特殊平行四边形：动点问题.doc

特殊平行四边形：动点问题
特殊四边形：动点问题
题型一：
1．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时,△APD中边AP上的高为（ ）
A、 B、 C、 D、3

2.如图4，在梯形ABCD中,AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点。点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发,沿CB向点B运动。点P停止运动时,点Q也随之停止运动.当运动时间t＝ 秒时，以点P，Q，E,D为顶点的四边形是平行四边形。

3．如图,在梯形ABCD中，AD∥BC,E是BC的中点，AD=5,BC=12，CD=4,∠C=，点P是BC边上一动点，设PB长为x。
（1)当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为直角梯形.
（2)当x的值为 时，以点P、A、D、E为顶点的四边形为平行四边形。
(3)点P在BC边上运动的过程中，以点P、A、D、E为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由。

4.在一个等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，AD=10cm，BC=30cm，动点P从点A开始沿AD边向点D以每秒1cm的速度运动，同时动点Q从点C开始沿CB边向点B以每秒3cm的速度运动，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t s.
(1).t为何值时，四边形ABQP为平行四边形？
(2)。四边形ABQP能为等腰梯形吗?如果能，求出t的值，如果不能，请说明理由。

6. 梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm,BC=26cm，动点P从点A开始，沿AD边，以1厘米/秒的速度向点D运动;动点Q从点C开始，沿CB边，以3厘米/秒的速度向B点运动。已知P、Q两点分别从A、C同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.假设运动时间为t秒,问:
(1)t为何值时，四边形PQCD是平行四边形?
（2)在某个时刻，四边形PQCD可能是菱形吗？为什么？
（3）t为何值时,四边形PQCD是直角梯形?
（4）t为何值时，四边形PQCD是等腰梯形?
(5) t为何值时，APQ是等腰三角形？

7．如图,在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD‖BC,且AD=4cm，AB=8cm，DC=10cm。若动点P从点A出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点以每秒5cm的速度沿CB向B点运动。当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动。设P、Q同时出发，并运动了t秒。
（1）直角梯形ABCD的面积为__________cm的平方。
（2）当t=________秒时,四边形PQCD为平行四边形。
（3)当t=________秒时，PQ=DC
（4)是否存在t，使得P点在线段DC上，且PQ⊥DC（如图2所示）?若存在，列出方程求出此时的t;若不存在，请说明理由.

8．如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°,AB‖CD，且AB=4cm,BC=8cm，DC=10cm。若动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿线段AB、BC向C点运动；动点Q从C点以每秒1cm的速度沿CB向B点运动。当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动。设P、Q同时出发,并运动了t秒。
（1）直角梯形ABCD的面积为__________cm的平方。
（2)当t=________秒时，四边形PBCQ为平行四边形。
(3）当t=________秒时,PQ=BC。

10. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，其中AB=12 cm,CD=6cm ，梯形的高为4，点P从开始沿AB边向点B以每秒3cm的速度移动,点Q从开始沿CD边向点D以每秒1cm的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t秒.
(1）求证：当t为何值时,四边形APQD是平行四边形;
（2）PQ是否可能平分对角线BD？若能，求出当t为何值时PQ平分BD;若不能，请说明理由；
（3)若△DPQ是以PQ为腰的等腰三角形，求t的值。

11。如图，在直角梯形ABCD中，AB//CD，∠C=RT∠，AB=AD=10cm，BC=8cm，点P从点A出发,以每秒3cm的速度沿线段AB方向运动,点Q从点D出发,以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动。已知动点P、Q同时出发,当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t(s).
(1)求CD的长.
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3)在点P，点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得ΔBPQ的面积为20cm2?若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由。

13. 已知，矩形中，,，的垂直平分线分别交、于点、,垂足为.
（1)如图10—1，连接、。求证四边形为菱形，并求的长；
（2）如图10-2，动点、分别从、两点同时出发，沿和各边匀速运动一周。即点自→→→停止，点自→→→停止。在运动过程中，
①已知点的速度为每秒5,点的速度为每秒4,运动时间为秒，当、、、四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值.
②若点、的运动路程分别为、(单位：，）,已知、、、四点为顶点的四边形是平行四边形,求与满足的数量关系式.
图10-1
图10-2
备用图

