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高中数学易错知识点汇总 (1)
高中数学易错知识点汇总
高中数学易错知识点汇总
为了帮助同学们复习，减少不必要的丢分，苏州中学网特意总结了这一高中数学易错知识点。总结了高中数学常见的错误，供同学们参考。
1．在应用条件A∪B＝B，A∩B＝A时，易忽略A是空集Φ的情况。2．求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则，尤其是在与实际生活相联系的应用题中，判断两个函数是否是同一函数也要判断函数的定义域，求三角函数的周期时也应考虑定义域。
3．判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称,优先考虑定义域对称。
4．解对数不等式时，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1这一条件。
5．用判别式法求最值（或值域）时，需要就二次项系数是否为零进行讨论，易忽略其使用的条件，应验证最值。
6．用判别式判定方程解的个数（或交点的个数）时，易忽略讨论二次项的系数是否为0。尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。
7．用均值定理求最值（或值域）时，易忽略验证“一正（几个数或代数式均是正数）二定（几个数或代数式的和或者积是定值）三等（几个数或代数式相等）”这一条件。
8．用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性。9．求反函数时，易忽略求反函数的定义域。
10．求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”；单调区间不能用集合或不等式表示,而应用逗号连接多个区间。
11．用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝1的情况。12．已知Sn求an时,易忽略n＝1的情况。
13．用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时,易忽略斜率不存在的情况；题目告诉截距相等时，易忽略截距为0的情况。
14.求含系数的直线方程平行或者垂直的条件时，易忽略直线与x轴或者y轴平行的情况。
15．用到角公式时，易将直线L1、L2的斜率ｋ1、ｋ2的顺序弄颠倒；使用到角公式或者夹角公式时，分母为零不代表无解，而是两直线垂直。
16．在做应用题时,运算后的单位要弄准，不要忘了“答”及变量的取值
范围；在填写填空题中的应用题的答案时,不要忘了单位。应用题往往对答案的数值有特殊要求，如许多时候答案必须是正整数。
17．在分类讨论时,分类要做到“不重不漏、层次分明,进行总结”。18．在解答题中，如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明，如使用函数y=x+1的单调性求某一区间的最值时，应先
x证明函数y=x+1的单调性。
x19．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示；不能用不等式表示。
20．两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘；同时要注意“同号可倒”即A＞B＞0，0
线与另一个平面内的两条相交直线分别平行＂而导致证明过程跨步太大，正确的判定方法是：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。
31．函数的图象的平移、方程的平移以及点的平移公式易混：（1）函数的图象的平移为“左+右-,上+下-”；如函数y＝2x+4的图象左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为y=2（x＋2）+4－3。即y=2x+5。
（2）方程表示的图形的平移为“左+右-,上-下+”；如直线2x－y+4=0左移2个单位且下移3个单位得到的图象的解析式为2(x＋2)-(y＋3)+4=0。即y=2x+5。
（3）点的平移公式：点P(x,y)按向量=(h，k)平移到点P’(x’，y’)，则x’＝x+h，
y’＝y+k。
32．椭圆、双曲线A、B、ｃ之间的关系易记混。对于椭圆应是A2－B2＝ｃ2
，对于双曲线应是A2＋B2＝ｃ2。
33．“属于关系”与“包含关系”的符号易用混，元素与集合的关系用a∈A，集合与集合的关系用AB。
34．“点A在直线A上”与“直线A在平面α上”的符号易用混，如：A∈A，Aα.
