高中数学必修1《集合》知识点汇总.pdf

.eord 完美格式第第 1 1 讲讲 集合集合1.11.1 集合的含义与表示集合的含义与表示1、集合：把一些研究对象组成的总体称为集合，记为A、B、C集合里的研究对象，叫作元素，记为a、b、c2、元素的 3 个特性：(1)确定性：对于任意一个元素,要么它属于某个指定集合,要么它不属于该集合,二者必居其一；(2)互异性：同一个集合中的元素是互不相同的；(3)无序性：任意改变集合中元素的排列次序,它们仍然表示同一个集合。3、集合与元素的关系（属于，不属于）符号：aA,a A二者必居其一4、集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合只含有一个元素称为单元素集.无限集：含有无限个元素的集合空集：不含任何元素的集合.记作 注意：（1）a与(a,b)都是单元素集 （2）0,之区别 （3）“”符号具有全体之意 （4）常用集合的专用字母：R:实数集Q:有理数集Z:整数集N:自然数集N*或 N+：正整数集 5、集合的表示方法.eord 完美格式（1）列举法 ,.a b c d形如（2）描述法 ,x p xp x形如其中是代表元素，是属性.（3）Venn（文氏图）：用一条封闭曲线围成的图形表示集合的方法。（4）区间法【例例 1】1】【例 2】.eord 完美格式【易错易错】.eord 完美格式一、选择题1下列关系中，表述正确的是()A0 x20 B0(0,0)C0N*D0N2下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是()AM，N3.14159BM2,3，N(2,3)CMx|1x1，xN，N1DM1，N，1，|333集合A一条边长为 2，一个角为 30的等腰三角形，其中的元素个数为()A2 B3C4 D无数个4对集合1,5,9,13,17用描述法来表示，其中正确的一个是()Ax|x是小于 18 的正奇数Bx|x4k1，kZ，且k0，且 1A，则实数a的取值范围是_12已知集合A1,2,3，B1,2，C(x，y)|xA，yB，用列举法表示集合C_.13用列举法写出集合_.33x Z|x Z14式子的所有可能取值组成的集合为_a|a|b|b|a2|a2|b|b|三、解答题15用列举法表示集合(1)平方等于 16 的实数全体；(2)比 2 大 3 的实数全体；(3)方程x24 的解集；.eord 完美格式(4)大于 0 小于 5 的整数的全体16用描述法表示下列集合：(1)1,3,5,7,9；(2)3,9,27,81，；(3)；12，34，56，78，(4)被 5 除余 2 的所有整数的全体构成的集合17已知集合Ax|ax23x40，xR：(1)若A中有两个元素，求实数a的取值范围；(2)若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围分析集合A是方程ax23x40 的解集A中有两个元素，即方程有两个相异实根，必有a0；A中至多有一个元素，则a0 时，应有 0；a0 时，恰有一个元素18集合M的元素为自然数，且满足：如果xM，则 8xM，试回答下列问题：(1)写出只有一个元素的集合M；(2)写出元素个数为 2 的所有集合M；(3)满足题设条件的集合M共有多少个？分析抓住“xM时，8xM”这一条件，对元素进行逐一验证，然后找出满足题意的基本元素，最后写出满足各题意的解1答案D解析选项 A 的集合中元素是一个方程，B 的集合中元素是点，而 0 是自然数，因此选 D.2答案D解析选项 A 中两个集合的元素互不相等，选项 B 中两个集合一个是数集，一个是点集，选项 C 中集合M0,1，只有 D 是正确的3答案C解析两腰为 2，底角为 30；或两腰为 2，顶角为 30；或底边为 2，底角为 30；或底边为 2，顶角为 30.共 4 个元素，因此选 C.4答案D解析对选项 A，由于 7 为正奇数，显然不对对于选项 B，由于kZ，应含有无数个元素，故不对，对于选项 C，当t0 时x3，不正确，故选 D.5答案B解析选项 A、C、D 都等于集合2，故选 B.6答案D解析解方程组Error!Error!得Error!Error!