14.已知：如图,在梯形ABCD中，AB∥DC,∠B=90°，BC=8cm，CD=24cm，AB=26Cm，点P从C出发,以1cm/s的速度向D运动,点Q从A出发,以3cm/s的速度向B运　动，其中一动点达到端点时,另一动点随之停止运动．从运动开始．
（1）经过多少时间,四边形AQPD是平行四边形？
（2)经过多少时间,四边形AQPD成为等腰梯形？
（3）在运动过程中，P、Q、B、C四点有可能构成正方形吗？为什么？

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P,Q分别从点B，A同时出发,当点Q运动到点D时，点P随之停止运动,设运动的时间为t(秒）．
①当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
②当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？
③是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值，若不存在，请说明理由．

15. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6，DC=10,AB=，∠B=45°．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．
（1）求BC的长．
（2）当MN∥AB时，求t的值．
（3)△MNC可能为等腰三角形吗？若能,请求出t的值；若不能,请说明理由．
（4） △MNC可能为直角三角形吗?若能，请求出t的值；若不能,请说明理由．
（5） △MNC为20时，请求出t的值．

如图,直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°,AB=，AD=4，DC=，点P从点A出发沿折线段AD—DC-CB以每秒3个单位长的速度向点B匀速运动，同时，点Q从点A出发沿射线AB方向以每秒2个单位长的速度匀速运动,当点P与点B重合时停止运动，点Q也随之停止，设点P，Q的运动时间是t秒(t＞0）．
(1）当点P到达终点B时,求t的值；
(2）设△APQ的面积为S，分别求出点P运动到AD、CD上时，S与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，能使PQ∥DB；
(4）当t为何值时，能使P、Q、D、B四点构成的四边形是平行四边形。

16.如图,在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=60,AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA—AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动;点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD—DA—AB于点E．点P、Q同时开始运动,当点P与点C重合时停止运动,点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0)．
（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；
（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC;
（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时,S与t的函数关系式;(不必写出t的取值范围）
（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

17。如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°,已知AD=AB=3，BC=,动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．
（1)求NC，MC的长（用t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形?
（3）当t为何值时，射线QN恰好将△ABC的面积平分?并判断此时△ABC的周长是否也被射线QN平分．

19.如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，AB=8，CD=10．
(1）求梯形ABCD的面积S；
（2）动点P从点B出发，以2cm/s的速度、沿B→A→D→C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以2cm/s的速度、沿C→D→A方向，向点A运动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
问：①当点P在B→A上运动时，是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在，请求出t的值，并判断此时PQ是否平分梯形ABCD的面积；若不存在，请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

20.在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm,底BC=10cm（如图1）．动点Q从点B出发，沿BC运动到点C停止，运动的速度都是1cm/s．同时，动点P也从B点出发，沿BA→AD运动到点D停止,且PQ始终垂直BC．设P，Q同时从点B出发，运动的时间为t（s），点P运动的路程为y（cm）．分别以t，y为横、纵坐标建立直角坐标系(如图2），已知如图中线段为y与t的函数的部分图象．经测量点M与N的坐标分别为(4，5）和（2， )．
（1）求M，N所在直线的解析式；
(2）求梯形ABCD中边AB与AD的长；
（3）写出点P在AD边上运动时,y与t的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图2中补全整运动中y关于t的函数关系的大致图象．

22. 如图，在直角梯形ABCD中,AD∥BC，∠B=90°,AD=6，BC=8，AB=3 ，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回;点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P,Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；
（2)当BP=1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；

已知：如图,在直角梯形COAB中，OC∥AB,∠AOC=90°，AB=4，AO=8，OC=10,以O为原点建立平面直角坐标系，点D为线段BC的中点，动点P从点A出发，以每秒4个单位的速度，沿折线AOCD向终点C运动，运动时间是t秒．
（1）D点的坐标为 ；
(2）当t为何值时，△APD是直角三角形;
（3）如果另有一动点Q，从C点出发,沿折线CBA向终点A以每秒5个单位的速度与P点同时运动，当一点到达终点时，两点均停止运动，问：P、C、Q、A四点围成的四边形的面积能否为28？如果可能，求出对应的t；如果不可能，请说明理由．

在梯形ABCO中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，A、B、C三点的坐标分别是A（8，0），B(8,10），C（0,4）．点D（4，7）为线段BC的中点，动点P从O点出发，以每秒1个单位的速度,沿折线OAB的路线运动，运动时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式；
（2）设△OPD的面积为s，求出s与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；
（3)当t为何值时,△OPD的面积是梯形OABC的面积的？

如图，在直角梯形COAB中,CB∥OA，以O为原点建立直角坐标系，A、C的坐标分别为A（10，0)、C（0，8），CB=4，D为OA中点,动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒,移动时间为t秒．
（1)求AB的长，并求当PD将梯形COAB的周长平分时t的值，并指出此时点P在哪条边上；
（2）动点P在从A到B的移动过程中，设△APD的面积为S，试写出S与t的函数关系式，并指出t的取值范围；
（3)几秒后线段PD将梯形COAB的面积分成1:3的两部分？求出此时点P的坐标?