35．椭圆和双曲线的焦点在ｘ轴上与焦点在ｙ轴上的焦半径公式易记混；椭圆和双曲线的焦半径公式易记混。它们都可以用其第二定义推导，建议不要死记硬背，用的时候再根据定义推导。
36．两个向量平行与与两条直线平行易混,两个向量平行(也称向量共线)包含两个向量重合,两条直线平行不包含两条直线重合。
37．各种角的范围：
两条异面直线所成的角0°
两个向量的夹角0°≤α≤180°锐角0°
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高中数学易错易混易忘题分类汇编
“会而不对，对而不全”一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素，成为学生挥之不去的痛，如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要的作用。本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的66个易错、易混、易忘典型题目，这些问题也是高考中的热点和重点，做到力避偏、怪、难，进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习，一方面让你明确这样的问题在高考中确实存在，另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者精心设计的陷阱，以达到授人以渔的目的，助你在高考中乘风破浪，实现自已的理想报负。
【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例1、设
Ax|x28x150，Bx|ax10，若ABB，求实数a组成的集
合的子集有多少个？
【易错点分析】此题由条件
ABB易知BA，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易
忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。解析：集合A化简得A3,5，由ABB知BA故（Ⅰ）当B时，即方程ax10无
11或。35解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当B时，即方程ax10的解为3或5，代入得a综上满足条件的a组成的集合为0,11,，故其子集共有238个。35Ｂ时，要树立起分类讨论的数学思想，
【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡ将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．
（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：
Ax,y|x2y24，
2Bx,y|x3y42r2，其中r0,若AB求r的取值范围。将集合所表达
的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。【练1】已知集合
Ax|x24x0、Bx|x22a1xa210，若BA，
1或a1。
则实数a的取值范围是。答案：a【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。
例2、已知
x22y21,求x2y2的取值范围4【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、
y满足
x22y21这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。4-1-
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解析：由于
x22y2y221得(x+2)=1-442
2
≤1，∴-3≤x≤-1从而x+y=-3x-16x-12=
222
+
283因此当x=-1时x+y有最小值1,当x=-
82822
时，x+y有最大值33。故x+y的取值范围是[1,
22
283]
【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件x22y21对4x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，2转化为三角最值求解。y2。此外本题还可通过三角换元【练2】（05（）
x2y221b0上变化，则x22y的最大值为高考重庆卷）若动点（x,y）在曲线
4bb2b2b240b440b24（D）2b（A）4（B）4（C）42bb42bb2答案：A
【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。
例3、
a2x11fx是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数fxx12【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：（1）利用
fxfx0（或f00）求得a=1.
2x11yxxfxx，设yfx,则21y1y由于y1故2，
211y1x22x111x1,1所以fxlog21x1x1fxx2121（2）由a1即
1y1yxlog2，而
【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。（2）应用
f1(b)af(a)b可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和
函数值要互换。
【练3】（201*全国理）函数A、C、
fxx11x1的反函数是（）
yx22x2x1B、yx22x2x1yx22xx1D、yx22xx1
