初中数学课堂教学中设计问题点的探索.docx

初中数学教学中疑难问题很多，其中课堂教学中问题的设计与提出是我们初中数学教学中的一个永恒的疑难问题。
知识是学生通过听、读、应用、思考、理解、实验、练习、复习等手段与方式获得的，而师生之间的对话则是课堂教学中重要的一种方式，师生对话最为重要的就是问题串，由此看来，问题是我们初中数学课堂教学的重要组成不分。
同时， 初中数学课堂不论采用何种教学方式，都是在不断提出问题、分析问题、解决问题的过程中展开的，问题是数学教学的中心。在数学教学问题设计中，教师通过问题组织学生学习的内容和方法，以保证学生学习的积极性、主动性、系统性、有效性和持久性。问题设计的好坏直接影响到学生知识与技能的掌握，思维能力的提高，创新意识的培养，思想方法的运用以及身心的健康发展。
那么作为我们初中数学课堂教学的问题该如何设计，且设计的更有效呢？下面是我对这一疑难问题的一点个人想法，针对初中数学课堂教学中问题设计点的把握，从课堂教学片段的角度说明一些问题，希望能与各位专家与同行共同探讨，不妥之处希望批评与指正。
一、在数学教学本质点上提出问题
八上 7.3 一次函数（ 1 ）
在教学了一次函数与正比例函数的定义后有一个例 2 的实际应用题，课本的目的是为了让学生通过例题的探究，学会应用一次函数解决实际问题，建立一次函数的模型，但如果不能抓住函数教学的本质，而采用课本的例题进行直接的呈现，那就忽略了这个例题的主要作用了。
课本中的例题
例 2 按国家 2008 年 3 月 1 日 起实施的有关个人所得税的规定，全月应纳税所得额①不超过 500 元的税率为 5% ，超过 500 元至 2000 元部分的税率为 10% ．
（ 1 ）设全月应纳税所得额为 x 元，且 500<x ≤ 2000 ，应纳个人所得税为 y 元，求 y 关于 x 的函数解析式和自变量的取值范围；
（ 2 ）小明妈妈的工资为每月 3400 元，小聪妈妈的工资为每月 4000 元，问她俩每月应缴个人所得税多少元？
①应纳税所得额是指月工资（薪金）中，扣除国家免税部分 2000 元后的剩余部分。
小贝妈妈单位说她的工资为每月 2800 元，但实际拿到的却不到 2800 元，这是为什么呢？
按国家 2008 年 3 月 1 日起 实施的有关个人所得税的规定，全月应纳税所得额①不超过 500 元的税率为 5% ，超过 500 元至 2000 元部分的税率为 10% ．
改为如下的题目进行呈现

T ：请同学们计算小贝妈妈 应 缴个人所得税多少元？
教师指导学生进行分段计算，学生通过计算，得到结果。
（问题一） T ：你觉得一个单位的会计是怎么计算每一个员工的所得税的么？
S ：按照上述方法逐个计算
T ：如果单位员工有 1000 人呢，也是每一个都进行分别计算么？
（问题二） T ：有没有简便的方法么？
整个教室没有一点声音
（追问一） T ：所得税与什么有关呢 ?
S ：应纳税所得额有关
（追问二） T ：有什么关系么
S ：这与应纳税所得额的大小不一样，计算的方法也不一样
T ：那么我们规定应纳税所得额大于 500 小于等于 2000
S ：能计算了，可以设应纳税所得额为 x ，个人所得税为 y 元，可以建立 x ， y 之间的关系
（问题三） T ：这是什么关系呢？
S ：函数关系
T ：很好
出示题目的第三部分：
设全月应纳税所得额为 x 元，且 500<x ≤ 2000 ，应纳个人所得税为 y 元，求 y 关于 x 的函数解析式和自变量的取值范围；
应纳个人所得税 y 与全月应纳税所得额为 x 之间的函数解析式 y=0.1x-25
请你利用函数关系再计算小贝妈妈的每月个人所得税，
（ 2 ）小聪妈妈的月工资为每月 4000 元，问她俩每月应缴个人所得税多少元？