用描述法表示为(x，y)|x3 且y7，用列举法表示为(3，7)，故选 D.7答案D解析12 能被x3 整除y1，2，3，4，6，12，相应的x的值有十二个：9，15,3，9,1，7,0，6，1，5，2，4.故选 D.8答案A解析由上表，知d(ac)dca，故选 A.9答案C解析当m，n都是正偶数时，(a，b)可以是(2,14)，(4,12)，(6,10)，(8,8)，(10,6)，(12,4)，(14,2)，共 7 个当m，n都是正奇数时，(a，b)可以是(1,15)，(3,13)，(5,11)，(7,9)，(9,7)，(11,5)，(13,3)，(15,1)，共 8 个.eord 完美格式当m，n中一个为正奇数，一个为正偶数时，(a，b)可以是(1,16)，(16,1)，共 2 个所以满足题意的元素个数为 17.10答案C解析方程组Error!Error!的解是Error!Error!11答案a2解析1A，21a0，a2.12答案(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,2)13答案3，1,1,3解析Z，xZ，33x3x为 3 的因数3x1，或 3x3.3，或1.33x33x3，1,1,3 满足题意14答案0,2解析当a0 时，原式11112，当a且a0.916(2)当a0 时，A；当a0 时，关于x的方程ax23x40 应有两个相等的实数根或43无实数根，916a0，即a.故所求的a的取值范围是a或a0.91691618解析(1)M中只有一个元素，根据已知必须满足x8x，x4.故含有一个元素的集合M4(2)当M中只含两个元素时，其元素只能是x和 8x，从而含两个元素的集合M应为0,8，1,7，2,6，3,5(3)满足条件的M是由集合4，0,8，1,7，2,6，3,5中的元素组成，它包括以下情况：由以上 1 个集合组成的有4，0,8，1,7，2,6，3,5共 5 种由 2 个集合组成的有4,0,8，4,1,7，4,2,6，4,3,5，0,8,1,7，0,8,2,6，0,8,3,5，1,7,2,6，1,7,3,5，2,6,3,5共 10 种由 3 个集合组成的有4,0,8,1,7，4,0,8,2,6，4,0,8,3,5，4,1,7,2,6，4,1,7,3,5，4,2,6,3,5，0,8,1,7,2,6，0,8,1,7,3,5，1,7,2,6,3,5，0,8,2,6,3,5共 10 种由 4 个集合组成的有4,0,8,1,7,2,6，4,0,8,1,7,3,5，4,0,8,2,6,3,5，4,1,7,2,6,3,5，0,8,1,7,2,6,3,5共 5 种.eord 完美格式由 5 个集合组成的有4,0,8,1,7,2,6,3,5,1 种综上可知，满足题设条件的集合M共有 31 种【点评】解决本题可从集合中元素的互异性及两元素之和为 8 的特点出发，在第(3)问中，从M中元素的特点入手，满足条件的集合可含4，0,8，1,7，2,6，3,5中的 1 个，2 个，3个，4 个，5 个，分别“数”之，最后求和1.21.2 集合间的基本关系集合间的基本关系1、子集：x A有x B A B（A 称为 B 的子集）注意：A BxA但xBWenn 图：显然：（1）A A （2）A （3）若 A B,B C 则 A C2、集相等：AB且BA A=BWenn 图：3、真子集：或.eord 完美格式A B(A 称为 B 的子集)ABAB且Wenn 图：456AAAAABCAC显然：若非空，则的子集中除外，都是的真子集 【例例 3】3】【例例 4】4】.eord 完美格式【易错易错】一、选择题1对于集合A，B，“AB”不成立的含义是()AB是A的子集BA中的元素都不是B的元素CA中至少有一个元素不属于BDB中至少有一个元素不属于A2若集合Ax|xa|1，Bx|3x10，若BA，则a的值为().eord 完美格式A B2343C D 或4343233已知集合Mx|x，xZ，则下列集合是集合M的子集的为()53AP3,0,1BQ1,0,1,2CRy|y1，yZDSx|x|，xN34设集合Ax|x21，Bx|x是不大于 3 的自然数，AC，BC，则集合C中元素最少有()A2 个 B4 个C5 个 D6 