人教版数学八年级下册期中考试试卷.doc

2014-2015学年八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）．
1．若式子有意义，在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
　 A． x≥5 B． x≤5 C． x＞5 D． x＜5
2．直角三角形两直角边边长分别为6cm和8cm，则斜边的中线为（　　）
　 A． 10cm B． 3cm C． 4cm D． 5cm
3．顺次连接一个四边形各边的中点，得到一个矩形，则原四边形一定是（　　）
　 A． 菱形 B． 矩形
　 C． 对角线相等的四边形 D． 对角线垂直的四边形
4．在▱ABCD中，∠A=80°，∠B=100°，则∠C等于（　　）
　 A． 60° B． 80° C． 100° D． 120°
5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）

　 A． 4 B． 6 C． 16 D． 55
6．下列二次根式，不能与合并的是（　　）
　 A． B．
C． D．
7．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
　 A． 4，5，6 B． 1，1， C． 6，8，11 D． 5，12，23
8．如图，在▱ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF=（　　）

　 A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 5cm

9．下列运算正确的是（　　）
　 A． ﹣= B． =2
C． ﹣= D． =2﹣　
10．下列各式是最简二次根式的是（　　）
　 A． B． C． D．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．化简：=　　　　　　．
12．计算：=　　　　　．
13．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为　　　　　　．
14．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为　　　　　　米．

15．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是　　　　　　．

16．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为　　　　　　．

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：﹣（π﹣3）0﹣|﹣2|+．

18．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形．
（1）三角形三边长为4，3，；
（2）平行四边形有一锐角为45°，且面积为6．

　（2）如图2所示．

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：
（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

21．如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F，EF⊥AC，连结AF、CE．
（1）求证：OE=OF；
（2）请判断四边形AECF是什么特殊四边形，请证明你的结论．

22．观察下列各式：
=1+﹣=1
=1+﹣=1
=1+﹣=1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）=　　　　　　；
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　　　　　　；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）.

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1，再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求第1个平行四边形OBB1C的面积是　　　　　　
第2个平行四边形A1B1C1C是　　　　　　
第3个平行四边形OB1B2C的面积是　　　　　　
（3）第n个平行四边形的面积是　　　　　　

24．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，D为AB的中点，点P是AB上的一个动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．
（1）求证：AE=PE；
（2）求证：DE=DF；
（3）连接EF，EF的最小值是多少？

25．数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：
如图①，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．

（1）求证：AP=CQ；
（2）如图②，小明在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并证明．
（3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转到三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC的延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△ DEQ的面积．

参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）．
1．若式子有意义，在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
　 A． x≥5 B． x≤5 C． x＞5 D． x＜5
考点： 二次根式有意义的条件．
分析： 根据二次根式的性质，即可求解．
解答： 解：因为式子有意义，
可得：x﹣5≥0，
解得：x≥5，
故选A
点评： 主要考查了二次根式的意义．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0．
2．直角三角形两直角边边长分别为6cm和8cm，则斜边的中线为（　　）
　 A． 10cm B． 3cm C． 4cm D． 5cm
考点： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理．
分析： 利用勾股定理列式求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
解答： 解：由勾股定理得，斜边==10cm，
所以，斜边的中线=×10=5cm．
故选D．
点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
3．顺次连接一个四边形各边的中点，得到一个矩形，则原四边形一定是（　　）
　 A． 菱形 B． 矩形
　 C． 对角线相等的四边形 D． 对角线垂直的四边形

考点： 中点四边形．
分析： 此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．
解答： 解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD．
故选D．

点评： 本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
4．在▱ABCD中，∠A=80°，∠B=100°，则∠C等于（　　）
　 A． 60° B． 80° C． 100° D． 120°
考点： 平行四边形的性质．
分析： 由在▱ABCD中，∠A=80°，∠B=100°，根据平行四边形的对角相等，即可求得答案．
解答： 解：∵在▱ABCD中，∠A=80°，∠B=100°，
∴∠C=∠A=80°．
故选：B．
点评： 此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的关键．

5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（　　）

　 A． 4 B． 6 C． 16 D． 55
考点： 勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定．
分析： 运用正方形边长相等，结合全等三角形和勾股定理来求解即可．
解答： 解：∵a、b、c都是正方形，
∴AC=CD，∠ACD=90°；
∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，
∴△ACB≌△DCE，
∴AB=CE，BC=DE；
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，
即Sb=Sa+Sc=11+5=16，
故选：C．

点评： 此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，结合图形求解，对图形的理解能力要比较强．
6．下列二次根式，不能与合并的是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 同类二次根式．
分析： 把各二次根式化简，然后根据不能合并的不是同类二次根式进行判断即可．
解答： 解：=2，
A、=4，能合并，故本选项错误；
B、=3，不能合并，故本选项正确；
C、==，能合并，故本选项错误；
D、﹣=﹣5，能合并，故本选项错误．
故选B．
点评： 此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，不能合并，说明不是同类二次根式．
7．下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　）
　 A． 4，5，6 B． 1，1， C． 6，8，11 D． 5，12，23
考点： 勾股定理的逆定理．
专题： 计算题．
分析： 根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
解答： 解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12=，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
点评： 此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
8．如图，在▱ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC平分线交AD于E，交CD的延长线于点F，则DF=（　　）

