资源描述
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题
1．已知椭圆过点P(，－4)和点Q(－，3)，则此椭圆的标准方程是( )
A.＋x2＝1
B.＋y2＝1
C.＋y2＝1或x2＋＝1
D．以上都不对
【解析】 设椭圆的方程为
Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
则，
解得A＝1，B＝，故选A.
【答案】 A
2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率
是( )
A. B.
C. D.
【解析】 设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，
令x＝±c得y2＝，∴|AB|＝，
由题意得：2c＝·，即3a4－10a2c2＋3c4＝0，
∴a2＝3c2，∴e＝＝.
【答案】 A
3．已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1、F2，M是椭圆上一点，N是MF1的中点，若|ON|＝1，则MF1的长等于( )
A．2 B．4
C．6 D．5
【解析】 由椭圆方程知a＝4，
∴|MF1|＋|MF2|＝8，
∴|MF1|＝8－|MF2|＝8－2|ON|＝8－2＝6.
【答案】 C
4．(2009年石家庄模拟)过点M(－2,0)的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为( )
A．2 B．－2
C. D．－
【解析】 由题意知直线m的方程为y＝k1(x＋2)，
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
由得
(1＋2k12)x2＋8k12x＋8k12－2＝0，
∴x1＋x2＝－，∴y1＋y2＝，
∴P(－，)，
∴k2＝＝－，∴k1k2＝－.
【答案】 D
5．(2009年郑州模拟)如图，A、B、C分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )
A. B．1－
C.－1 D.
【解析】 由已知得a2＋(a2＋b2)＝(a＋c)2，
即c2＋ac－a2＝0，∴e2＋e－1＝0，
∵1＞e＞0，∴e＝.
【答案】 A
二、填空题
6．F1、F2是椭圆＋＝1的两焦点，P为椭圆的一个顶点，若△PF1F2是等边三角形，则a2＝________.
【解析】 若a2＞9，则有a2＝4(a2－9)，
解得a2＝12.
若a2＜9，则有9＝4(9－a2)，解得a2＝.
【答案】 12或
7．我们把由半椭圆＋＝1(x≥0)与半椭圆＋＝1(x＜0)合成的曲线称作“果圆”(其中a2＝b2＋c2，a＞b＞c＞0)．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，则a，b的值分别为________．
【解析】 由已知|F1F2|＝2＝1①
又因为△F0F1F2是边长为1的等边三角形，
所以cos 30°＝，∴c＝，代入①式得b＝1，
∴a＝＝＝.
【答案】 1
8．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)与圆x2＋y2＝2的位置关系是________．(填“在圆内”、“在圆上”或“在圆外”)
【解析】 由已知得＝，∴a＝2c，
∴b2＝a2－c2＝3c2，∴b＝c，
∴方程即为2cx2＋cx－c＝0，
2x2＋x－1＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x1＝－，
x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋1＝＜2.
∴点P(x1，x2)在圆x2＋y2＝2内．
【答案】 在圆内
三、解答题
9．(2009年上海高考)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星(其半径R＝34百公里)的中心F为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点(轨道上离火星表面最近的点)A到火星表面的距离为8百公里，远火星点(轨道上离火星表面最远的点)B到火星表面的距离为800百公里．假定探测器由近火星点A第一次逆时针运行到与轨道中心O的距离为百公里时进行变轨，其中a、b分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离(精确到1百公里)．
【解析】 设探测器运行轨道方程为
＋＝1(a＞b＞0)，c＝.
∵a＋c＝800＋34，a－c＝8＋34，∴a＝438，c＝396.
于是b2＝a2－c2＝35 028，
∴探测器运行轨道方程为＋＝1.
设变轨时，探测器位于P(x0，y0)，
则x02＋y02＝ab≈81 975.1，＋＝1，
解得x0≈239.7，y0≈156.7(符合题意)，
∴探测器在变轨时与火星表面的距离为
－R≈187.3.
即探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里．
10．(2009年安徽模拟)已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.
(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；
(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直线的方程．
【解析】 (1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x.
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．
由，得x＝±1.
所以|AB|＝|x1－x2|＝2.
又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，
所以h＝，S△ABC＝|AB|·h＝2.
(2)设AB所在直线的方程为y＝x＋m，
由，得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.
因为A，B在椭圆上，所以Δ＝－12m2＋64＞0.
设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以|AB|＝|x1－x2|＝.又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝.
所以|AC|2＝|AB|2＋|BC|2
＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11.
所以当m＝－1时，AC边最长(这时Δ＝－12＋64＞0)，
此时AB所在直线的方程为y＝x－1 高.考.资.源.网
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