个5若集合A1,3，x，Bx2,1且BA，则满足条件的实数x的个数是()A1 B2C3 D46已知集合Mx|y22x，yR和集合P(x，y)|y22x，yR，则两个集合间的关系是()AMP BPMCMP DM、P互不包含7设集合Mx|x ，kZ，Nx|x ，kZ，则()k214k412AMN BMNCMN DM与N的关系不确定8已知全集UR，则正确表示集合M1,0,1和Nx|x2x0关系的韦恩(Venn)图是()9如果集合A满足0,2A1,0,1,2，则这样的集合A个数为()A5 B4C3 D210已知集合A0,1,2，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A6 B5C4 D3二、填空题11设A正方形，B平行四边形，C四边形，D矩形，E多边形，则.eord 完美格式A、B、C、D、E之间的关系是_12用适当的符号填空(，)a_b，a；a_(a，b)；a，b，c_a，b；2,4_2,3,4；_a13已知A1,2,3，B1,2，定义集合A、B之间的运算“*”：A*Bx|xx1x2，x1A，x2B，则集合A*B中最大的元素是_，集合A*B所有子集的个数是_14已知集合A，x|xa16，a ZBx|x ，bZ，b213Cx|x ，cZc216则集合A，B，C满足的关系是_(用，中的符号连接A，B，C)三、解答题15判断下列表示是否正确：(1)aa；(2)aa，b；(3)1,1；(4)0,1(0,1)；(5)x|x3n，nZx|x6n，nZ16已知Ax|x2，Bx|4xa0，当BA时，求实数a的取值范围17设集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1(1)若BA，求实数m的取值范围；(2)当xZ 时，求A的非空真子集个数；(3)当xR 时，不存在元素x使xA与xB同时成立，求实数m的取值范围详解答案1答案C解析“AB”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，故选 C.2答案D解析Aa1，a1，B，13BA，a1 或a1，1313a 或.43233答案D解析先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系集合M2，1,0,1，集合R3，2，集合S0,1，不难发现集合P中的元素3M，集合Q中的元素 2M，集合R中的元素3M，而集合S0,1，1中的任意一个元素都在集合M中，所以SM，且SM.故选 D.4答案C解析A1,1，B0,1,2,3，.eord 完美格式AC，BC，集合C中必含有A与B的所有元素1,0,1,2,3，故C中至少有 5 个元素5答案C解析BA，x2A，又x21x23 或x2x，x或x0.故选 C.36答案D解析由于两集合代表元素不同，因此M与P互不包含，故选 D.7答案B解析解法 1：用列举法，令k2，1,0,1,2可得M，3414143454N0，1，141234MN，故选 B.解法 2：集合M的元素为：x (kZ)，集合N的元素为：x (kZ)，k2142k14k412k24而 2k1 为奇数，k2 为整数，MN，故选 B.点评本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解注意若k是任意整数，则km(m是一个整数)也是任意整数，而 2k1,2k1 均为任意奇数，2k为任意偶数8答案B解析由Nx|x2x01,0得，NM，选 B.9答案C解析集合A里必含有元素 0 和 2，且至少含有1 和 1 中的一个元素，故A0,2,1，0,2，1或0,2,1，110答案A解析集合0,1,2的子集为：，0，1，2，0,1，0,2，1,2，0,1,2，其中含有偶数的集合有 6 个故选 A.11答案ADBCE解析由各种图形的定义可得12答案，13答案5,16解析由已知A*B2,3,4,5，A*B中最大元素是 5.A*B中共有 4 个元素，其子集共有 2416.14答案ABC解析方法 1：列举法：A，561676B，5613162376C，5613162376ABC方法 2：统一形式：Ax|x，aZ6a16Bx|x，bZ3b263b116.eord 完美格式Cx|x，cZ3c16方法 3：由 得bc1，b213c216对任意cZ 有bc1Z.