全国高中数学联赛试题及解析 苏教版32.doc

2004年全国高中数学联赛试卷
第一试
一．选择题(本题满分36分，每小题6分)
1．设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cosq=0有重根，则q的弧度数为 ( )
A． B．或 C．或 D．
2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N¹Æ，则b的取值范围是 ( )
A．[－，] B．(－，) C．(－，] D．[－，]
3．不等式+logx3+2>0的解集为
A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]
4．设点O在DABC的内部，且有+2+3=，则DABC的面积与DAOC的面积的比为( )
A．2 B． C．3 D．
5．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )
A．45个 B．81个 C．165个 D．216个
6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )
A． B． C． D．
二．填空题(本题满分54分，每小题9分)
7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；
8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)= ；
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是 ；
10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；
11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；
12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；
三．解答题(本题满分60分，每小题20分)
13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：
⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？
⑵ 他连过前三关的概率是多少？
14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．
⑴ 求点P的轨迹方程；
⑵ 若直线L经过DABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．
15．已知a，b是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为[a，b]．
⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)；
⑵ 证明：对于ui∈(0，)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则++<．
二试题
一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．
二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N*．
⑴ 证明an>an+1>4，n∈N*；
⑵ 证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++…++<n－2004．
三．(本题满分50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．
2004年全国高中数学联赛试卷
第一试
一．选择题(本题满分36分，每小题6分)
1．设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cotq=0有重根，则q的弧度数为 ( )
A． B．或 C．或 D．
解：由方程有重根，故D=4cos2q－cotq=0，
∵ 0<q<，Þ2sin2q=1，Þq=或．选B．
2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N¹Æ，则b的取值范围是 ( )
A．[－，] B．(－，) C．(－，] D．[－，]
解：点(0，b)在椭圆内或椭圆上，Þ2b2≤3，Þb∈[－，]．选A．
3．不等式+logx3+2>0的解集为
A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]
解：令log2x=t≥1时，>t－2．t∈[1，2)，Þx∈[2，4)，选C．
4．设点O在DABC的内部，且有+2+3=，则DABC的面积与DAOC的面积的比为( )
A．2 B． C．3 D．
解：如图，设DAOC=S，则DOC1D=3S，DOB1D=DOB1C1=3S，DAOB=DOBD=S．DOBC=S，ÞDABC=3S．选C．
5．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )
A．45个 B．81个 C．165个 D．216个
解：⑴等边三角形共9个；
⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b<a<2b．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数
即可取156+9=165种数．选C．
6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )
A． B． C． D．
解：AB⊥OB，ÞPB⊥AB，ÞAB⊥面POB，Þ面PAB⊥面POB．
OH⊥PB，ÞOH⊥面PAB，ÞOH⊥HC，OH⊥PC，
又，PC⊥OC，ÞPC⊥面OCH．ÞPC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2．
而DOCH的面积在OH=HC=时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．
当OH=时，由PO=2，知∠OPB=30°，OB=POtan30°=．
又解：连线如图，由C为PA中点，故VO－PBC=VB－AOP，
而VO－PHC∶VO－PBC==(PO2=PH·PB)．
记PO=OA=2=R，∠AOB=a，则
VP—AOB=R3sinacosa=R3sin2a，VB－PCO=R3sin2a．
===．ÞVO－PHC=´R3．
∴ 令y=，y¢==0，得cos2a=－，Þcosa=，
∴ OB=，选D．
二．填空题(本题满分54分，每小题9分)
7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ；
解：f(x)= sin(ax+j)，周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填．
又解：∫[1－sin(ax+j)]dx=∫(1－sint)dt=．
8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)= ；
解：令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，Þf(1)=2．
令y=1，得f(x+1)=2f(x)－2－x+2，即f(x+1)=2f(x)－x．①
又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2，即f(x+1)=f(x)+1．②
比较①、②得，f(x)=x+1．
9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是 ；
解：设AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，则BN·BD1=AB2，ÞBN=D1M=NM=．
ÞA1M=AN=．
∴ AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NAcosq，Þ12=++－2´cosq，Þcosq=．
Þq=60°．
10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k= ；
解：设=n，则(k－)2－n2=，Þ(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，Þk=(p+1)2．
11．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是 ；
解：=+，Þ令bn=+，得b0=，bn=2bn－1，Þbn=´2n．即=，Þ=(2n+2－n－3)．
12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 ；
