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高考数学基础知识复习：函数性质
一、 知识清单：
1、函数的单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的一部分. 对于具体的函数来说可能有单调区间，也可能没有单调区间，如果函数在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，2）上为减函数，就不能说函数在上为减函数.
2、单调性：研究函数的单调性应结合函数单调区间，单调区间应是定义域的子集。
判断函数单调性的方法：
① 定义法（作差比较和作商比较）；
② 图象法；
③ 单调性的运算性质（实质上是不等式性质）；
④ 复合函数单调性判断法则;
⑤ 导数法（适用于多项式函数）
注：函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。
3.偶函数
⑴偶函数：.设（）为偶函数上一点，则（）也是图象上一点.
⑵偶函数的判定：两个条件同时满足
① 定义域一定要关于轴对称，例如：在上不是偶函数.
② 满足，或，若时，.
4. 奇函数
⑴奇函数：.设（）为奇函数上一点，则（）也是图象上一点.
⑵奇函数的判定：两个条件同时满足①定义域一定要关于原点对称，例如：在上不是奇函数.②满足，或，若时，.
注:函数定义域关于原点对称是判断函数奇偶性的必要条件，在利用定义判断时，应在化简解析式后进行，同时灵活运用定义域的变形，如，（f(x)≠0）
5．反函数
⑴定义：只有满足，函数才有反函数. 例如：无反函数.函数的反函数记为，习惯上记为.
⑵.求反函数的步骤:
①将看成关于的方程,解出，若有两解，要注意解的选择；
②将互换，得；
③写出反函数的定义域（即的值域）。
⑶.在同一坐标系，函数与它的反函数的图象关于对称.
[注]：一般地，的反函数. 是先的反函数，在左移三个单位.
是先左移三个单位，在的反函数.
6函数性质之间的关系
.⑴单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的.因此，所有偶函数不存在反函数.
⑵如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数.
⑶设函数y = f（x）定义域，值域分别为X、Y. 如果y = f（x）在X上是增（减）函数，那么反函数在Y上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同.
⑷一般地，如果函数有反函数，且，那么. 这就是说点（）在函数图象上，那么点（）在函数的图象上.
注：
1.函数f(x)的反函数f-1(x)的性质与f(x)性质紧密相连，如定义域、值域互换，具有相同的单调性等，把反函数f-1(x)的问题化归为函数f(x)的问题是处理反函数问题的重要思想。
2.设函数f(x)定义域为A，值域为C，则① f-1[f(x)]=x,(xÎA)②f[f-1(x)]=x,(xÎC)
课前练习
1.讨论函数的单调性。
2．函数在定义域上的单调性为( )
（A）在上是增函数，在上是增函数;（B）减函数;
（C）在上是减函数，在上是减函数;（D）增函数
3．已知函数f (x), g (x)在 R上是增函数，求证：f [g (x)]在 R上也是增函数。
4．判断下列函数的奇偶性：
①,②,③
5．求函数 （-1≤ x < 0）的反函数
6．已知，函数y=g(x)图象与的图象关于直线y= x对称，求g(11)的值。
7．若函数的图象经过，那么的反函数图象经过点( )
(A) (B) (C) (D)
8．设，则________.
9．函数与互为反函数的充要条件是___________.
10．若点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=__，=___
典型例题
EG1．已知函数，，且
（1） 求函数定义域
（2） 判断函数的奇偶性，并说明理由.
变式1：已知是偶函数，定义域为.则 ，
变式2：函数的图象关于 （ ）
A．轴对称 B．轴对称 C．原点对称 D．直线对称
变式3：若函数是奇函数，则
变式4：函数的图象关于直线对称.则
变式5：函数在上的单调递增区间为
EG2、已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.
变式1：下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
变式2：函数是R上的偶函数，且在上是增函数，若,则实数的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.或
变式3：已知定义域为的函数，对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”。已知下列函数：①；②；③；
④，其中是“有界函数”的是______（写出所有满足要求的函数的符号）．
设计意图：考察函数奇偶性与单调性的关系
EG3、已知函数，求，，的值
变式1：设则__________
变式2：已知是上的减函数，那么的取值范围是
A. B. C. D.
变式3：设函数f（x）= 则使得f（x）≥1的自变量x的取值范围为
A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］
C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］
EG4、试着举几个满足“对定义域内任意实数，，都有”的函数例子.
变式1：设函数f（x）的定义域是N*，且，，则f（25）= _______________.
变式2：设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有
（1）设，求
（2）证明是周期函数.
变式3：设函数定义在R上，对任意实数m、n，恒有且当
（1）求证：f（0）=1，且当x＜0时，f（x）＞1；
（2）求证：f（x）在R上递减；
（3）设集合A={（x，y）|f（x2）·f（y2）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax－y+2）=1，
a∈R}，若A∩B=，求a的取值范围.
变式4：已知函数．
（1）求的单调减区间；
（2）若在区间上的最小值为，求的值．
EG5、已知函数.
(Ⅰ) 求函数的单调区间；
　 (Ⅱ) 当a >0时，求函数在上最小值.
变式1：函数的导函数 .；
变式2： 函数内的交点为P，它们在点P处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积为
变式3：已知函数（）的图象为曲线．
（1）求过曲线上任意一点的切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线的切点的横
坐标的取值范围；
实战演练
1、，是定义在R上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”的
A．充要条件 B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件
2、在R上定义的函数是偶函数，且.若在区间上是减函数，则( )
A.在区间上是增函数，在区间上是减函数
B.在区间上是增函数，在区间上是减函数
C.在区间上是减函数，在区间上是增函数
D.在区间上是减函数，在区间上是增函数
3、函数的反函数是（ ）
A．B．C． D．
4、设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、设，则使函数的定义域为R且为奇函数的所有值为
（A） （B） （C） （D）
6、定义在R上的函数f (x)既是奇函数,又是周期函数,T是它的一个正周期.若将方程f (x)=0在闭区[-T,T]上的根的个数记为n,则n可能为
(A)0 (B)1 (C)3 (D)5
7、函数的反函数的定义域为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8、对于函数①，②，③，判断如下三个命题的真假：
命题甲：是偶函数；
命题乙：在上是减函数，在上是增函数；
命题丙：在上是增函数．
能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是（　　）
Ａ．①③ Ｂ．①② Ｃ．③ Ｄ．②
9、设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（B）
A． B．
C． D．
10、已知f(x)为R上的减函数，则满足f(||)<f(1)的实数x的取值范围是
A （－1，1） B（0，1） C （－1，0）（0，1） D（－，－1）（1，＋）
11、函数的图象和函数的图象的交点个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12、已知定义域为R的函数f(x)在上为减函数，且函数y=f(x+8)函数为偶函数，则（ ）
A.f(6)>f(7) B.f(6)>f(9) C.f(7)>f(9) D.f(7)>f(10)
13、若函数的反函数图象过点，则函数的图象必过点（ ）
A． B． C． D．
14、（函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
15、函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）