对任意bZ，有cb1Z，BC，又当c2a时，有 a，aZ.c21616AC.也可以用列举法观察它们之间的关系15解析(1)错误a是集合a的元素，应表示为aa(2)错误集合a与a，b之间的关系应用“()”表示(3)正确空集是任何一个非空集合的真子集(4)错误0,1是一个数集，含有两个元素 0,1，(0,1)是一个以有序实数对(0,1)为元素的集合，所以0,1(0,1)(5)错误集合x|x3n，nZ中的元素表示所有能被 3 整除的数，或者说是 3 的倍数，而x|x6n，nZ中的元素表示所有能被 6 整除的数，即是 6 的倍数，因此应有x|x6n，nZx|x3n，nZ16解析Ax|x2，Bx|4xa0 x|x2m1，即m2m1，得m4.综上，所求m的取值范围是m|m41.31.3 集合的基本运算集合的基本运算一、交集：一、交集：1ABx xAxBI、定义：且图示：.eord 完美格式 123xABxAxBxABxAxBABABIII说明：且或实质上是、的公共部分2、性质 =AA AABAAAU AAB AAB IIIII，二、并集：二、并集：1ABx xAxBU、定义：或图示：123xABxAxBxABxAxBABABUUI说明：或且实质上是、凑在一起2、性质 三、补集：三、补集：=AA AABAAAAU UAB BABUUUUU，全集：由（所研究的）所有元素构成的集合。通常用 U 表示。,UAx xUxA补集：C且图示：;,UUUUUUxAxAxAxAAAUU 显然：CCCCCC.eord 完美格式当心：考虑补集时，一定要注意全集；但全集因题而异。,UUUUUUAAUUAAUAAUI性质：CCCCCC拓展：拓展：摩根公式：，UUUCABC AC BUUUCABC AC B【例例 5】5】【例例 6】6】.eord 完美格式【例例 7】7】.eord 完美格式A A 卷卷一、选择题1设集合U1,2,3,4,5，A1,3，B5,3,4，则U(AB)()A1 B4,5C2,4 D1,2,4,52设UR，Ax|x0，Bx|x1，则AUB()Ax|0 x1 Bx|0 x1Cx|x13如图，阴影部分用集合A、B、U表示为()A(UA)B B(UA)(UB).eord 完美格式CA(UB)DA(UB)4设全集U，M、N是U的非空子集，且UMN，则有()AMUN BMUNCUMUN DMN5已知集合U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5,7，B3,4,5，则(UA)(UB)等于()A1,6 B4,5C2,3,4,5,7 D1,2,3,6,76设全集为 R，Ax|5x5，Bx|0 x7，那么(RA)(RB)等于()Ax|0 x5 Bx|x5 或x5Cx|x5 或x7 Dx|x0 或x57已知全集UR，集合Ax|2x3，Bx|x4，那么集合A(UB)等于()Ax|2x4 Bx|x3 或x4Cx|2x1 Dx|1x38已知A，B均为集合U1,3,5,7,9的子集，且AB3，(UB)A9，则A()A1,3B3,7,9C3,5,9 D3,99设全集U1,2,3,4,5，集合S与T都是U的子集，满足ST2，(US)T4，(US)(UT)1,5则有()A3S,3T B3S,3UTC3US,3T D3US,3UT10.设全集U是实数集 R，Mx|x2，Nx|1x3如图所示，则阴影部分所表示的集合为()Ax|2x3 Dx|2x2.eord 完美格式二、填空题11设全集UR，集合Xx|x0，Yy|y1，则UX与UY的包含关系是UX_UY.12设UR，则Ax|axb，UAx|x4，则a_，b_.13已知U|0180，Ax|x是锐角，Bx|x是钝角，则U(AB)_，UAUB_，U(AB)_.14如果Ux|x是自然数，Ax|x是正奇数，Bx|x是 5 的倍数，则BUA_.15用A、B、U表示图中阴影部分_三、解答题16设全集S表示某班全体学生的集合，若A男生，B团员，C近视眼的学生，说明下列集合的含义(1)ABC；(2)CS(AB)17已知全集U2,3，a22a3，A2，|a7|，UA5，求a的值18已知全集Ux|x4，集合Ax|2x3，Bx|3x2，求AB，(UA)B，A(UB)分析利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出UA及UB，然后求解19已知全集UR，集合Ax|x1，Bx|2ax1，UBx|x1，AUBx|x0 x|x1x|0 x1故选 B.3答案C解析阴影部分在A中，不在B中，故既在A中也在UB中，因此是A与UB的公共部分4答案A解析如下图，否定 C、D.