已知直角梯形OABC在如图所示的平面直角坐标系中，AB∥OC，AB=10，OC=22，BC=15,动点M从A点出发，以每秒一个单位长度的速度沿AB向点B运动，同时动点N从C点出发，以每秒2个单位长度的速度沿CO向O点运动．当其中一个动点运动到终点时，两个动点都停止运动．
（1）求B点坐标；
(2）设运动时间为t秒；
①当t为何值时,四边形OAMN的面积是梯形OABC面积的一半;
②当t为何值时，四边形OAMN的面积最小，并求出最小面积；
③若另有一动点P,在点M、N运动的同时，也从点A出发沿AO运动．在②的条件下，PM+PN的长度也刚好最小,求动点P的速度．

如图(1），以梯形OABC的顶点O为原点，底边OA所在的直线为轴建立直角坐标系．梯形其它三个顶点坐标分别为：A(14，0)，B(11，4）,C（3，4)，点E以每秒2个单位的速度从O点出发沿射线OA向A点运动，同时点F以每秒3个单位的速度，从O点出发沿折线OCB向B运动，设运动时间为t．
(1）当t=4秒时，判断四边形COEB是什么样的四边形?
（2）当t为何值时，四边形COEF是直角梯形？
(3）在运动过程中，四边形COEF能否成为一个菱形?若能，请求出t的值；若不能，请简要说明理由，并改变E、F两点中任一个点的运动速度，使E、F运动到某时刻时，四边形COEF是菱形,并写出改变后的速度及t的值

如图,在平面直角坐标系中，四边形OABC为直角梯形，OA∥BC，BC=14，A（16，0），C(0，2）．
（1）如图①，若点P、Q分别从点C、A同时出发，点P以每秒2个单位的速度由C向B运动,点Q以每秒4个单位的速度由A向O运动,当点Q停止运动时，点P也停止运动．设运动时间为t秒（0≤t≤4）．
①求当t为多少时，四边形PQAB为平行四边形?
②求当t为多少时，直线PQ将梯形OABC分成左右两部分的比为1:2，并求出此时直线PQ的解析式．
（2）如图②，若点P、Q分别是线段BC、AO上的任意两点（不与线段BC、AO的端点重合）,且四边形OQPC面积为10，试说明直线PQ一定经过一定点，并求出该定点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，直角梯形ABCO的变OC落在x轴的正半轴上，且AB//OC，BC⊥OC，AB=4，BC=7,OC=10.正方形ODEF的两边分别坐落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形ABCO面积，将正方形ODEF沿x轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形ABCO的重叠部分面积为S。
（1） 求正方形ODEF的边长.
（2） 求OA所在直线的解析式
（3） 当正方形ODEF移动到顶点O与C重合时，求S的值
（4） 设正方形ODEF顶点O向右移动的距离为x，当正方形ODEF的边ED与y轴重合时，停止移动，求重叠部分面积S与x的函数关系式.

如图,在△ABC中,∠ACB=90°，AC=BC=6cm，等腰RT△DEF中,∠D=90°，EF=4cm。EF在BC所在直线L上,开始时点F与点C重合，让等腰RT△DEF沿直线L向右以每秒1cm的速度做匀速运动,最后点E和点B重合。
（1） 请直接写出等腰RT△DEF运动6S时与△ABC重叠部分面积
（2） 设运动时间为xS，运动过程中，等腰RT△DEF与△ABC重叠部分面积为ycm²
①在等腰RT△DEF运动6S后至运动停止前这段时间内，求y与x之间的函数关系式
②在RT△DEF整个运动过程中，求当x为何值时，y=1/2。

题型二：
1。如图，正方形ABCD的边长为4cm，两动点P、Q分别同时从D、A出发，以1cm/秒的速度各自沿着DA、AB边向A、B运动。试解答下列各题：
（1）当P出发后多少秒时，三角形PDO为等腰三角形;
(2)当P、Q出发后多少秒，四边形APOQ为正方形；
（3)当P、Q出发后多少秒时，。

2。如图所示，有四个动点P、Q、E、F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB、BC、CD、DA以同样的速度向B、C、D、A各点移动。
（1）试判断四边形PQEF是正方形并证明.
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由。
（3） 四边形PQEF的顶点位于何处时，其面积最小，最大？各是多少？

3。已知：如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是异于A、D两点的动点，F是CD上的动点。请你判断：无论E、F怎样移动，当满足：AE+CF=a时，△BEF是什么三角形？并说明你的结论.

