资源描述
DMU,Klicka fr att ndra format p bakgrundsrubriken,Klicka fr att ndra format p bakgrundstexten,Niv tv,Niv tre,Niv fyra,Niv fem,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,大 连 海 事 大 学 数 学 系,王志平,11月,高等数学,1/127,第十章,积分学,定积分二重积分三重积分,积分域,区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长曲线积分,对坐标曲线积分,对面积曲面积分,对坐标曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,2/127,第十章,曲线积分与曲面积分,第一节,对弧长曲线积分,第二节,对坐标曲线积分,第三节,格林公式及其应用,第四节,曲线积分与路径无关条件,第五节,对面积曲面积分,第六节,对坐标曲面积分,第七节,高斯公式 通量 散度,第八节,斯托克斯公式 环流量 与旋度,3/127,第一节,对弧长曲线积分,定义及性质,计算,总结,4/127,对弧长曲线积分,定义,5/127,对弧长曲线积分,定义,：设,L,是,xoy,面内一条光滑曲线弧,f(x,y),在,L,上有界,都存在,L,上,对弧长曲线积分,记作,若经过对,L,任意分割,局部,任意取点,以下“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分,.,称为,被积函数，,L,称为,积分弧段,.,注：,和对,6/127,对弧长曲线积分,性质,（,k,为常数,),(,L,由 组成,),(,l,为曲线弧,L,长度,),7/127,对弧长曲线积分计算法,基本思绪,:,计算定积分,转 化,定理,:,且,上连续函数,解释,:,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,弧微分：,又,(x,y),在,L,上,对弧长曲线积分,8/127,假如曲线,L,方程为,则有,假如方程为极坐标形式,:,则,推广,:,设空间曲线弧参数方程为,则,9/127,例,1.,计算,其中,L,是抛物线,与点,B,(1,1),之间一段弧,.,解,:,上点,O,(0,0),对弧长曲线积分,注：,化为定积分时上限一定大于下限,10/127,例,2.,计算曲线积分,其中,为螺旋,一段弧,.,解,:,线,对弧长曲线积分,11/127,例,3.,计算,其中,为球面,被平面 所截圆周,.,解,:,由对称性可知,对弧长曲线积分,对弧长曲线积分也有类似于重积分对称性,12/127,对弧长曲线积分,13/127,对弧长曲线积分,14/127,对弧长曲线积分,15/127,质量,质心,转动惯量,对弧长曲线积分,16/127,总结,对弧长曲线积分,17/127,第二节,对坐标曲线积分,定义及性质,计算,两类曲线积分之间关系,总结,18/127,对坐标曲线积分概念与性质,1.,引例,:,变力沿曲线所作功,.,设一质点受以下变力作用,从点,A,沿光滑曲线弧,L,移动到点,B,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿直线所作功,处理方法,:,变力所作功,W,.,对坐标曲线积分,19/127,对坐标曲线积分,1),“,大化小,”,.,2),“,常代变,”,把,L,分成,n,个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做功为,F,沿,则,用有向线段,上任取一点,在,20/127,3),“,近似和,”,4),“,取极限,”,(,其中,为,n,个小弧段最大长度,),记作,对坐标曲线积分,21/127,对坐标曲线积分,2.,定义,.,设,L,为,xoy,平面内从,A,到,B,一条,有向光滑,弧,若对,L,任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向弧,L,上,对,坐标曲线积分,则称此极限为函数,或,第二类曲线积分,.,在,L,上定义了一个向量函数,极限,记作,22/127,对坐标曲线积分,对,x,曲线积分,;,对,y,曲线积分,.,若,为空间曲线弧,记,若记,对坐标曲线积分也可写作,类似地,23/127,对坐标曲线积分,性质,定积分是第二类曲线积分特例,.,说明,:,对坐标曲线积分必须注意积分弧段,方向,!,24/127,对坐标曲线积分,计算,定理,:,在有向光滑弧,L,上有定义且,L,参数方程为,则曲线积分,连续,证实,:,下面先证,存在,且有,25/127,对应参数,设,依据定义,对应参数,同理可证,对坐标曲线积分,26/127,对坐标曲线积分,若,L,方程为,则,对空间光滑曲线弧,:,类似有,27/127,对坐