第五章 角动量.doc

第五章 角动量.关于对称性
习题解答
5.1.1我国发射的第一颗人造地球卫星近地点高度d近=439km，远地点d远=2384km，地球半径R=6370km，求卫星在近地点和远地点的速度之比。
解：人造卫星绕地心转动，受地球的吸引力过地心，所以吸引力对地心的力矩等于零，故卫星的角动量守恒。近地点、远地点的速度与矢径垂直。设近地点的速度为v1，矢径为r1；远地点的速度为v2，矢径为r2，根据角动量守恒定律

5.1.2一个质量为m的质点沿着一条由定义的空间曲线运动，其中a、b及皆为常数。求此质点所受的对原点的力矩。
解：已知
所以

根据牛顿第二定律，
有心力对原点的力矩：
5.1.3一个具有单位质量的质点在力场中运动，其中t是时间。设该质点在t=0时位于原点，且速度为零。求t=2时该质点所受的对原点的力矩。所受的对原点的力矩。
解：因单位质量m=1 且

又t=0时

当t=2s时
对原点的力矩
5.1.4地球质量为6.01024kg，地球与太阳相距km，视地球为质点，它绕太阳作圆周运动。求地球对于圆轨道中心的角动量。
解：地球绕太阳的速率
角动量
=2.65kg.m2/s
5.1.5根据5.1.2题所给的条件，求该质点对原点的角动量。
解：由得
对原点的角动量

5.1.6解：根据5.1.3题所给的条件，求该质点在t=2s时对原点的角动量。
解：由m=1

积分：
t=2s 时

5.1.7 水平光滑桌面中间有一光滑小孔，轻绳一端伸入孔中，另一端系一质量为10g的小球，沿半径为40cm的圆周作匀速圆周运动，这时从孔下拉绳的力为10-3N。如果继续向下拉绳，而使小球沿半径为10cm的圆周作匀速圆周运动，这时小球的速率是多少？拉力所做的功是多少？
解：小球受力：重力、桌面的支持力，二者相等；拉力，通过圆心，力矩为零。所以小球的角动量守恒。

根据牛顿第二定律

由动量定理拉力作的功

5.1.8 一个质量为m的质点在0-xy平面内运动，其位置矢量为,
其中a、b和是正常数。试以运动方程及动力学方程观点证明该质点对于坐标原点角动量守恒。
证明：（1）运动学方法

角动量

为常矢量，所以守恒。
（2）动力学方法

所以对原点角动量守恒。
5.1.9 质量为200g的小球B以弹性绳在光滑水平面与固定点A相连。弹性绳的劲度系数为8N/m，其自由伸展长度为600mm。最初小球的位置及速度如图所示，当小球的速率为时，它与A点的距离最大，且等于800mm，求此时的速率及初速率
解：以小球为隔离体，受重力，水平面支持力，；弹性绳的张力，指向点。设A、B两点距离为d
当d0.6m时, T=0;当d>0.6时T=K(d- 0.6)K=8N/m

小球受到的对A点的合力矩为零，所以小球B对A点的角动量守恒。
初始：
A和B距离最大时，速度v垂直AB，角动量L=mvd

在此过程中只有保守力作功，所以物体系的机械能守恒

解得： ;v=0.33m/s
5.1.10 一条不可伸长的细绳穿过铅直放置的、管口光滑的细管，一端系一质量为0.5g的小球，小球沿水平圆周运动。最初，，后来继续向下拉绳使小球以沿水平圆周运动。求小球最初的速度、最后的速度以及绳对小球做的功。
解：以小球为隔离体。受重力，绳的张力，如图所示
（1） 求
由牛顿定律得:

所以　　
(2 ) 求v2：因拉动过程对轴的角动量守恒

则
由牛顿定律消去

（3）求A由动能定理

5．2．1 离心调速器模型如图所示。由转轴上方向下看，质量为m的小球在水平面内绕AB逆时针作匀速圆周运动，当角速度为时，杆张开角。杆长为，杆与转轴在B点相交。求（1）作用在小球上的各力对A点、B点及AB轴的力矩。（2）小球在图示位置对对A点、B点及AB轴的角动量。杆质量不计。
解：作用于小球上的力对A、B及AB轴的矩:

右球向外
向里

右球向里

（2）角动量（右球）平行轴向上
纸面内向右上
向上为正
5．2．2 理想滑轮悬挂两质量为m的砝码盘。用轻绳栓住轻弹簧两端使它处于压缩状态将此弹簧竖直放在一砝码盘上，弹簧上端放一质量为m的砝码。另一砝码盘上也放置质量为m的砝码，使两盘静止。燃断轻绳，轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离，求砝码
升起的高度。已知弹簧劲度系数为k，被压缩的长度为0。
解：（1）弹开过程（假定很小），角动量守恒
得
机械能守恒得
（2）砝码上抛过程，机械能守恒
得
说明：计算中因假定很小，所以（1）中忽略了系统整体势能的变化。
5．2．3 两个滑冰运动员的质量个为70kg，以6.5m/s的速率沿相反方向滑行，滑行路线间的垂直距离为10m。当彼此交错时，各抓住10m绳索的一端，然后相对旋转。（1）在抓住绳索一端之前，各自对绳中心的角动量是多少？抓住之后是多少？（2）他们各自收拢绳索，到绳长为5m时，各自的速率如何？（3）绳长为5m时，绳内张力多大？（4）二人在收拢绳索时，各做了多少功？（5）总动能如何变化？
解：（1）抓绳前后各自对绳中心的角动量

抓绳前后速率不变，角动量相等。
（2）收绳后的速率：因收绳过程对中心角动量守恒L1=L2

（3）绳长5米时，绳的张力
（4）收绳过程各做了多少功
A=
（5）总动能增加