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则+解： a+b=t，ab=故a0当x1，x2a，b时， f (x)= =而当xa，b时，x2xt0，即f(x)在a，b上单调增 g(t)= = = g(tanu)= =， +163+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)= 759(sin2u1+sin2u2+sin2u3)而(sin2u1+sin2u2+sin2u3)()2，即9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)3+(753)= 由于等号不能同时成立，故得证二试题一(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长解： BC=25，BD=20，BE=7， CE=24，CD=15 ACBD=CEAB， AC=AB， BDAC，CEAB，B、E、D、C共圆，AC(AC15)=AB(AB7)，AB(AB15)=AB(AB18)， AB=25，AC=30AE=18，AD=15 DE=AC=15延长AH交BC于P， 则APBC APBC=ACBD，AP=24连DF，则DFAB， AE=DE，DFABAF=AE=9 D、E、F、G共圆，AFG=ADE=ABC，DAFGDABC， =，AK=二(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列An与曲线y=(x0)上的点列Bn满足|OAn|=|OBn|=，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，nN* 证明anan+14，nN*； 证明有n0N*，使得对nn0，都有+0) 0bn且bn递减，n2bn=n(n)= =单调增 0n且tn单调减由截距式方程知，+=1，(12n2bn=n2bn2) an=()2+()=tn2+tn=(tn+)2(+)2=4且由于tn单调减，知an单调减，即anan+14成立亦可由=bn+2=，得 an=bn+2+， 由bn递减知an递减，且an0+2+=4 即证(1)20041=k2()2()2) (1)(+)+(+)+只要n足够大，就有(1)2004成立三(本题满分50分)对于整数n4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合m，m+1，m+n1的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素解： 当n4时，对集合M(m，n)=m，m+1，m+n1，当m为奇数时，m，m+1，m+2互质，当m为偶数时，m+1，m+2，m+3互质即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故f(n)存在且f(n)n 取集合Tn=t|2|t或3|t，tn+1，则T为M(2，n)=2，3，n+1的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质故f(n)card(T)+1但card(T)=+故f(n)+1 由与得，f(4)=4，f(5)=55f(6)6，6f(7)7，7f(8)8，8f(9)9现计算f(6)，取M=m，m+1，m+5，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k，k+2，k+4(k0(mod 2)时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质故f(6)=5而M(m，n+1)=M(m，n)m+n，故f(n+1)f(n)+1 f(7)=6，f(8)=7，f(9)=8 对于4n9，f(n)= +1成立 设对于nk，成立，当n=k+1时，由于M(m，k+1)=M(m，k5)m+k5，m+k4，m+k在m+k5，m+k4，m+k中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M(m，k5)中取出f(n)个数就必有3个两两互质的数于是当n4时，f(n+6)f(n)+4=f(n)+f(6)1故f(k+1)f(k5)+f(6)1=+1，比较，知对于n=k+1，命题成立对于任意nN*，n4，f(n)= +1成立又可分段写出结果：f(n)=