-2-
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答案：B
【易错点4】求反函数与反函数值错位例4、已知函数称，则A、gfx12x1，函数ygx的图像与yfx1的图象关于直线yx对
1xygx的解析式为（）
x32x2x1x3B、gxC、gxD、gxx1x2x2x【易错点分析】解答本题时易由
ygx与yf1x1互为反函数，而认为yf1x1的
=
=反函数是
yfx1fx则
ygxfx112x11x132x而错选A。x解析：由
1x12x12x1x11得fx从而yfx1再求1x2x211x2x。正确答案：B1xyf1x1的反函数得gx【知识点分类点拔】函数
yf1x1与函数yfx1并不互为反函数，他只是表示f1xyfx1则f1yx1，
中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设
1y互换即得yfx1的反函数为yfx1，故yfxxf1y1再将x、1的
反函数不是
yf1x1，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。
-1-1
【练4】（201*高考福建卷）已知函数y=log2x的反函数是y=f(x)，则函数y=f(1-x)的图象是（）
答案：B
【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。
例5、判断函数
f(x)lg1x2x22的奇偶性。
-3-
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【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：
f(x)lg1x2x22fx从
而得出函数
fx为非奇非偶函数的错误结论。
21x0解析：由函数的解析式知x满足即函数的定义域为1,00,1定义域关于原点对称，
x22在定义域下
fxlg1x2x易证
fxfx即函数为奇函数。
【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。（2）函数
fx具有奇偶性，则fxfx或fxfx是对定义域内x的恒等式。常
常利用这一点求解函数中字母参数的值。【练5】判断下列函数的奇偶性：
①
fx4x2x24②fxx11sinxcosx1x③fx1sinxcosx1x
答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数
【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。
例6、函数
fxlog22x22x11111证明fx是奇函数且在x或x的反函数为fx，
22其定义域上是增函数。
【思维分析】可求只需研究原函数
f1x的表达式，再证明。若注意到f1x与fx具有相同的单调性和奇偶性，
fx的单调性和奇偶性即可。
2x12x1解析：
fxlog2log22x12x1log22x12x1fx，故fx为奇函数从而f1x为
奇函数。又令t2x1211t1在,和,上均为增函数且ylog2为增函数，
2x12x122故
11fx在,和,上分别为增函数。故f1x分别在0,和,0上分别为
22增函数。
【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的单调性。（3）定义域为非单元素的偶函数不存在反函数。（4）周期函数不存在反函数（5）原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换。即
f1(b)af(a)b。
-4-
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【练6】（1）（99全国高考题）已知
exexf(x)2，则如下结论正确的是（）
A、C、
fx是奇函数且为增函数B、fx是奇函数且为减函数fx是偶函数且为增函数D、fx是偶函数且为减函数
1则使fx1成立的x的f1x是函数fx1axaxa1的反函数，
答案：A
（2）（201*天津卷）设
2a21a21a21,)B、(,)C、(,a)D、(a,)取值范围为（）A、(2a2a2a2a11a1答案：A（时，fx单调增函数，所以fx1ffxf1xf11.）
2a【易错点7】证明或判断函数的单调性要从定义出发，注意步骤的规范性及树立定义域优先的原则。例7、试判断函数
fxaxba0,b0的单调性并给出证明。x【易错点分析】在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答。特别注意定义
x1D,x2Dfx1fx2fx1fx2中的x1,x2的任意性。以及函数的单调区间必是
函数定义域的子集，要树立定义域优先的意识。解析：由于
fxfx即函数fx为奇函数，因此只需判断函数fx在0,上的单调性x1x20，
即可。设
fx1fx2x1x2ax1x2bx1x2由于
x1x20故当
bbx1,x2,,时，此时函数在fxfxfx012aa上增函数，同理可证
函数
bbfx在0,a上为减函数。又由于函数为奇函数，故函数在a,0为减函数，在
bbb,,,为增函数。综上所述：函数在和上分别为增函数，在fxaaabb0,a和a,0上分别为减函数.【知识归类点拔】（1）函数的单调性广泛应用于比较大小、解不等式、求参数的范围、最值等问题中，应引起足够重视。
-5-