课本例题是直接设两个变量，我觉得对于实际问题，学生最难的是怎么知道它是一个函数，所以我对课本例题进行改变，通过帮忙的形式，提出问题，提高学生学习的兴趣，进入思考的境界，并且知道实际生活中隐含了数学问题，通过对特例的研究与计算，让学生了解分段计算的方法。
为了让学生从实际问题中抽象出函数，提出一个单位的会计是怎样计算的呢？让学生寻找对不同工资计算的简便方法，通过对应纳个人所得税与全月应纳税所得额两个量之间的分析，从实际问题中抽象出两个变量，这一步是学生学习的难点，也是今后学习函数的重点，是学习函数的本质，建立函数模型，让学生体会函数并不是从天而降的，而是可以通过对实际问题中量的关系抽象出来，给学生一种学习函数的方法，函数就是一种规律，解析式也可以看作一个公式，利用函数的解析式可以快速的计算每一个人每月个人所得税的金额，让学生体会函数的实用性。
二、在学生学习的难点上设问
八年级 7.2 认识函数（ 2 ）
这一节教学的难点是求自变量的取值范围，需要正确理解问题，并化归为解不等式或不等式组
活动一：动动手，动动脑
80cm 长的红丝线能否围一个等腰三角形？
教师出示两根 80cm 长的红丝线让四位学生上来进行实际的操作，出现多种形状不同的等腰三角形。
T ：有哪些量是变化的呢？
S1 ：腰 T2 ：底边 T3 ：底角 T4 ：顶角 T5 ：面积……
T ：有哪些量是不变的呢？
S ：周长
T ：那么在周长不边的情况下如何表示腰与底两个变量之间的关系呢？
S1 ：函数解析式
T ：还可以用其它的方法么？
S2 ：列表法、图象法
投影出示
例 1 等腰三角形 ABC 的周长为 80 ，底边 BC 长为 y ，腰 AB 长为 x ，
求：（ 1 ） y 关于 x 的函数解析式
学生尝试做题
S1 ： y=80-2x
S2 ： x=(80-y)/2
T ：题目是 y 关于 x ，其中关于相当于等于，所以应该写成 y=80-2x
T ：把你的学号作为三角形的腰长，请计算相应的底边 y 值
学生快速的计算
教师在黑板上列出相关的值：
x=0 （教师的学号为 0 ） y=80
x=10 y=60
x=20 y=40
x=30 y=20
x=40 y=0
x=50 y= -20
x=51 y= -22
（问题一） T ： x 表示三角形的腰， y 表示三角形的底边，你看到这组数据有什么话要说么？
S1 ：不能是负与 0 ，所以最后三个不行。
（追问 1 ） T ：能分享你结论的理由么？
S1 ： y 是底边，需要大于 0
T ：自变量的取值需要符合函数的实际意义
这时下面有个同学在悄悄的说，第一个也不行。
（追问 2 ） T ：能说说你的理由么？
S2 ：因为 x 是等腰三角形的腰长，也是大于 0 的。
T ：自变量的取值必须满足自变量的实际意义
这时，课堂中学生都在用质疑的眼神重新观察题目，重新思考，这时教师让学生进行讨论。经过一段时间的讨论，有学生举手了。
S3 ：第 2 、 3 个也不行
（追问 3 ） T ：为什么？
S2 ：不能构成三角形
（问题二） T ：那么 x 能不能任意取呢？
S ：不能
（问题三） T ：那应该从哪几个方面求 x 的取值范围呢？
S1 ： 20<x<40
T ：你解释一下你是怎么想到的？
S1 ：三角形任意两边之和大于第三边
T ：我们一起来梳理此题求 x 的取值范围的方法
教师板书：
求 x 的取值范围
（ 1 ）自变量 x 的实际意义 x>0
T ：刚才同学们考虑到了函数 y 的取值范围，而 y=80-2x ，所以还要考虑与 x 相关的量的意义
板书（ 2 ）与 x 相关的量的意义 y>0
（问题四） T ：除了这两个量还要考虑到什么呢？
S ：三角形任何两边之和大于第三边
板书（ 3 ）在实际情境中满足限制的条件
T ：等腰三角形只要考虑 x + x > y

实际问题——解析式——求函数值——冲突——反思——探究——归纳
在这里，是第一次求自变量的取值范围，而学生对自变量的取值范围的求解还没有形成一种常规的思路，所以，老师通过实际的操作（ 80cm 长的红丝线），让学生在动手实践中了解腰、底边、底角、顶角、面积等之间的变化情况，然后列出底边与腰长之间的函数解析式，再给定一个自变量（学生学号作为腰长）求出相应的函数值，一方面复习了函数的有关概念——变量、常量、函数，另一方面也让学生学习了列简单问题中的函数解析式，根据函数解析式，已知自变量的值，求相应的函数值，更重要的是通过学号作为三角形的腰长，计算相应的底边 y 值，教师通过递进式提问，让学生在具体的、特殊的数值中发现矛盾，产生冲突，引起进一步探索的求知欲，提问、追问、反问，学生的解释、说理，由特殊到一般，最后总结出求自变量的取值范围的通性通法，有一种水到渠成、一气呵成的气势，在学生学习的难点上设计问题串，为学生突破学习的难点搭好脚手架，符合学生学习的心理，起到事半功倍的效果
三、知识的生长点进行问题设计
学生的学习过程是知识不断积累和能力不断提高的过程，新知识的学习是在原有基础上进行的老枝发新芽，学生对新知识的理解是逐步由模糊到清晰、由零碎到完整并逐步融入原有知识体系之中。设计恰当的问题有利于调动学生运用已有知识自己进行新内容的学习， 引导学生探究新知 。
例如 立方根教学
具体教学过程如下：
1. 魔方展示：抽象出立方体。
T ：若魔方的体积是 8cm 3 ，则棱长是多少 cm ？为什么？
S1 ：∵ 2 3 =8 ，∴棱长是 2cm 。（为将要学习的立方根与立方运算是互逆运算作铺垫）
T ：若魔方的体积是 80cm 3 ，则棱长是多少 cm ？为什么？
S2 ： a 3 =80
（问题一） T ：这里的 2 和 a 我们能否把它取个名？
S3 ：立方根。
（追问） T ：你为什么取这个名呢？
S4 ：根据平方根的定义猜想得到的。
（问题二） T ：那么什么是立方根呢？
S5 ：……
T ：你还能知道哪些数的立方根？
S6 ：……再次呈现两者是互逆运算的思维过程。
（问题三） T ：一个数的平方根你怎样表示？
S7 ： 
（问题四） T ：一个数的立方根你又想怎样去表示呢？
S8 ： S9 ：纠错 S10 ：改正
这是本课时的引入部分，教师通过问题串，把立方根的定义、表示方法与平方根定义、表示方法联系在一起，教师的设计思路就是采用类比的数学思想，让学生通过类比的数学思想，自主的学习立方根的定义与表示方法，学得自然，轻松。
T ：能否把一个数的立方根的特征总结一下？
类比平方根的特征：

