公安三中高三数学累积考试题(8).doc

公安三中高三数学累积考试题（8）
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.若,是虚数单位,且,则在复平面内,复数所对应的点在(C )
.A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．若随机变量服从正态分布~，（A）
A． B. C. D.
3. 若x∈A则∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={－1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 （ A ）
A．15 B．16 C．28 D．25
4．已知函数y=Asin(ωx+)(A＞0，ω＞0，||＜) 的图象如图所示，则 (C)
A．y=2sin() B．y=2sin()
C．y=2sin() D．y=2sin()
5．已知函数，则对于任意实数、（），的值（A）
A.恒大于0 B.恒等于0 C.恒小于0 D.符号不确定

6. 设，且，，则等于（D）
或
7. 某人从2002年1月1日起，且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期)，若年利
率r保持不变，且每年到期后存款均自动转为新一年定期，到2008年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数(单位为元)为(B)
A.a(1+r)7 B. ［(1+r)7-(1+r)］C.a(1+r)8 D. ［(1+r)8-(1+r)］
8定义在上的函数.现给定下列几个命题：
①若是奇函数，則的图象关于点（1,0）对称
②若对X恒有，则的图象关于直线x=1对称
③若函数的图象关于直线x=1对称,則是偶函数
④函数的图象关于直线x=1对称
在上述命题中正确命题的个数是(B)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9．设等差数列的前项和为，若，则中最大的项是C
A． B． C． D．
10. 定义在上的函数满足，现给定下列几个命题：
①不可能是奇函数；②；③不可能是常数函数；④若，则不存在常数，使得成立．在上述命题中错误命题的个数为 （ A ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
体重
50 55 60 65 70 75

0．0375
0．0125
11,为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的
体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图
(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比
为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生
人数是

12、设，则函数中的系数为_______________.
13．函数y = lg (sinx + cosx)的单调递减区间为 ．
14.如图，为边长为1的正三角形纸板，在的左下端剪去一个边长为的正三角形得到，然后依次剪去一个更小的正三角形（其边长为前一个被剪去的正三角形边长的一半）得到，，……，，……。记纸板的面积记为，则__________.

15．记函数的最大值为．则：
① = ；② 的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16,已知函数(，)为偶函数，且其图像上相邻的一个最高点和最低点之间距离为。
（1）求的解析式；
（2）若，求的值。
17．（本小题满分12分）
从2008年9月12日含有三聚氰胺的“三鹿”婴儿毒奶粉事件曝光后，国家质检部门加大了对各种乳制品的检查力度。现随机抽取某品牌乳制品企业的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件。已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元。设1件产品的利润（单位：万元）为ξ。
（Ⅰ）求ξ的分布列及期望。
（Ⅱ）为了提高乳制品的质量，国内某名牌乳制品企业经技术革新，虽然仍有四个等级的产品，但次品率降为1，一等品率提高为70。如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，求三等品率最多是多少？

18.如果在某个区间I内满足：对任意的，则称在I上为下凸函数,已知函数
（Ⅰ）判断当时在上是否为下凸函数；并说明理由。
（Ⅱ）若为的导函数，且时，求实数a的取值范围.
19．(本小题满分12分)
某企业为了适应市场需求，计划从2010年元月起，在每月固定投资5万元的基础上，元月份追加投资6万元，以后每月的追加投资额均为之前几个月投资额总和的20%，但每月追加部分最高限额为10万元．记第个月的投资额为（万元）．
（1）求与的关系式；
（2）预计2010年全年共需投资多少万元？（精确到0.01，参考数据：1.22=1.44, 1.23=1.73, 1.24=2.07, 1.25=2.49, 1.26=2.99）
20、（本题满分13分）若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，（其中为自然对数的底数）．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅰ)求的极值；
(Ⅱ) 函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；
若不存在，请说明理由．

21．（本小题满分14分）
过P（1，0）作曲线的切线，切点为Q1，设Q1在轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在轴上的投影为P2，…，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、…、Qn的横坐标为
求证：
（Ⅰ）数列是等比数列；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）

公安三中高三数学累积考试题（8）答案
一、选择题CAACA,DBBCA

二、填空题11)48 12)－１５ 13) 14) 15) ,
三、解答题

16.解：⑴设最高点为，相邻的最低点为，则
∴，∴，
， 是偶函数，.

⑵，则原式
17, 1）ξ的取值：6、2、1、-2………（1分）P（ξ=6）==0.63；P（ξ=2）==0.25；
P（ξ=1）==0.1；P（ξ=-2）==0.02； ………（4分）
ξ的分布列：
ξ
6
2
1
－２
P
0.63
0.25
0.1
0.02
Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34………（6分）

2）设三等品率最多为x。
ξ
6
2
1
－２
P
0.7
0.29-x
x
0.01
………（9分）
Eξ=6×0.7+2×（0.29-x）+1×x+（-2）×0.01≥4.73∴x≤0.03∴三等品率最多为3……（12分）
18,解（Ⅰ）任取
则

…………………………………………………………2分
…………………………………………3分

又…………………………………………4分
又
………………………………………………5分
即.…………………………………………6分
上的下凸函数.
（Ⅱ），…………………………………………………………8分
………………………………………………10分

恒成立.
………………………………………………………………12分
19．解：（1）设前个月投资总额为，
则时，，， …………… 2分
两式相减得：，， …………… 3分
又，，… 5分
又，，，， …………… 7分
． …………… 8分
（2）
（万元）
故预计2010年全年共需投资154.64万元． …………… 12分

20、【解】(Ⅰ) ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
． ………………………2分
当时，． ………………………3分
当时，，此时函数递减；
当时，，此时函数递增；
∴当时，取极小值，其极小值为． …………………6分
(Ⅱ)解法一：由（Ⅰ）可知函数和的图象在处有公共点，因此若存在和的隔离直线，则该直线过这个公共点． 7分
设隔离直线的斜率为，则直线方程为，即
． ………………8分
由，可得当时恒成立．
，
由，得． …………………10分
下面证明当时恒成立．
令，则
， …………………11分
当时，．
当时，，此时函数递增；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当时，，此时函数递减；
∴当时，取极大值，其极大值为．
从而，即恒成立．………12分
∴函数和存在唯一的隔离直线． …………………13分
解法二： 由(Ⅰ)可知当时， (当且当时取等号) ．…7分
若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得
和恒成立，
令，则且
，即． ………………8分
后面解题步骤同解法一．

21解：（Ⅰ）若切点是，
则切线方程为
当时，切线过点P（1，0）即得
当时，切线过点即
得
∴数列是首项为，公比为的等比数列. …6分

（Ⅱ）

（Ⅲ）记，
则
两式相减