全国各地市2012届高三数学模拟试题分类解析汇编-10-立体几何(2).doc

全国各地市2012年模拟试题分类解析汇编：立体几何（2）
【山东省日照市2012届高三12月月考理】（3）一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是
（A） （B） （C）8 （D）24
【答案】C 解析：设球的半径为R，则，从而，所以正方体的体对角线为2，故正方体的棱长为2，体积为。
【山东省日照市2012届高三12月月考理】（7）下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是

（A）①② （B）②③ （C）②④ （D）①③
【答案】C 解析：①的三个视图都相同；②的主视图与左视图相同，与俯视图不同；③的三个视图互不相同；④的主视图与左视图相同，而与俯视图不同。
【山东省日照市2012届高三12月月考理】（10）已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C 解析：由无法得到m，n的确切位置关系。
【山东实验中学2012届高三第一次诊断性考试理】3. 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）
(A). 4 (B). 8 (C). 16 (D). 20

【答案】C
【解析】由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥，由左视图和俯视图我们易该棱锥底面的长和宽，及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案
解：由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，
又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为2，棱锥的高为4
由俯视图我们易判断四棱锥的长为4代入棱锥的体积公式，我们易得
V=×6×2×4=16
故答案为：16

【2012唐山市高三上学期期末统一考试文】如图，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点。
（1）求证：平面BED平面SAB；
（2）求直线SA与平面BED所成角的大小。
【解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系、考查空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力.考查化归和转化的数学思想方法.
解：（Ⅰ）∵SD⊥平面ABCD，∴平面SAD⊥平面ABCD，
∵AB⊥AD，∴AB⊥平面SAD，∴DE⊥AB． …3分
∵SD＝AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，
∵AB∩SA＝A，∴DE⊥平面SAB

∴平面BED⊥平面SAB． …6分
（Ⅱ）作AF⊥BE，垂足为F．
由（Ⅰ），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，
则∠AEF是直线SA与平面BED所成的角． …8分
设AD＝2a，则AB＝a，SA＝2a，AE＝a，
△ABE是等腰直角三角形，则AF＝a．
在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝，
故直线SA与平面BED所成角的大小45°．
【2012年西安市高三年级第一次质检文】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是菱形AB = 2, = 60°.
(I )求证:BD丄平面PAC;
(II)若PA =Ab，求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】

【2012金华十校高三上学期期末联考文】如图，三棱锥P—ABC中，平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB。
（1）求证：平面PCB；
（2）求二面角C—PA—B的余弦值。

【解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系、考查空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力.考查化归和转化的数学思想方法.

【2012年石家庄市高中毕业班教学质检1文】如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∠B1A1C1=90°，D、E分别为CC1和A1B1的中点，且A1A=AC=2AB=2．
(I)求证：C1E∥平面A1BD；
(Ⅱ)求点C1到平面A1BD的距离．

【解析】本题主要考查集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查.
（Ⅰ）证明：取中点F，连结EF，FD．

∵,又,,
∴平行且等于
所以为平行四边形，……………4分
∴，又平面,
∴平面.……………6分
（Ⅱ），,……………8分
所以,
，………………10分
及，
.
所以点到平面的距离为.………………12分
【2012江西师大附中高三下学期开学考卷文】一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中分别是的中点，是上的一动点.
（1）求证：
（2）当时，在棱上确定一点，使得//平面，并给出证明.

【解析】本题主要考查多面体的直观图和三视图、空间直线与直线、直线与平面的位置关系. 属于基础知识、基本思维的考查.
证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF,DF=AD=DC
(1)连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN
又FD⊥AD FD⊥CD，
FD⊥面ABCD
FD⊥AC
AC⊥面FDN
GN⊥AC
（2）点P在A点处
证明：取DC中点S，连接AS、GS、GA
G是DF的中点，GS//FC,AS//CM
面GSA//面FMC

GA//面FMC 即GP//面FMC
【2012三明市普通高中高三上学期联考文】如图，已知四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）若是的中点，求三棱锥的体积．

【解析】本题主要考查棱锥的体积公式、直线与平面的位置关系. 属于基础知识、基本思维
的考查.
证明：（Ⅰ）由已知 底面是直角梯形，， …………………… 1分
又平面 , 平面 …………………… 3分
∴∥平面 …………………… 4分
（Ⅱ）在直角梯形中，过作于点， ………………… 5分

则，
∴ ………………… 7分
又平面 ，∴ ………………… 8分

………………… 12分
　【2012厦门市高三上学期期末质检文】如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB＝BC，BD⊥AC，E为PC的中点。
　　（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
　　（Ⅱ）求证：PA∥平面BDE。
【解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系、考查空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力.考查化归和转化的数学思想方法.

【2012武昌区高三年级元月调研文】如图，已知四棱台ABCD—A1B1C1D1的侧棱A1A垂直于底面ABCD．底面ABCD是边长为2的正方形，四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形，DD1=2．
（I）求证：平面A1ACC1上平面B1BDD1；
（II）求侧棱DD1与底面ABCD所成的角；
（III）求四棱台ABCD—A1B1C1D1的体积。
【解析】本题主要考查了棱台的概念、直线与平面、平面与平面的垂直证明、直线与平面所成角以及台体的体积公式. 属于中等题。考查了基础知识、基本运算、识图能力.
解：（Ⅰ）∵⊥平面 ABCD，∴．
底面是正方形，．
与是平面内的两条相交直线，
∴ ⊥平面
平面，
∴平面平面．

A

B

C

D

A1
B1
C1
D1
H

（Ⅱ）过作于，则．
∵⊥平面 ABCD，
平面．
为侧棱与底面所成的角．
在中，，
，
．
（Ⅲ） 在中，求得．
而，
所以．
【2012浙江宁波市期末文科】如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设点为中点，求二面角的余弦值．

【解析】(1)证明：
则，，则得
，面平面，
面平面
平面． ……7分
（II）过作交于点，连,
则为二面角的平面角，在中，，，则二面角的余弦值为．…………14分
【2012山东青岛市期末文】

如图，四边形为矩形，平面,，平面于点，且点在上.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求四棱锥的体积；
（Ⅲ）设点在线段上，且，
试在线段上确定一点，使得平面.

