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专题二 递推数列专项训练
一、选择题
1．将整偶数按下表排成五列：
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行 2 4 6 8
第2行 16 14 12 10
第3行 18 20 22 24
…… …… 28 26
则第2006在
A．第251行，第1列 B．第251行，第4列
C．第250行，第2列 D．第250行，第5列
2.在数列中，若，则该数列的通项an（ ）
A. B. C. D.
3．数列满足，若.则的值为
A． B． C． D．
4．已知数列的通项公式，设前n项的和为，则使成立的自然数n
A. 由最大值63 B. 有最小值63 C. 有最小值31 D. 由最大值31
5.用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n (n1)时，由n＝k (k1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的代数式的个数是 （ ）
A． 2 B． 2－1 C． 2 D． 2＋1
6.正数数列{an}的前n项和为Sn，且，则数列{an}的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
7．已知数列满足，，设，则下列结论正确的是
A．, B． C．, D．
8.在数列中，已知，，则数列的通项公式为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
9.如果函数满足：对于任意实数、，都有，且，则 _________ .
10.已知数列满足，则=________________.
11.已知等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn, 若, 则=______.
12.已知数列满足,,….若,则
__________________________
三、解答题
13．已知正项数列，其前n项和Sn满足，且成等比数列，求数列的通项an.
14.已知数列中，，点在直线y=x上，其中n=1,2,3……，求数列的通项公式.
15.设二次函数，当时，的所有整数值的个数为.
（1）求的表达式；
（2）设，，求；
（3）设，，若，求的最小值.
16.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3求数列{an}的通项公式.
专题二 递推数列专项训练参考答案
一、选择题
1． 每行四个数据，2006为第1003个数据，又1003=4250+3，故2006为第251行第3个数据.又1003=8125+3，第251行的第1个数据是空缺的，所以2006在第251行的第4列.故选B.
评析 观察数据的特点，可以发现，每行四个数据，8个数据位置位置循环一次.
2.令，与已知比较，得，，是首项为、公式为2的等比数列，
.
3． 逐步计算，可得，…，这说明数列是周期数列，.而20=36+2，所以.应选B.
4． ，
，，，.
评析 本题为对数、数列、不等式综合题，需要有较强组合知识、应用知识的能力.
5.（2－1）－（2－1）＝2，选C；
6.解析：涉及到an及Sn的递推关系，一般都用an=Sn-Sn-1（n≥2）消元化归。
∵ ，∴ 4Sn=(an+1)2，∴ 4Sn-1=(an-1+1)2（n≥2）
∴ 4(Sn-Sn-1)=(an+1)2-(an-1+1)2，∴ 4an=an2-an-12+2an-2an-1
整理得：(an-1+an)(an-an-1-2)=0. ∵ an>0，∴ an-an-1=2
∴ {an}为公差为2的等差数列.
在中，令n=1，a1=1，∴ an=2n-1，选C.
7．A 由条件可得，
，故此数列为周期数列，从而，.
评析 本题关键是采用列举法找出数列的规律（周期为4）.
8． 法一：由顺次算出，所以，猜想.选B.
法二：由，得，即.上式对整数恒成立，而时，，所以，即数列是等比数列，得.选B
评析 解法一叫做“归纳猜想”，解法二叫做“构造辅助数列”.这是解决数列问题的两个通法.
二、填空题
9. 是首项为2，公比为2的等比数列，原式.
10.已知数列满足，
则有规律的重复了，故=。
11.因为等差数列｛an｝与｛bn｝的前n项和分别为Sn与Tn,
则,
则=
12.因为数列满足,,….
则
，
，
……
故,又，故
三、解答题
13.解： ① ，解之，得a1=2或a1=3. 又(n≥2) ②
①－②，得，即(n≥2).
为正项数列，＞0(n≥2)，，是 d=5的等差数列.当a1=3时，a3=13，a15=73,但不成等比数列，与题意不符，；当a1=2时，a3=12，a15=72,且成等比数列，符合题意，
14.解：由已知，得 ①
设,即，
与①式比较，得，
是公比为的等比数列，
，故，
15.解：（1）当时，函数的值随的增大而增大，则的值域为..
（2），① 当n为偶数时， ；②当n为奇数时，
..
（3）由得①，①得②，①-②得 .，由，，可得的最小值是7.
16.分析：解答本题的思想方法是求递归数列通项的累加法.
解：方法一：先考虑偶数项有：
………
同理考虑奇数项有：
………
综合可得
方法二：因为
两边同乘以，可得：
令
所以
………
用心 爱心 专心
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