16、若函数f(x)的反函数为f,则函数f(x-1)与f的图象可能是
二、填空
1、函数的图象与函数的图象关于直线对称，则_________。
2、已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则　　　.
3、函数的反函数
4、设函数，则其反函数的定义域为 ．
5、已知函数的反函数是，则 ； ．
6、设函数为奇函数，则　　　　．
7、（函数的最小值为 。
8、已知函数为奇函数，若，则　　　　．
9、若函数（是自然对数的底数）的最大值是，且是偶函数，则________．
三、解答题
1、已知函数
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若在区间是增函数，求实数的取值范围。
2、已知函数(x>0)在x = 1处取得极值，其中a,b,c为常数。
（1）试确定a,b的值；
（2）讨论函数f(x)的单调区间；
（3）若对任意x>0，不等式恒成立，求c的取值范围。
3、设，对任意实数，记．
（I）求函数的单调区间；
（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；
（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．
4、已知函数，其中．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值．
5、设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
6、已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（I）用表示，并求的最大值；
（II）求证：（）．
7、如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。

实战训练B
1.（08全国一6）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
2.（08全国一7）设曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．2 B． C． D．
3.（08全国一9）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．C． D．
4.（08全国二3）函数的图像关于（ ）
A．轴对称 B． 直线对称 C． 坐标原点对称 D． 直线对称
5.（08北京卷3）“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6.（08四川卷11）设定义在上的函数满足，若，则( )
（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）
7.（08安徽卷11）若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）
A． B．
C． D．
8.（08山东卷4）设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为
(A) 3 (B)2 (C)1 (D)-1
9.（08江西卷3）若函数的值域是，则函数的值域是
A． B． C． D．
10.（08江西卷6）函数在区间内的图象是
11.（08湖北卷13）已知函数,,其中,为常数，则方程的解集为 .
12.（08重庆卷4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为
(A) (B) (C) (D)
13.（08重庆卷6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是
(A)f(x)为奇函数（B）f(x)为偶函数(C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数
14.（08福建卷12)已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是

15.（08辽宁卷6）设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
16.（08辽宁卷12）设是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足的所有x之和为（ ）
A． B． C． D．
二、填空
1.（08上海卷4）若函数f(x)的反函数为f －1(x)＝x2（x＞0），则f(4)＝
2.（08上海卷8）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0,+∞)时，f(x)＝lg x，则满足f(x)＞0的x的取值范围是
3.（08上海卷11）方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是
4.（08全国二14）设曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
5.（08江苏卷8）直线是曲线的一条切线，则实数b＝ ．
6.（08江苏卷14）对于总有≥0 成立，则= ．
7.（08湖南卷13）设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点 .
三、解答题
1．（08全国二22）．设函数．
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
2.（08北京卷18）．已知函数，求导函数，并确定的单调区间．
3.（08四川卷22）已知是函数的一个极值点。
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。
4.（08天津卷21）已知函数（），其中．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；
（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．
5（08陕西卷21）．已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．
（Ⅰ）求函数的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．

用心 爱心 专心