解：当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P¢使∠MP¢N更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM·KN=KP2，ÞKP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP的半径小，从而点P的横坐标=1．
三．解答题(本题满分60分，每小题20分)
13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：
⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？
⑵ 他连过前三关的概率是多少？
解：⑴ 设他能过n关，则第n关掷n次，至多得6n点，
由6n>2n，知，n≤4．即最多能过4关．
⑵ 要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．
第一关过关的概率==；
第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数，有C个 (亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1－=；
第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C==56种，不能过关的概率==，能过关的概率=；
∴连过三关的概率=´´=．
14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．
⑴ 求点P的轨迹方程；
⑵ 若直线L经过DABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．
解：⑴ 设点P的坐标为(x，y)，
AB方程：+=1，Þ4x－3y+4=0， ①
BC方程：y=0， ②
AC方程：4x+3y－4=0， ③
∴ 25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|，
Þ25y2+16x2－(3y－4)2=0，Þ16x2+16y2+24y－16=0，
Þ2x2+2y2+3y－2=0．
或25y2－16x2+(3y－4)2=0，Þ16x2－34y2+24y－16=0，
Þ8x2－17y2+12y－8=0．
∴ 所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y－2=0， ④
或双曲线：8x2－17y2+12y－8=0． ⑤
但应去掉点(－1，0)与(1，0)．
⑵ DABC的内心D(0，)：经过D的直线为x=0或y=kx+． ⑥
(a) 直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；
(b) k=0时，直线y=与圆④切于点(0，)，与双曲线⑤交于(±，)，即k=0满足要求．
(c) k=±时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．
(c) k¹0时，k¹时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k2)x2－5kx－=0．
当8－17k2=0或(5k)2－25(8－17k2)=0，即得k=±与k=±．
∴ 所求k值的取值范围为{0，±，±}．
15．已知a，b是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)= 的定义域为[a，b]．
⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)；
⑵ 证明：对于ui∈(0，)(i=1，2，3)，若sinu1+sinu2+sinu3=1，则++<．
解：⑴ a+b=t，ab=－．故a<0，b>0．当x1，x2∈[a，b]时，
∴ f ¢(x)= =．而当x∈[a，b]时，x2－xt<0，于是f ¢(x)>0，即f(x)在[a，b]上单调增．
∴ g(t)= －==
==
⑵ g(tanu)= =≥，
∴ ++≤[16´3+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]= [75－9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)]
而(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥()2，即9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥3．
∴++≤(75－3)= ．由于等号不能同时成立，故得证．
二试题
一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．
解：∵ BC=25，BD=20，BE=7，
∴ CE=24，CD=15．
∵ AC·BD=CE·AB，Þ AC=AB， ①
∵ BD⊥AC，CE⊥AB，ÞB、E、D、C共圆，
ÞAC(AC－15)=AB(AB－7)，ÞAB(AB－15)=AB(AB－18)，
∴ AB=25，AC=30．ÞAE=18，AD=15．
∴ DE=AC=15．
延长AH交BC于P， 则AP⊥BC．
∴ AP·BC=AC·BD，ÞAP=24．
连DF，则DF⊥AB，
∵ AE=DE，DF⊥AB．ÞAF=AE=9．
∵ D、E、F、G共圆，Þ∠AFG=∠ADE=∠ABC，ÞDAFG∽DABC，
∴ =，ÞAK==．
二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈N*．
⑴ 证明an>an+1>4，n∈N*；
⑵ 证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++…++<n－2004．
解：⑴ 点An(0，)，Bn(bn，)Þ由|OAn|=|OBn|，Þbn2+2bn=()2，Þbn=－1(bn>0)．
∴ 0<bn<．且bn递减，Þn2bn=n(－n)= =单调增．
∴ 0<n<．Þ令tn=>且tn单调减．
由截距式方程知，+=1，(1－2n2bn=n2bn2)
∴ an====()2+()=tn2+tn=(tn+)2－≥(+)2－=4．
且由于tn单调减，知an单调减，即an>an+1>4成立．
亦可由=bn+2．=，得 an=bn+2+，．
∴ 由bn递减知an递减，且an>0+2+´=4．
⑵ 即证(1－)>2004．
1－===k2(()2－()2)
≥>´>．
∴(1－)>>(+)+(+++)+…+>+++…．
只要n足够大，就有(1－)>2004成立．
三．(本题满分50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．
解：⑴ 当n≥4时，对集合M(m，n)={m，m+1，…，m+n－1}，
当m为奇数时，m，m+1，m+2互质，当m为偶数时，m+1，m+2，m+3互质．即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故f(n)存在且f(n)≤n． ①
取集合Tn={t|2|t或3|t，t≤n+1}，则T为M(2，n)={2，3，…，n+1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f(n)≥card(T)+1．
但card(T)=[]+[]－[]．故f(n)≥[]+[]－[]+1． ②
由①与②得，f(4)=4，f(5)=5．5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8≤f(9)≤9．
现计算f(6)，取M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k，k+2，k+4(kº0(mod 2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质．故f(6)=5．
而M(m，n+1)=M(m，n)∪{m+n}，故f(n+1)≤f(n)+1． ③
∴ f(7)=6，f(8)=7，f(9)=8．
∴ 对于4≤n≤9，f(n)= []+[]－[]+1成立． ④
设对于n≤k，④成立，当n=k+1时，由于
M(m，k+1)=M(m，k－5)∪{m+k－5，m+k－4，…，m+k}．
在{m+k－5，m+k－4，…，m+k}中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M(m，k－5)中取出f(n)个数就必有3个两两互质的数．于是
当n≥4时，f(n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)－1．
故f(k+1)≤f(k－5)+f(6)－1=[]+[]－[]+1，
比较②，知对于n=k+1，命题成立．
∴对于任意n∈N*，n≥4，f(n)= []+[]－[]+1成立．
又可分段写出结果：
f(n)=