　 A． 2cm B． 3cm C． 4cm D． 5cm
考点： 平行四边形的性质．
分析： 由AB∥CD可以推出∠F=∠FBA，又∵∠ABC平分线为AE，∴∠FBC=∠FBA，等量代换即可得到∠F=∠FBC，根据等腰三角形的判定知道BC=CF，所以得到FD=CF﹣CD=BC﹣AB=AD﹣AB，由此可以求出DF．
解答： 解：∵AB∥CD，
∴∠F=∠FBA，
∵∠ABC平分线为BE，
∴∠FBC=∠FBA，
∴∠F=∠FBC，
∴BC=CF，
∴FD=CF﹣CD=BC﹣AB=AD﹣AB=7﹣4=3cm．
故选B．
点评： 本题利用了平行四边形的性质和角的平分线的性质证出△BCF为等腰三角形而求解．
9．下列运算正确的是（　　）
　 A． ﹣= B． =2 C． ﹣= D． =2﹣
考点： 二次根式的加减法；二次根式的性质与化简．
分析： 根据二次根式的加减法对各选项进行逐一分析即可．
解答： 解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、=，故本选项错误；
C、﹣=2﹣=，故本选项正确；
D、=﹣2，故本选项错误．
故选C．
点评： 本题考查的是二次根式的加减法，熟知二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变是解答此题的关键．
10．下列各式是最简二次根式的是（　　）
　 A． B． C． D．
考点： 最简二次根式．
分析： 先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
解答： 解：A、=3不是最简二次根式，错误；
B、是最简二次根式，正确；
C、不是最简二次根式，错误；
D、不是最简二次根式，错误；
故选B．
点评： 本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．化简：=　　．
考点： 分母有理化．
分析： 直接利用二次根式的性质化简求出即可．
解答： 解：==．
故答案为：．
点评： 此题主要考查了分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
12．计算：=　7　．
考点： 二次根式的加减法．
专题： 计算题．
分析： 原式两项化为最简二次根式，合并即可得到结果．
解答： 解：原式=3+4=7．
故答案为：7
点评： 此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握法则是解本题的关键．
13．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为　5或　．
考点： 勾股定理．
专题： 分类讨论．
分析： 已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
解答： 解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：
第三边的长为：=；
②长为3、4的边都是直角边时：
第三边的长为：=5；
综上，第三边的长为：5或．
故答案为：5或．
点评： 此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．
14．如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米的点C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为　（1+）　米．

考点： 勾股定理的应用．
分析： 根据题意利用勾股定理得出BC的长，进而得出答案．
解答： 解：由题意得：在直角△ABC中，
AC2+AB2=BC2，
则12+22=BC2，
∴BC=，
∴则树高为：（1+）m．
故答案为：（1+）．
点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理得出BC的长是解题关键．
15．如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是　5　．

考点： 轴对称-最短路线问题．
专题： 动点型．
分析： 要求PM+PN的最小值，PM、PN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PN、PM的值，从而找出其最小值求解．
解答： 解：如图：
作ME⊥AC交AD于E，连接EN，
则EN就是PM+PN的最小值，
∵M、N分别是AB、BC的中点，
∴BN=BM=AM，
∵ME⊥AC交AD于E，
∴AE=AM，
∴AE=BN，AE∥BN，
∴四边形ABNE是平行四边形，
∴EN=AB，EN∥AB，
而由题意可知，可得AB==5，
∴EN=AB=5，
∴PM+PN的最小值为5．
故答案为：5．

点评： 考查菱形的性质和轴对称及平行四边形的判定等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．
16．菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为　20　．
考点： 菱形的性质；勾股定理．
分析： 根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．　　
解答： 解：如图所示，
根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，
∴△AOB是直角三角形，
∴AB===5，
∴此菱形的周长为：5×4=20．
故答案为：20．

点评： 本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．计算：﹣（π﹣3）0﹣|﹣2|+．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项化为最简二次根式，计算即可得到结果．
解答： 解：原式=2﹣1﹣2+3=1+．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．

考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题： 证明题．
分析： 由垂直得到∠EAD=∠FCB=90°，根据AAS可证明Rt△AED≌Rt△CFB，得到AD=BC，根据平行四边形的判定判断即可．
解答： 证明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD=∠FCB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
在Rt△AED和Rt△CFB中，
∵，
∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），
∴AD=BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点评： 本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出AD=BC，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小正方形的顶点叫格点，分别按下列要求画以格点为顶点三角形和平行四边形．
（1）三角形三边长为4，3，；
（2）平行四边形有一锐角为45°，且面积为6．