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（2）单调性的定义等价于如下形式：fx在a,b上是增函数fx1fx20，fx在x1x2a,b上是减函数点112fx1fx20，这表明增减性的几何意义：增（减）函数的图象上任意两x1x22x,fx,x,fx连线的斜率都大于（小于）零。fxaxba0,b0是一种重要的函数模型，要引起重视并注意应用。但注意本题中不x（3）能说bbbb,0上为减函数,在叙在0,fx在,aa,上为增函数，aafxax1xa0（1）用单调性的定义判断函数fx在ax述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”，【练7】（1）（潍坊市统考题）
（2）设fx在0x1的最小值为ga，求yga的解析式。0,上的单调性。
1112a1答案：（1）函数在,为增函数在0,为减函数。（2）ygaaaaa0a1（2）（201*天津）设a0且
exafxxae为R上的偶函数。（1）求a的值（2）试判断函数在
0,上的单调性并给出证明。答案：（1）a1（2）函数在0,上为增函数（证明略）
【易错点8】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。
例8、（201*全国高考卷）已知函数【易错点分析】
fxax33x2x1上是减函数，求a的取值范围。
fx0xa,b是fx在a,b内单调递减的充分不必要条件，在解题过程
fxx3在R上递减，但fx3x20。
fx3a2x6x1（1）当fx0时，fx是减函数，则
解得
中易误作是充要条件，如解析：求函数的导数
a0故fx3a2x6x10xR03a3。（2）当
a3时，
18（3）当a3时，fx3x33x2x13x易知此时函数也在R上是减函数。
39-6-
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在R上存在一个区间在其上有的取值范围是
fx0，所以当a3时，函数fx不是减函数，综上，所求
a
,3。
其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①f(x)0fx可导，
【知识归类点拔】若函数
与
f(x)为增函数的关系:f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)x3在
(,)上单调递增，但f(x)0，∴f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件。②f(x)0时，f(x)0与f(x)为增函数的关系:若将f(x)0的根作为分界点，因为规定f(x)0，即抠去了分界点，此时f(x)为增函数，就一定有f(x)0。∴当f(x)0时，f(x)0是f(x)为增函数的充分必要条件。③f(x)0与f(x)为增函数的关系:f(x)为增函数，
一定可以推出
f(x)0，但反之不一定，因为f(x)0，即为f(x)0或f(x)0。当函数在f(x)0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。∴f(x)0是f(x)为增函数的
某个区间内恒有
必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。因此本题在第一步后再对a维的严密性。
【练8】（1）（201*新课程）函数A、b3和a3进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条
件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思
yx2bxcx0,是是单调函数的充要条件是（）
0B、b0C、b0D、b0
答案：A
（2）是否存在这样的K值，使函数上递增？答案：k在
fxk2x4231xkx22x在1,2上递减，在2,321。（提示据题意结合函数的连续性知f20，但f20是函数在1,2上递减，2）2,上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由f20求出K值后要检验。
【易错点9】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内。例9、已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+
1a)+(b+
2
1b)的最小值。
2
-7-
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错解:(a+值是8
【易错点分析】上面的解答中，两次用到了基本不等式a+b≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=
二次等号成立的条件ab=解析：原式=a+b+
2222
1a)+(b+
2
1b)=a+b+
222
11+22ab+4≥2ab+
2ab+4≥4
ab11+4=8∴(a+
aab)+(b+
2
1b)的最小
2
12,第
1ab，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
2222
1111112++4=(a+b)+(+)+4=[(a+b)-2ab]+[(+)-]+4
ababa2b2a2b21ab11111=(1-2ab)(1+22)+4由ab≤()=得：1-2ab≥1-=,且22≥16，1+22≥17
2422ababab12511125∴原式≥17+4=(当且仅当a=b=时，等号成立)∴(a+)+(b+)的最小值是。
222ab22
22
【知识归类点拔】在应用重要不等式求解最值时，要注意它的三个前提条件缺一不可即“一正、二定、三
相等”，在解题中容易忽略验证取提最值时的使等号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内。【练9】（97全国卷文22理22）甲、乙两地相距skm,汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h,已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b;固定部分为a元。