【解析】（Ⅰ）因为平面，∥
所以，
因为平面于点，
………………………………………2分
因为，所以面，
则
因为，所以面，
则…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）作，因为面平面，所以面
因为，，所以…………………………6分
…………………………………8分
（Ⅲ）因为，平面于点，所以是的中点
设是的中点，连接…………………………………………………10分
所以∥∥
因为，所以∥面，则点就是点…………………12分
【2012吉林市期末质检文】A
P
C
B
D
E
如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为矩形，，为的上一点，且.
（Ⅰ）若F为PE的中点，求证：平面AEC；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.

【解析】（Ⅰ）连结BD交AC于O，连结OE，∵为的上一点，且，
A
P
C
B
D
E
F
O
F为PE的中点，∴E为DF中点，OE//BF ， （5分）
又∵平面AEC
∴平面AEC （6分）
（Ⅱ）侧棱底面，，
又，，
∴， （9分）
又,
∴三棱锥的体积
（12分）
【2012江西南昌市调研文】如图在正三棱锥P-ABC中，侧棱长为3，底面边长为2，E为BC的中点，
(1)求证：BC⊥平面PAB
(2)求点C到平面PAB的距离

【解析】证明（1）E为BC的中点，又为正三棱锥
平面……6分
设点C到平面PAB的距离为。
则
…………10分
…………………12分
【2012 广东佛山市质检文】如图，三棱锥中，底面，， ，为的中点，为的中点，点在上，且.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
【解析】（1）证明：∵底面，且底面， ∴ …1分
由，可得 …………………2分
又 ，∴平面 …………………3分
注意到平面， ∴ ………………4分
,为中点，∴ …………………………5分
， ∴平面 …………………………6分
（2）取的中点，的中点，连接，
∵为中点，，∴. ……………7分
∵平面平面， ∴平面. …………8分
同理可证：平面.
又， ∴平面平面. …………9分
∵平面，∴平面. …………10分
（3）由（1）可知平面
又由已知可得.
…………12分
∴
所以三棱锥的体积为. …………14分
【2012河南郑州市质检文】如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=，SE⊥AD.
（Ⅰ）证明：平面SBE⊥平面SEC;
（Ⅱ）若SE=1，求三棱锥E-SBC的高.

【解析】（Ⅰ）证明: 平面平面,平面平面,
平面，，
平面. …………2分
E
S
D
C
B
A
F
G
平面
，，=3, AE=ED=

所以即…………4分
结合得BE⊥平面SEC,
平面， 平面SBE⊥平面SEC. …………6分
（Ⅱ）如图，作EF⊥BC于F,连结SF.由BC⊥SE,SE和EF相交得，
BC⊥平面SEF,由BC在平面SBC内，得平面SEF⊥平面SBC.
作EG⊥SF于G,
则EG⊥平面SBC.即线段EG的长即为三棱锥E-SBC的高.…………9分
由SE=1，BE=2，CE=得BC=4，EF=.
在中，,
所以三棱锥E-SBC的高为.…………12分
【2012北京海淀区期末文】在四棱锥中，底面是菱形，.
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）若平面平面，求证：；
（Ⅲ）在棱上是否存在点（异于点）使得∥平面，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【解析】（Ⅰ）证明：因为 底面是菱形
所以 . ………………………………1分
因为 ，，
所以 平面. ………………………………………3分
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知.
因为 平面平面，平面平面，
平面，
所以 平面. ………………………………………5分
因为 平面，
所以 . ………………………………………7分
因为 底面是菱形，
所以 .
所以 . ………………………………………8分
（Ⅲ）解：不存在. 下面用反证法说明. ………………………………………9分
假设存在点（异于点）使得∥平面.
在菱形中，∥，
因为 平面，平面，
所以 ∥平面.
………………………………………11分
因为 平面，平面，
，
所以 平面∥平面.
………………………………………13分
而平面与平面相交，矛盾. ………………………………………14分
【2012广东韶关市调研文】如图所示，圆柱的高为2，底面半径为,AE、DF是圆柱的两条母线，过作圆柱的截面交下底面于.
（1）求证：；
（2）若四边形ABCD是正方形，求证；
（3）在（2）的条件下，求四棱锥的体积.
【解析】（1）证明：在圆柱中：
上底面//下底面，
且上底面∩截面ABCD＝，下底面∩截面ABCD＝
//……………………………………………………………………….２分
又AE、DF是圆柱的两条母线，
是平行四边形，所以，又//
…………………………………………………………………….５分
（2）AE是圆柱的母线，
下底面，又下底面，…………………………….７分
又截面ABCD是正方形，所以⊥，又
⊥面，又面，……………………………9分
（3）因为母线垂直于底面，所以是三棱锥的高……………………１０分，
EO就是四棱锥的高……………………10分
设正方形ABCD的边长为x,则AB=EF=x，
又，且，EF⊥BE, BF为直径，即BF＝
在中，
即
，……………………………………………………………１２分

………………………１４分