标曲线积分,28/127,对坐标曲线积分,29/127,例,2,.,求,其中,从,z,轴正向看为顺时针方向,.,解,:,取,参数方程,对坐标曲线积分,30/127,对坐标曲线积分,两类曲线积分之间关系,设有向光滑弧,L,参数方程为,则,L,上,(,x,y,),处切向量为,则两类曲线积分有以下联络,31/127,对坐标曲线积分,类似地,在,空间曲线,上两类曲线积分联络是,令,记,A,在,t,上投影为,则,32/127,对坐标曲线积分,总结,33/127,第三节,格林公式及其应用,格林公式,格林公式应用,总结,34/127,格林公式及其应用,格林公式,复连通区域,单连通区域,35/127,格林公式及其应用,y,x,o,a,b,36/127,格林公式及其应用,37/127,格林公式及其应用,格林公式应用,1.,直接用,38/127,格林公式及其应用,2.,L,不封闭，取,L+l,封闭,39/127,格林公式及其应用,3.,P(x,y),Q(x,y,),一阶偏导不连续,A.,代入法：将积分弧段方程直接代入分母中。,B.,直接法,40/127,格林公式及其应用,C.,将不连续点挖去（积分弧方程与分母不一样）,41/127,格林公式及其应用,42/127,格林公式及其应用,43/127,格林公式及其应用,4.,求二重积分,44/127,格林公式及其应用,5.,求面积,45/127,格林公式及其应用,总结,46/127,第四节,曲线积分与路径无关,曲线积分与路径无关,全微分求积,题型,小结,47/127,曲线积分与路径无关,G,y,x,o,B,A,曲线积分与路径无关,则称曲线积分,定义：,假如在区域,G,内有,在,G,内与路径无关,不然称为与路径相关。,48/127,曲线积分与路径无关,平面上曲线积分与路径无关等价条件,定理,.,设,D,是单连通域,在,D,内,含有一阶连续偏导数,(1),沿,D,中任意光滑闭曲线,L,有,(2),对,D,中任一分段光滑曲线,L,曲线积分,(3),(4),在,D,内每一点都有,与路径无关,只与起止点相关,.,函数,则以下四个条件等价,:,在,D,内是某一函数,全微分,即,49/127,格林公式及其应用,说明,:,积分与路径无关时,曲线积分可记为,证实：,(1)(2),设,为,D,内,任意,两条由,A,到,B,有向分段光滑曲,线,则,(,依据条件,(1),50/127,格林公式及其应用,(2)(3),在,D,内取定点,因曲线积分,则,同理可证,所以有,和任一点,B,(,x,y,),与路径无关,有函数,51/127,(3)(4),设存在函数,u,(,x,y,),使得,则,P,Q,在,D,内含有连续偏导数,从而在,D,内每一点都有,格林公式及其应用,52/127,(4)(1),设,L,为,D,中任一分段光滑闭曲线,(,如图,),利用,格林公式,得,所围区域为,证毕,格林公式及其应用,53/127,对坐标曲线积分,说明,:,依据定理,若在某区域内,则,2),可用积分法求,d,u,=,P,d,x,+,Q,d,y,在域,D,内原函数,:,及动点,或,则原函数为,取定点,1),计算曲线积分时,可选择方便积分路径,;,54/127,例,1,.,验证,是某个函数全微分,并求,出这个函数,.,证,:,设,则,由定理,2,可知,存在函数,u,(,x,y,),使,。,。,对坐标曲线积分,55/127,曲线积分与路径无关,题型,1.,与路径无关,56/127,曲线积分与路径无关,57/127,曲线积分与路径无关,58/127,曲线积分与路径无关,1.,与参数相关,59/127,曲线积分与路径无关,60/127,曲线积分与路径无关,61/127,曲线积分与路径无关,小结,62/127,第五节,对面积曲面积分,概念,主要结论,对面积曲面积分计算,63/127,对面积曲面积分,概念,64/127,对面积曲面积分,定义,:,设,为光滑曲面,“乘积,和式极限”,都存在,曲面积分,其中,叫做积分曲面,.,据此定义,曲面形构件质量为,曲面面积为,f,(,x,y,z,),是定义在,上一,个有界,函数,记作,或,第一类曲面积分,.,若对,做,任意分割,和局部区域,则称此极限为函数,f,(,x,y,z,),在曲面,上,对面积,任意取点,65/127,对面积曲面积分,性质：,66/127,对面积曲面积分,67/127,对面积曲面积分,68/127,对面积曲面积分,计算,定理,:,设有光滑曲面,f,(,x,y,z,),在,上连续,存在,且有,则,曲面积分,证实,:,由定义知,69/127,而,对面积曲面积分,70/127,对面积曲面积分,71/127,对面积曲面积分,72/127,对面积曲面积分,73/127,对面积曲面积分,74/127,例,2.,计算,其中,是由平面,坐标面所围成四面体表面,.,解,:,设,上部分,则,与,原式,=,分别表示,在平面,对面积曲面积分,75/127,第六节,对坐标曲面积分,有向曲面及投影,定义及性质,计算,两类曲面积分之间关系,总结,76/127,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(,单侧曲面经典,),对坐标曲面积分,77/127,对坐标曲面积分,有向曲面及投影,其方向使用方法向量指向表示:,方向余弦,0,为前侧,0,为右侧,0,为上侧,0,时,说明流,入 