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？答案为:（1）ysabv2a0vc（2）使全程运输成本最小，当vb≤c时，行驶速度v=
ab；
当
ab＞c时，行驶速度v=c。
【易错点10】在涉及指对型函数的单调性有关问题时，没有根据性质进行分类讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件。例10、是否存在实数a使函数明理由。
【易错点分析】本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法，在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致a的范围扩大。解析：函数
fxlogaax2x在
2,4上是增函数？若存在求出a的值，若不存在，说
fx是由xax2x和ylogax复合而成的，根据复合函数的单调性的判断方
fxlogaax2法（1）当a>1时，若使
x在
2,4上是增函数，则xax2x在2,4上是增函
212ax数且大于零。故有2a解得a>1。（2）当a★育英辅导班内部资料★
142函数，则xaxx在2,4上是减函数且大于零。2a不等式组无解。综上
416a40所述存在实数a>1使得函数
fxlogaax2x在
2,4上是增函数
【知识归类点拔】要熟练掌握常用初等函数的单调性如：一次函数的单调性取决于一次项系数的符号，二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴的位置，指数函数、对数函数的单调性决定于其底数的范围（大于1还是小于1），特别在解决涉及指、对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思想（对数型函数还要注意定义域的限制）。【练10】（1）（黄岗三月分统考变式题）设a间。答案：当00，且a1试求函数yloga43xx2的的单调区
333a1，函数在1,上单调递减在,4上单调递增当a1函数在1,上单调
222递增在
3
,4上单调递减。2
1fxlogax3axa0,a1在区间(,0)内单调递增，则a的
21399取值范围是（）A、[,1)B、[,1)C、(,)D、(1,)
4444（2）（201*高考天津）若函数答案：B.（记g2则g"x3xa当a1时，要使得fx是增函数，则需有g"x0xx3ax，
231恒成立，所以a3.矛盾.排除C、D当0a1时，要使fx是函数，则需有g"x0恒
4231成立，所以a3.排除A）
422【易错点11】用换元法解题时，易忽略换元前后的等价性．
12求sinycosx的最大值31【易错点分析】此题学生都能通过条件sinxsiny将问题转化为关于sinx的函数，进而利用换
3元的思想令tsinx将问题变为关于t的二次函数最值求解。但极易忽略换元前后变量的等价性而造成
例11、已知sinxsiny错解，
解析：由已知条件有siny2sinx13，而
11sinx且sinysinx1,1（结合sinx1,1）得33122令siyncxo=ssinxcos2x=sin2xsinx33-9-
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2222tsinxt1则原式=t2tt1根据二次函数配方得：当t3333sinx24时，原式取得最大值
93。
即
【知识点归类点拔】“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
【练11】（1）（高考变式题）设a>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinxcosx－2a的最大值和最小值。
2答案：f(x)的最小值为－2a－2
212(0a)1222a－，最大值为21222a22a(a)22（2）不等式x>ax＋答案：a3的解集是(4,b)，则a＝________，b＝_______。21,b36（提示令换元xt原不等式变为关于t的一元二次不等式的解集为2,b8）
【易错点12】已知Sn求an时,易忽略n＝１的情况．例12、（201*高考北京卷）数列
（1）求a2,a3,a4的值及数列an前n项和sn且a11,an13sn。
1an的通项公式。
【易错点分析】此题在应用sn与an的关系时误认为an的情况的验证。易得出数列
snsn1对于任意n值都成立，忽略了对n=1
an为等比数列的错误结论。
解析：易求得
111416a2,a3,a4。由a11,an1sn得ansn1n2故
33392741111an1ansnsn1ann2得an1ann2又a11，a2故该数列从第
333331n1二项开始为等比数列故an14n2。
n233-10-
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【知识点归类点拔】对于数列an与sn之间有如下关系：ans1n1利用两者之间的关系snsn1n2可以已知sn求an。但注意只有在当a1适合an的形式。
【练12】（201*全国理）已知数列则数列
snsn1n2时两者才可以合并否则要写分段函数
an满足a11,ana12a23a3n1an1n2an的通项为。
1n1答案：（将条件右端视为数列nan的前n-1项和利用公式法解答即可）ann!
n22【易错点13】利用函数知识求解数列的最大项及前n项和最大值时易忽略其定义域限制是正整数集或其子集（从1开始）例13、等差数列
an的首项a10，前n项和sn，当lm时，smsl。问n为何值时sn最大?