当UMN时，MUN否定 B，故选 A.5答案A解析UA1,3,6，UB1,2,6,7，(UA)(UB)1,6，故选 A.6答案D解析RAx|x5 或x5，RBx|x0 或x7，(RA)(RB)x|x0 或x5，故选 D.7答案D解析UBx|1x4，AUBx|1x3，故选 D.8答案D解析由题意知，A 中有 3 和 9，若 A 中有 7 或 5，则UB中无 7 和 5，即B中有 7 或 5，则与AB3矛盾，故选 D.9答案B解析若 3S,3T，则 3ST，排除 A；若 3US，3T，则 3(US)T，排除 C；若 3US,3UT，则 3(US)(UT)，排除 D，.eord 完美格式选 B，也可画图表示10答案A解析由图可知所求阴影部分为集合U(MN)，又MNx|x2 或x1，U(MN)x|2x1，故选 A.11答案12答案3413答案U，U，x|x是直角14答案xN|x是 10 的倍数解析UAx|x是非负偶数0,2,4,6,8,10，B0,5,10,15，BUA0,10,20，15答案(AB)U(AB)或(UAB)(AUB)解析解法 1：阴影部分在A中或B中，故在AB中；阴影部分不在AB中，故阴影部分表示为(AB)U(AB)解法 2：阴影部分是A中阴影部分与B中阴影部分的并集，B中阴影部分在B中，不在A中，故在BUA中，A中阴影部分在A中，不在B中，故在AUB中，故阴影部分可表示为(BUA)(AUB)16解析(1)ABC是团员又是近视眼的男生(2)AB男生或是团员的女生S(AB)不是团员的女生CS(AB)不是团员但是近视眼的女生17解析解法 1：由|a7|3，得a4 或a10当a4 时，a22a35，当a10 时，a22a377U，a4.解法 2：由AUAU知Error!Error!，a4.18解析如图所示，Ax|2x3，Bx|3x2，UAx|x2 或 3x4，UBx|x3 或 2x4.eord 完美格式ABx|2x2，(UA)Bx|x2 或 3x4，A(UB)x|2x3点评(1)数轴与 Venn 图有同样的直观功效，在数轴上可以直观地表示数集，所以进行数集的交、并、补运算时，经常借助数轴求解(2)不等式中的等号在补集中能否取到要引起重视，还要注意补集是全集的子集19解析由题意得RAx|x1(1)若B，则a32a，即a3，满足BRA.(2)若B，则由BRA，得 2a1 且 2aa3，即 a3.12综上可得a.12B B 卷卷一、选择题1设A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有()AAC BCACAC DA2设全集U1,2,3,4,5，集合M1,4，N1,3,5，则N(UM)()A1,3 B1,5C3,5 D4,53已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，M1,3,5,7，N5,6,7，则U(MN)()A5,7 B2,4C2,4,8 D1,3,5,6,74设全集UR，集合Mx|2x3，Nx|1x4，则NUM()Ax|4x2 Bx|1x3Cx|3x4 Dx|3x45集合Mx|x2.eord 完美格式Ca|a2 Da|2a26设P3,4，Q5,6,7，集合S(a，b)|aP，bQ，则S中元素的个数为()A3 B4C5 D67已知全集U1,2,3,4,5，集合Ax|x23x20，Bx|x2a，aA，则集合U(AB)中元素的个数为()A1 B2C3 D48.