4。如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM。
⑴ 求证：△AMB≌△ENB;
⑵ ①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；
②当M点在何处时,AM＋BM＋CM的值最小,并说明理由；
E
A D
B C
N
M
⑶ 当AM＋BM＋CM的最小值为时,求正方形的边长。

题型三：
1.如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C＝90°，BC＝16,DC＝12，AD＝21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒)。

（1） 设▲BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系式;

（2） 当t为何值时，四边形ABPQ平行四边形？
(3)当t为何值时,以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

(4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值;若不存在,请说明理由。

2。如图①，在等腰梯形ABCD中,AD//BC，AE⊥BC于点E，DE⊥BC于F,AD=2cm，BC=6cm,AE=4cm，点P、Q分别在线段AE、DF上，顺次连接BP、PQ、QC、CB所围的封闭图形记为M，若点P在线段AE上运动时,点Q也随之在线段DF上运动，使图形M的形状发生改变,但面积始终为10cm²，设EP=xcm,FQ=ycm，解答下列问题:
（1）直接写出当x=3时y的值。
（2）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围。
（3)当x取何值时,图形M为等腰梯形？图形M为三角形？
（4）直接写出线段PQ在运动过程中所能扫过的区域的面积。

3.在边长为6的菱形ABCD中,动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动,连接DM交AC于点N．
(1）如图25－1,当点M在AB边上时，连接BN．
①求证：；
②若∠ABC = 60°，AM = 4，∠ABN =，求点M到AD的距离及tan的值；
(2）如图25－2，若∠ABC = 90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．
试问：x为何值时,△ADN为等腰三角形．

4．在正方形ABCD中，M是边BC中点，E是边AB上的一个动点，MF⊥ME,MF交射线CD于点F，AB=4，BE=x，CF=y
（1)求y关于x的解析式及定义域
（2）当点F在边CD上时,四边形AEFD的周长是否随点E的运动而发生变化？请说明理由
（3）当DF=1时，求点A到直线EF的距离.

5.如图1,在等腰梯形ABCD中，AD‖BC，E是AB的中点，过点E作EF‖BC交CD于点F。AB=4，BC=6，∠B=60°
（1)求点E到BC的距离。
（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN‖AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x。
①当点N在线段AD上时,△PMN的形状是否发生改变？若不变,求出△PMN的周长，若改变，说明理由。
②当点N在线段DC上时，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值，若不存在，说明理由。

6。在平行四边形ABCD中,AD=4cm，∠A=60°，BD⊥AD。一动点P从A出发以每秒1cm的速度沿A—B-C的路线做匀速运动，过点P做直线PM，使PM⊥AD.当点P运动2秒时，另一动点Q也从A出发沿A—B—C的路线运动,且在AB上以每秒1cm的速度匀速运动，在BC上以每秒2cm的速度匀速运动。过Q做直线QN，使QN∥PM。设点Q的运动时间为t秒（0≤t≤10），直线PM与QN截平行四边形所得图形的面积为S
①求S关于t的函数关系式;
②求S的最大值。

7。菱形ABCD中∠A=60°，边长为4CM，动点P从A出发，以1CM/秒的速度沿A-B-C的路线运动，在点P出发1秒后，点Q以同样的速度,沿同样的路径运动,过点P、Q的直线L1、L2互相平行，且都与AB边所在的直线成60°角,设点P运动的时间是X(1X8）秒，直线L1、L2在菱形上截出的图形周长为Y厘米
（1)求Y与X的函数关系。
（2)当X取何值时，Y的值最大？最大值是多少？

8．如图，在矩形ABCD中,AB＝12cm，BC＝8cm，点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动,点E、G的速度均为2cm/s,点F的速度为4cm/s，当点F追上点G(即点F与点G重合）时,三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时,△EFG的面积为S(cm2）．
(1）当t＝1秒时，S的值是多少？
（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围．