【易错点分析】等差数列的前n项和是关于n的二次函数，可将问题转化为求解关于n的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。解析：由题意知sn=
fnna1nn12dd2dna1n此函数是以22n为变量的二次函
数，因为a10，当lm时，smsl故d0即此二次函数开口向下，故由flfm得当
时
x当llm2fx取得最大值，但由于nN，故若lm为偶数，当nlm1时sn最大。2lm2时，sn最大。
m为奇数时，当n【知识点归类点拔】数列的通项公式及前n项和公式都可视为定义域为正整数集或其子集（从1开始）上的函数，因此在解题过程中要树立函数思想及观点应用函数知识解决问题。特别的等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数且没有常数项，反之满足形如snan2bn所对应的数列也必然是等差数列的前n项和。此时由snsanb知数列中的点n,n是同一直线上，这也是一个很重要的结论。此外形如nn前n项和sncanc所对应的数列必为一等比数列的前n项和。【练13】（201*全国高考题）设结论错误的是（）A、dan是等差数列，sn是前n项和，且s5s6，s6s7s8，则下列
0B、a70C、s9s5D、s6和s7均为sn的最大值。
答案：C（提示利用二次函数的知识得等差数列前n项和关于n的二次函数的对称轴再结合单调性解答）【易错点14】解答数列问题时没有结合等差、等比数列的性质解答使解题思维受阻或解答过程繁琐。
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例14、已知关于的方程x23xa0和x23xb0的四个根组成首项为
34的等差数列，求
ab的值。
【思维分析】注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件，结合等差数列的性质明确等差数列中的项是如何排列的。解析：不妨设
34是方程x23xa0的根，由于两方程的两根之和相等故由等差数列的性质知方程
2x23xa0的另一根是此等差数列的第四项，而方程x3xb0的两根是等差数列的中间两
项，根据等差数列知识易知此等差数列为：
2735313579,b,,故a从而ab=。1616844,44【知识点归类点拔】等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面，有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果。例如对于等差数列an，若nmpq，则anamapaq；对于等比数列an，若nmuv，则anamauav；若数列an是等比数列，Sn是其前nan是等差数列，Sn是其前n*项的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列；若数列项的和，kN，那么Sk，S2k*Sk，S3kS2k成等差数列等性质要熟练和灵活应用。2【练14】（201*全国理天津理）已知方程x为
2xm0和x22xn0的四个根组成一个首项
34C、
14的等差数列，则
mn=（）A、1B、
12D、
38答案：C
【易错点15】用等比数列求和公式求和时，易忽略公比ｑ＝１的情况例15、数列{an}中，a1（I）求使anan11，a22，数列{anan1}是公比为q（q0）的等比数列。
（II）求数列{an}的前2n项的和S2n．an1an2an2an3成立的q的取值范围；
【易错点分析】对于等比数列的前n项和易忽略公比q=1的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列{anan1}是公比为q（q0）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数
列而找不到解题突破口。使思维受阻。解：（I）∵数列{an由anan1an1}是公比为q的等比数列，∴an1an2anan1q，an2an3anan1q2，
an1an2an2an3得anan1anan1qanan1q21qq2，即
152．
，解得0qq2q10（q0）
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（II）由数列{anan1}是公比为q的等比数列，得
an1an2aqn2q，这表明数列{an}的
anan1an1，a22，∴当q1时，
所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q，又a1S2na1a2a3a4a2n1a2n
(a1a2a3an)(a2a4a6a2n)a1(1qn)a2(1qn)3(1qn)，当q1时，1q1q1qS2na1a2a3a4a2n1a2n(a1a2a3an)(a2a4a6a2n)(1111)(2222)3n．
【知识点归类点拔】本题中拆成的两个数列都是等比数列，其中an2q是解题的关键，这种给出数列an的形式值得关注。另外，不要以为奇数项、偶数项都成等比数列，且公比相等，就是整个数列成等比数列，解题时要慎重，写出数列的前几项进行观察就得出正确结论.对等比数列的求和一定要注意其公比为1这种特殊情况。高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的错误。【练15】（201*高考全国卷一第一问）设等比数列围。答案：
an的公比为q，前n项和sn0（1）求q的取值范
1,00,
【易错点16】在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前n项和不会采用错项相减法或解答结果不到位。