设I为全集，M、N、P都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是()AM(IN)PBM(NP)C(IM)(IN)PDMN(NP)二、填空题9U1,2，Ax|x2pxq0，UA1，则pq_.10已知集合A(x，y)|y2x1，B(x，y)|yx3，若mA，mB，则m为_11已知Ax|x2x20，Bx|x24xp0，若BA，则实数p的取值范围是_12定义集合运算：ABx|xnm(nm)，nA，mB设集合A0,1，B2,3，则集合AB的所有元素之和为_三、解答题13已知全集UR，Ax|2x5，Bx|3x7，求：(1)(RA)(RB)(2)R(AB)(3)(RA)(RB)(4)R(AB).eord 完美格式分析在进行集合运算时，充分利用数轴工具是十分有效的手段，此例题可先在数轴上画出集合A、B，然后求出AB，AB，RA，RB，最后可逐一写出各小题的结果14已知集合Aa2，a1，3，Ba3，a21,2a1，若AB3，求实数a的值15设全集UR，集合AxR|1x5，或x6，BxR|2x5；求UA、UB及A(UB)16已知集合Ux|x取不大于 30 的质数，A、B是U的两个子集，且满足：A(UB)5,13,23，(UA)B11,19,29，(UA)(UB)3,7，求集合A与B.分析U2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，利用 Venn 图，如图所示，在图中标出各元素的相应位置，可以直接写出A和B来17设全集UR，集合Ax|5x4，集合Bx|x1，Cx|xm4，Bx|6x6，求A(AB)和B(BA)详解答案1答案A解析ABBCB，又BAB，ABB，AB，又BABBC，且BCB，BCB，BC，AC.2答案C.eord 完美格式解析UM2,3,5，N(UM)3,5，选 C.3答案C解析MN1,3,5,6,7，U1,2,3,4,5,6,7,8，U(MN)2,4,84答案C解析UMx|x2 或x3，NUMx|3x45答案C解析RMx|2x4解析A1,2，若BA，则 2(1)4 矛盾；若B是单元素集，则164p0p4B2A.B，p4.12答案18解析由题意，n可取值为 0、1，m可取值为 2、3.当n0 时，x0；当n1，m2 时，x6；当n1，m3 时，x12.综上所述，AB0,6,12故所有元素之和为 18.13解析如图所示，可得.eord 完美格式ABx|3x5，ABx|2x7RAx|x2 或x5，RBx|x2 或x7由此求得(1)(RA)(RB)x|x2 或x7(2)R(AB)x|x2 或x7(3)(RA)(RB)x|x2 或x5x3 或x7x|x3 或x5(4)R(AB)x|x3 或x5评注求解集合的运算，利用数轴是有效的方法，也是数形结合思想的体现14解析AB3，3B，当a33，即a0 时，AB3,1，与题设条件AB3矛盾，舍去；当 2a13，即a1 时，A1,0，3，B4,2，3，满足AB3，综上可知a1.15解析UAx|x1，或 5x6，或x6，UBx|x2，或x5，A(UB)x|1x2，或x5，或x616解析A2,5,13,17,23，B2,11,17,19,2917解析Ax|5x4，Bx|x1，ABx|1x4又UAx|x5 或x4，UBx|6x1，(UA)(UB)x|6x5而Cx|x5，m4.18解析(1)如A1,2,3，B2,3,4，则AB1.eord 完美格式(2)不一定相等，由(1)BA4，而AB1，故ABBA.又如，AB1,2,3时，AB，BA，此时ABBA，故AB与BA不一定相等(3)因为ABx|x6，BAx|6x4，A(AB)x|4x6，B(BA)x|4x6欢迎您的光临，Word 文档下载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语；1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！2、现在你不玩命的学，以后命玩你。3、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。4、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。5、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。6、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛几倍的人依然比你努力。