平面向量的数量积z.doc

第10节 平面向量的数量积一、知识梳理 两个向量的夹角定义：已知两个 向量和,作，则叫向量和的夹角.范围：向量夹角的范围是 , 向量和同向时,夹角= ; 向量和反向时,夹角= .向量垂直：如果向量和的夹角= ,则向量和垂直,记作 . 平面向量的数量积定义：已知两个非零向量和,它们的夹角为,我们把数量 叫做向量和的数量积(或内积),记作,即= ,并规定：零向量与任一向量的数量积为0;几何意义:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积(其中是与的夹角). 向量的数量积的性质设和都是非零向量,是与的夹角,则当和同向时,= .当和反向时, = .当为锐角时，且和不同向，；当为钝角时，且和不反向，；特别地: = = ，或= | . (是和的夹角). 平面向量数量积的坐标表示 设 = = (是和的夹角).若的起点坐标和终点坐标分别为,则= .二、基础训练若与的夹角为,则= ;若则 ；已知则和的夹角为 ；若则和的夹角为 ；已知且和的夹角为，则= .已知两个单位向量的夹角为，若向量，则 ；已知向量则当时，向量与平行.已知向量满足，且，则的形状是.如图(1)，在矩形中，点为的中点，点在边上，若则的值为. (9题) (第10题)如图，已知中，是的中点，若向量且的终点在的内部(不含边界)，则的取值范围是.三、例题选讲例 已知，（1）; (2) ;分别求.已知向量，求和例 设为坐标原点，为单位圆上的两点，且，则=.已知且与的夹角为锐角,求实数的取值范围.已知为单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影是多少？例 在中,是的中点，,点在上且满足学,求的值.如图，在中，已知点分别在边上，且为的中点，则=.(2)例已知向量，.求证：四边形为矩形； 若为直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标.科,X,例如图，半径为的扇形的圆心角为分别为线段的中点，为上任意一点，则的取值范围是.四、课后总结重视数量积的定义、模、夹角等公式；应用向量运算将问题转化为代数函数有关的问题，转化是关键；计算向量数量积时要注意方法的选择，一种是利用坐标运算，另一种是整体运算，化归成基本向量的数量积运算。答案：一、 知识梳理1. 两个向量的夹角(1)定义：已知两个 非零 向量和,作，则叫向量和的夹角.(2)范围：向量夹角的范围是 , 向量和同向时,夹角= ; 向量和反向时,夹角= .(3)向量垂直：如果向量和的夹角= ,则向量和垂直,记作 。2. 平面向量的数量积定义：已知两个非零向量和,它们的夹角为,我们把数量 叫做向量和的数量积(或内积),记作,即= ,并规定：零向量与任一向量的数量积为0.几何意义:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积(其中是与的夹角).3. 向量的数量积的性质设和都是非零向量,是与方向相同的单位向量,是与的夹角,则(1)当和同向时,= .当和反向时, = .当为锐角时，且和不同向，；当为钝角时，且和不反向.(2)特别地: = = ，或= (3)| .(4) (是和的夹角).4. 平面向量数量积的坐标表示 设(1) = (2) = (3) =0 （4） (是和的夹角).(5)若的起点坐标和终点坐标分别为,则= 。二、基础训练1若与的夹角为,则= ;2若则 -2 ；3. 已知则和的夹角为 ；4.若则和的夹角为 ；5已知且和的夹角为，则= 1 .6.已知两个单位向量的夹角为，若向量，则 -6 ；7.已知向量则当-时，向量与平行.8.已知向量满足，且，则的形状是等边三角形.9.如图(1)，在矩形中，点为的中点，点在边上，若则的值为.(9题)10.如图，已知中，是的中点，若向量且的终点在的内部(不含边界)，则的取值范围是(-2，6).三、例题选讲例1 （1）已知，（1）; (2) ;分别求.（2）已知向量，求和例2 （1）设为坐标原点，为单位圆上的两点，且，则=.（2）已知且与的夹角为锐角,求实数的取值范围已知为单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影是多少？（2）【解析】由题可得，则有（3）例3 （1）在中,是的中点，,点在上且满足学,求的值。由题可得则有（2）如图，在中，已知点分别在边上，且为的中点，则4.(2)例4.已知向量，.（1）求证：四边形为矩形； （2）若为直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标.解：（1）由题可得易得所以四边形为矩形。（2） 设由题可得，时取最小值此时，科,网Z,X,X,K例5 如图，半径为的扇形的圆心角为分别为线段的中点，为上任意一点，则的取值范围是. 第 8 页 共 8 页