立方根
平方根
正数

负数

零

T ：你有什么启发？你发现了什么？……
最后在本课的回顾与拓展（小结）：

读法，写法
含义
a 的取值
结果

设置了一个学生“跳一跳”能解决的问题：生 1 ：四次方根，生 2 ：算术四次方根……
学生对 的读法、写法、含义、 a 的取值都能进行明确的回答与分析，这样的知识拓展，显然是教师采用了类比教学思路的结果，开启了学生思维的大门，找到了学习新知的有效方法与途径。
四、知识由特殊到一般的归纳点上设计问题
特殊的例子开始，由具体到一般逐步深入，让学生在解答的过程中发现共同的规律，使学生的思维始终处于积极主动的状态，使学生的认识由感性上升到理性。数学概念是高度抽象的，从特殊例子抽象到一般概念，可以降低学生理解的难度。
八上 7.3 一次函数（ 1 ） 2009 、 12 、 4
（一）一次函数概念的引入
黑板上书写 2x 2 -3x+1
1 ．是不是一个函数呢？为什么？
2 ．你能补充成一个函数解析式么？
T ：生活中存在很多的函数关系。请看 投影
生活中的函数关系
（ 1 ）某农场种植玉米，每平方米种玉米 6 株，玉米数 y 与种植面积 x （ m 2 ）之间的关系；
（ 2 ）圆珠笔每支 0.6 元，购买圆珠笔的总价 y （元）与购买支数 x 之间的关系；
（ 3 ）正方形周长 x 与面积 y 之间的关系；
（ 4 ）某中气体在 0 ℃ 时的体积是 100L ，温度每升高 1 ℃ ，它的体积增加 0.37L ，体积 V （ L ）与温度 t （℃）之间的函数关系式；
（ 5 ）假定某种储蓄的月利率是 0.16% ，存入 1000 元本金后，本息和 y （元）与所存月数 x 之间的关系；
从而得到 y =6 x 、 y =0.6 x 、 y = 、 V =0.37 t +100 、 y =0.16% × 1000 x +1000 ……共五个函数解析式
T ：事物之间有千丝万缕的联系，只要我们用数学的眼光去观察，会发现很多的函数关系，（目的是上面的例子是函数的一小部分，是一些函数的代表），那么对上述 5 个函数的解析式，你能依据自己的标准进行分类么？
S1 ： 1 、 2 、 3 ； 5 与 4 。依据是字母是 x 与 y ， v 与 t ，字母不一样
（提示性问题） T3 ：一般的式子就是……
S3 ：公式
（追问） T ：对啊，我们学过的公式一般是用什么来表示规律的呢？
S ：字母
（问题三） T ：那我们能不能用字母来表示 1 、 2 、 4 、 5 函数解析式呢？
S ： y = ax + b
T ；好啊，你的想法能与同学们分享么
S ：等号两边的代数式都是整式；自变量的次数是一次
由此得到一次函数与正比例函数的定义
黑板上书写 2x 2 -3x+1 ，一是为了复习函数的定义，二是给学生提供一个非一次函数的函数。一次函数的定义应该是在函数的基础上进行建构的，不是教师简单的给予的，所以，我设计了一些列的实际问题，让学生在 5 个函数中进行分类，通过分类，找出共同的特点，再给出一次函数与正比例函数的定义，显得水到渠成，也符合建构主义的理论，让学生明确知道一次函数与正比例函数是函数中的一类而已。
在特殊到一般的知识归纳点上设计问题串，引导、帮助学生展开知识的联想，特征——公式——字母——一般式，使学生处于思维的活跃期，克服了函数学习的抽象性，降低了学习的难度。