抛物线焦点弦的5条性质.docx

性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.证法一：如图3，设PQ中点为R，则R即为PQ为直线圆的圆心，过R作RSMN于S，又设P(x1,y1),Q(x2,y2),|PQ|=|PF|+|QF|=+=+=x1+x2+=x1+x2+p,而R(,),RS=+=,|RS|=|PQ|,RS为圆的半径，命题得证.证法二：由图3知RS为梯形PQNM的中位线，|RS|=(|PM|+|QN|)=|PQ|(利用性质3)， RS为圆的半径，故结论成立.性质5：以抛物线y2=2px(p0),焦点弦PQ端点向准线作垂线，垂足分别为M、N，则FMFN.(其中F为焦点).证明：如图4，由抛物线定义知|PF|=|PM|，1=2，而PMOx, 2=3，1=3, 同理4=6，而1+3+4+6=180，3+6=90， FMFN.性质6：设抛物线y2=2px(p0),焦点为F，焦点弦PQ，则+=(定值).证法一：由P、Q向准线作垂线，垂足分别为M、N，作QAOx于A，FBPM于B，准线与Ox交于E，(如图5)由AFQBPF，则,即=,但由定义知|NQ|=|FQ|,|PM|=|PF|,=,有1=1即+=2,而|EF|=p,代入后即得+=.证法二：由性质的语法二，设|FP|=t1,|FQ|=-t2,而t1+t2=,t1t2=,|t1-t2|=,则+=(t2t10),还有其它证法.性质7：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。 证明：如图，设， 则，又， ，即. 性质8：如图，A、O 、B1和B 、O、A1三点分别共线。证明：因为，而， 所以，所以A、O、B1三点共线。同理可证，B、O、A1三点分别共线.