抛物线焦点弦的5条性质.docx

性质4：以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.
证法一：如图3，设PQ中点为R，则R即为PQ为直线圆的圆心，过R作RS⊥MN于S，
又设P(x1,y1),Q(x2,y2),
|PQ|=|PF|+|QF|=+
=+=x1++x2+=x1+x2+p,
而R(,),∴RS=+=,
∴|RS|=|PQ|,∴RS为圆的半径，命题得证.
证法二：由图3知RS为梯形PQNM的中位线，
∴|RS|=(|PM|+|QN|)=|PQ|(利用性质3)，
∴RS为圆的半径，故结论成立.
性质5：以抛物线y2=2px(p＞0),焦点弦PQ端点向准线作垂线，垂足分别为M、N，则FM⊥FN.(其中F为焦点).

证明：如图4，由抛物线定义知|PF|=|PM|，∴∠1=∠2，
而PM∥Ox, ∴∠2=∠3，∴∠1=∠3,
同理∠4=∠6，而∠1+∠3+∠4+∠6=180°，∴∠3+∠6=90°，
∴FM⊥FN.

性质6：设抛物线y2=2px(p＞0),焦点为F，焦点弦PQ，则+=(定值).
证法一：由P、Q向准线作垂线，垂足分别为M、N，作QA⊥Ox于A，FB⊥PM于B，准线与Ox交于E，
(如图5)由△AFQ∽△BPF，则＝,即=,
但由定义知|NQ|=|FQ|,|PM|=|PF|,
∴=,有﹣1=1﹣即+=2,
而|EF|=p,代入后即得+=.
证法二：由性质的语法二，设|FP|=t1,|FQ|=-t2,
而t1+t2=,t1t2=﹣,|t1-t2|=,
则+=﹣===(∵t2﹣t1＜0),还有其它证法.

性质7：以抛物线焦点弦在准线上的射影为直径的圆必与焦点弦相切于焦点。

证明：如图，设， 则，
又，
，
∴，即.
性质8：如图，A、O 、B1和B 、O、A1三点分别共线。

证明：因为，
，而，
所以，
所以A、O、B1三点共线。
同理可证，B、O、A1三点分别共线.