例16、．（201*北京理）已知数列（1）求数列
an是等差数列，且a12,a1a2a312
an的通项公式（2）令bnanxnxR求数列bn前项和的公式。
an的通项公式再由数列bn的通项公式分析可知数列bn是一
【思维分析】本题根据条件确定数列
个等差数列和一个等比数列构成的“差比数列”，可用错项相减的方法求和。解析：（1）易求得an（2）由（1）得bn2n
2nxn令sn2x4x26x32nxn（Ⅰ）则
（注意错过一位再相减）得xsn2x24x32n1xn2nxn1（Ⅱ）用（Ⅰ）减去（Ⅱ）
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x1xn2n123nn1nx当1xsn2x2x2x2x2nx当x1sn1x1xx1时sn2462nnn1
综上可得：
n2x1xn1当x1snnx当x1时sn2462nnn11x1x【知识点归类点拔】一般情况下对于数列
cn有cnanbn其中数列an和bn分别为等差数列和等
比数列，则其前n项和可通过在原数列的每一项的基础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解，实际上课本上等比数列的求和公式就是这种情况的特例。【练16】（201*全国卷一理）已知
求数列an的unanan1ban2b2abn1bnnN,a0,b0当ab时，前n项和sn
答案：a1时snn1an2n2an1a22a当a1时sn21ann32.
【易错点17】不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法，在应用裂项求和方法时对裂项后抵消项的规律不清，导致多项或少项。例17、求Sn1111．112123123n【易错点分析】本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。解：由等差数列的前n项和公式得123nn(n1)2，∴
1111211，就分别得到,，，,2()，n取1，2，3，
112123123nn(n1)nn1∴Sn2(11)2(11)2(11)2(11)
22334nn12(112n)．n1n1【知识归类点拔】“裂项法”有两个特点，一是每个分式的分子相同；二是每项的分母都是两个数（也可三个或更多）相乘，且这两个数的第一个数是前一项的第二个数，如果不具备这些特点，就要进行转化。同是要明确消项的规律一般情况下剩余项是前后对称的。常见的变形题除本题外，还有其它形式，例如：求1111，方法还是抓通项，即122224326n22n11111()，问题会很容易解决。另外还有一些类似“裂项法”的题目，2n2nn(n2)2nn2-14-
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如：an1nn1，求其前n项和，可通过分母有理化的方法解决。数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。221421621(2n)21【练17】（201*济南统考）求和Sn2＋＋＋＋．
21421621(2n)21答案：Sn112n1111111111＝n．
2n12n12n1133557【易错点18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。例18、（201*年高考数学江苏卷，20）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn.3
(Ⅰ)若首项a1，公差d1，求满足S2(Sk)2的正整数k；
2k(Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有Sk2(Sk)2成立.
【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)
时极易根据条件“对于一切正整数k都有Sk2(Sk)2成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数
列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。
解：（I）当a1由S3,d1时Snna1n(n1)d3nn(n1)1n2n2222214131kk2(k2k)2，即k(k1)0又k0,所以k4.
422n2k2(Sk)2,得
（II）设数列{an}的公差为d，则在S(Sn)2中分别取k=1,2,得
S1(S1),2S4(S2)由（1）得若a1若a12a1a12,（1）即43212
d(2a1d)（2）4a122d0或d6,
,
a10或a11.当a10时,代入(2)得0,d0,则an0,Sn0,从而Sk(Sk)2成立
20,d6,则an6(n1),由S318,(S3)2324,Sn216知s9(S3),故所得
数列不符合题意.当a11时,代入(2)得
若a146d(2d)2,解得d0或d2
1,d0,则an1,Snn,从而Sk2(Sk)2成立;
若a11,d2,则an2n1,Sn13(2n1)n2,从而S(Sn)2成立.综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{an}:an=0，即0，0，0，；②{an}:an=1，即1，1，1，；③{an}:an=2n－1，即1，3，5，，
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【知识点归类点拔】事实上，“条件中使得对于一切正整数k都有Sk2(Sk)2成立.”就等价于关于k的方
程的解是一切正整数又转