流体质量少于,当,0,时,说明流,入 流体质量多于流,出,则单位时间经过,流量为,当,=0,时,说明流入与流出,流体质量相等,.,流,出,表明,内有泉,;,表明,内有洞,;,依据高斯公式,流量也可表为,110/127,高斯公式 通量 散度,方向向外任一闭曲面,记,所围域为,设,是,包含点,M,且,为了揭示场内任意点,M,处特征,在,式两边同除以,体积,V,并令,以,任意方式缩小至点,M,则有,此式反应了流速场在点,M,特点,:,其值为正,负或,0,分别反应在该点有流体涌出,吸入,或没有任何改变,.,111/127,高斯公式 通量 散度,定义,:,设有向量场,其中,P,Q,R,含有连续一阶偏导数,是,场内一片有向,则称,曲面,其单位法向量,n,为向量场,A,经过,有向曲面,通量,(,流量,).,在场中点,M,(,x,y,z,),处,称为向量场,A,在点,M,散度,.,记作,divergence,112/127,高斯公式 通量 散度,表明该点处有正源,表明该点处有负源,表明该点处无源,散度绝对值大小反应了源强度,.,若向量场,A,处处有,则称,A,为,无源场,.,比如,匀速场,故它是无源场,.,说明,:,由引例可知,散度是通量对体积改变率,且,113/127,高斯公式 通量 散度,*例,5.,置于原点,电量为,q,点电荷产生场强为,解,:,计算结果与仅原点有点电荷事实相符,.,114/127,高斯公式 通量 散度,设,小结,115/127,高斯公式 通量 散度,116/127,第八节,斯托克斯公式 环流量与旋度,斯托克斯公式,环流量与旋度,117/127,斯托克斯公式 环流量与旋度,定理,.,设光滑曲面,边界 是分段光滑曲线,(,斯托克斯公式,),一个空间域内含有连续一阶偏导数,侧,与,正向符合,右手法则,则有,在包含 在内,或记为,118/127,斯托克斯公式 环流量与旋度,例,1.,利用斯托克斯公式计算积分,其中,为平面,x+y+z,=1,被三坐标面,解,:,记三角形域为,取上侧,则,所截三角形整个边界,方向如图所表示.,利用对称性,119/127,例,2.,为柱面,与平面,y=z,交线,从,z,轴正向看为顺时针,计算,解,:,设,为平面,z=y,上被,所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,斯托克斯公式 环流量与旋度,120/127,斯托克斯公式 环流量与旋度,121/127,斯托克斯公式 环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面,法向量为,曲线,单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,环流量与旋度,122/127,斯托克斯公式 环流量与旋度,令,引进一个向量,记作,向量,rot,A,称为向量场,A,称为向量场,A,定义,:,沿有向闭曲线,环流量,.,或,于是得斯托克斯公式向量形式,:,旋度,.,rotation,123/127,斯托克斯公式 环流量与旋度,设某刚体绕定轴,l,转动,M,为刚体上任一,点,建立坐标系如图,则,角速度为,点,M,线速度为,(,此即“旋度”一词起源,),旋度力学意义,:,124/127,斯托克斯公式 环流量与旋度,向量场,A,产生旋度场,穿过,通量,注意,与 方向形成右手系,!,为向量场,A,沿,环流量,斯托克斯公式物理意义,:,例,4.,求电场强度,旋度,.,解,:,(,除原点外,),125/127,高斯,(1777 1855),德国数学家、天文学家和物理学家,是与阿基米德,牛顿并列伟大数学家,他数学成就遍布各个领域,在数论、,级数、复变函数及椭圆函数论等方面都有一系列开创,性贡献,他还十分重视数学应用,地测量学和磁学研究中创造和发展了最小二乘法、,曲面论和位势论等,.,他在学术上十分慎重,标准,:,代数、非欧几何、微分几何、超几何,在对天文学、大,恪守这么,“问题在思想上没有弄通之前决不动笔”,.,126/127,斯托克斯,(1819-1903),英国数学物理学家,.,他是,19,世纪英国,数学物理学派主要代表人物之一,其,主要兴趣在于寻求解主要数学物理问题,有效且普通新方法,在,1845,年他导,出了著名粘性流体运动方程,(,后称之,为纳维,斯托克斯方程,),1847,年先于,柯西提出了一致收敛概念,.,他提出斯托克斯公式,是向量分析基本公式,.,他一生工作先后分 五卷,出版,.,127/127,
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