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第10节 平面向量的数量积
一、知识梳理
两个向量的夹角
定义：已知两个 向量和,作，，则叫向量和的夹角.
范围：向量夹角的范围是 , 向量和同向时,夹角= ; 向量和反向时,夹角= .
向量垂直：如果向量和的夹角= ,则向量和垂直,记作 .
平面向量的数量积定义：已知两个非零向量和,它们的夹角为,我们把数量
叫做向量和的数量积(或内积),记作,即= ,并规定：零向量与任一向量的数量积为0;
几何意义:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积(其中是与的夹角).
向量的数量积的性质
设和都是非零向量,是与的夹角,则
当和同向时,= .当和反向时, = .当为锐角时，，且和不同向，；当为钝角时，且和不反向，；
特别地: = = ，或= || .
(是和的夹角).
平面向量数量积的坐标表示 设
= =
(是和的夹角).
若的起点坐标和终点坐标分别为,则= .
二、基础训练
★若与的夹角为,则= ;
★若则 ；
★已知则和的夹角为 ；
★若则和的夹角为 ；
★已知且和的夹角为，则= .
★★已知两个单位向量的夹角为，若向量，则
；
★★已知向量则当　　　　时，向量与平行.
★★已知向量满足，且，则的形状是　　　　.
★★如图(1)，在矩形中，点为的中点，点在边上，若则的值为　　　　.

(9题) (第10题)
★★★如图，已知中，是的中点，若向量且的终点在的内部(不含边界)，则的取值范围是　　　　.
三、例题选讲
★例 已知，（1）; (2) ;分别求.
已知向量，
求和

★例 设为坐标原点，为单位圆上的两点，且，则=　　　　.
已知且与的夹角为锐角,求实数的取值范围.
已知为单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影是多少？

★★例 在中,是的中点，,点在上且满足学,求的值.
如图，在中，已知点分别在边上，且为的中点，则=　　　　.

(2)

★★例已知向量，，，.
求证：四边形为矩形；
若为直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标.

科,,X,

★★★例如图，半径为的扇形的圆心角为分别为线段的中点，为上任意一点，则的取值范围是　　　　.

四、课后总结
重视数量积的定义、模、夹角等公式；
应用向量运算将问题转化为代数函数有关的问题，转化是关键；
计算向量数量积时要注意方法的选择，一种是利用坐标运算，另一种是整体运算，化归成基本向量的数量积运算。
答案：
一、 知识梳理
1. 两个向量的夹角
(1)定义：已知两个 非零 向量和,作，，则叫向量和的夹角.
(2)范围：向量夹角的范围是 , 向量和同向时,夹角= ; 向量和反向时,夹角= .
(3)向量垂直：如果向量和的夹角= ,则向量和垂直,记作 。
2. 平面向量的数量积定义：已知两个非零向量和,它们的夹角为,我们把数量
叫做向量和的数量积(或内积),记作,即= ,并规定：零向量与任一向量的数量积为0.几何意义:数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积(其中是与的夹角).
3. 向量的数量积的性质
设和都是非零向量,是与方向相同的单位向量,是与的夹角,则
(1)当和同向时,= .当和反向时, = .当为锐角时，，且和不同向，；当为钝角时，且和不反向.
(2)特别地: = = ，或=
(3)|| .
(4) (是和的夹角).
4. 平面向量数量积的坐标表示 设
(1) = (2) =
(3) =0 （4） (是和的夹角).
(5)若的起点坐标和终点坐标分别为,则= 。
二、基础训练
1．若与的夹角为,则= ;
2若则 -2 ；
3. 已知则和的夹角为 ；
4.若则和的夹角为 ；
5．已知且和的夹角为，则= 1 .
6.已知两个单位向量的夹角为，若向量，则
-6 ；
7.已知向量则当　-　　时，向量与平行.

8.已知向量满足，且，则的形状是　等边三角形　　　.
9.如图(1)，在矩形中，点为的中点，点在边上，若则的值为　　　.

(9题)
10.如图，已知中，是的中点，若向量且的终点在的内部(不含边界)，则的取值范围是　(-2，6)　　　　.

三、例题选讲
例1 （1）已知，（1）; (2) ;分别求.

（2）已知向量，
求和

例2 （1）设为坐标原点，为单位圆上的两点，且，则=　　　　.
（2）已知且与的夹角为锐角,求实数的取值范围
已知为单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影是多少？
（2）【解析】由题可得，
则有
（3）
例3 （1）在中,是的中点，,点在上且满足学,求的值。
由题可得

则有
（2）如图，在中，已知点分别在边上，且为的中点，则　　4　　.

(2)
例4.已知向量，，，.
（1）求证：四边形为矩形；
（2）若为直线上的一个动点，当取最小值时，求的坐标.
解：（1）由题可得
易得
所以四边形为矩形。
（2） 设由题可得，
时取最小值
此时，
，

科,网Z,X,X,K例5 如图，半径为的扇形的圆心角为分别为线段的中点，为上任意一点，则的取值范围是　　　　.

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