考点： 勾股定理；平行四边形的性质．
专题： 作图题．
分析： （1）根据勾股定理画出三角形即可；
（2）根据平行四边形的面积公式即可画出图形．
解答： 解：（1）如图1所示；
（2）如图2所示．

点评： 本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．一架方梯AB长25米，如图所示，斜靠在一面上：
（1）若梯子底端离墙7米，这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

考点： 勾股定理的应用．
分析： （1）利用勾股定理可得OA==，再计算即可；
（2）在直角三角形A′OB′中计算出OB′的长度，再计算BB′即可．
解答： 解：（1）在Rt△AOB中，AB=25米，OB=7米，
OA===24（米）．
答：梯子的顶端距地面24米；

（2）在Rt△AOB中，A′O=24﹣4=20米，
OB′===15（米），
BB′=15﹣7=8米．
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
点评： 此题主要考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
21．如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF分别与AD、BC交于点E、F，EF⊥AC，连结AF、CE．
（1）求证：OE=OF；
（2）请判断四边形AECF是什么特殊四边形，请证明你的结论．

考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
分析： （1）首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC，OA=CO，再证明△AEO≌△CFO可得OE=OF；
（2）根据△AEO≌△CFO可得AE=CF，然后可得四边形AECF平行四边形，再由条件EF⊥AC可得四边形AECF是菱形．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD∥BC，OA=CO，
∴∠DAO=∠BCO，
在△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO（ASA），
∴OE=OF；
（2）答：四边形AECF是菱形，
∵△AEO≌△CFO，
∴AE=CF，
∵AE∥FC，
∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及菱形的判定，关键是掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
22．观察下列各式：
=1+﹣=1
=1+﹣=1
=1+﹣=1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）=　1　
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　=1+　；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
考点： 二次根式的性质与化简．
专题： 规律型．
分析： （1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
解答： 解：（1）=1=1；故答案为：1；
（2）=1+=1+；故答案为：=1+；
（3）．
点评： 本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O．以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1，再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1…依此类推．
（1）求矩形ABCD的面积；
（2）求第1个平行四边形OBB1C的面积是　96　
第2个平行四边形A1B1C1C是　48　
第3个平行四边形OB1B2C的面积是　24　
（3）第n个平行四边形的面积是　×96　．

考点： 矩形的性质；勾股定理；平行四边形的性质．
专题： 规律型．
分析： （1）由矩形的性质得出∠ABC=90°，OB=OC，由勾股定理求出BC，即可求出矩形ABCD的面积；
（2）先证明四边形OBB1C是菱形，由菱形的面积=两条对角线长积的一半，即可得出第1个平行四边形OBB1C的面积；由矩形的面积公式得出第2个平行四边形A1B1C1C的面积，由菱形的面积公式得出第3个平行四边形OB1B2C的面积；
（3）由（2）得出规律，即可得出结果．
解答： 解：（1）∵四边形ABCD矩形，
∴∠ABC=90°，OB=OC，
∴BC===16，
∴矩形ABCD的面积=12×16=192；
（2）∵四边形OBB1C是平行四边形，OB=OC，
∴四边形OBB1C是菱形，
∴BA1=CA1=8，
∴OA1是△ABC的中位线，
∴OA1=AB=6，
∴OB=2OA1=12，
∴平行四边形四边形OBB1C的面积=×12×16=96；
故答案为：96；
根据题意得：四边形A1B1C1C是矩形，
∴第2个平行四边形A1B1C1C=A1C×A1B1=8×6=48；
故答案为：48；
同理：第3个平行四边形OB1B2C的面积=×8×6=24；
故答案为：24；
（3）由（2）得出规律，第n个平行四边形的面积是；
故答案为×96．
点评： 本题考查了矩形的性质、菱形的判定与性质、三角形中位线定理以及平行四边形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

24．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，D为AB的中点，点P是AB上的一个动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．
（1）求证：AE=PE；
（2）求证：DE=DF；
（3）连接EF，EF的最小值是多少？

考点： 全等三角形的判定与性质；垂线段最短；矩形的判定与性质．
分析： （1）首先证明∠CAB=45°，∠AEP=90°，从而可得到∠EAP=∠APE，故此AE=EP；
（2）连接CD，由直角三角形斜边上中线的性质可知：CD=AD，然后由等腰三角形三线合一可求得∠DCF=45°，然后由矩形的性质可证得：AE=CF，从而可证明△ADE≌△CDF；
（3）由矩形的性质可知EF=CP，然后由垂线段最短可知CP⊥AB时，CP最短，从而可求得CP的长．
解答： 证明：（1）∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠CAB=45°，
∵PE⊥AC，
∴∠AEP=90°，
在△AEP中，∠APE=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴∠EAP=∠APE．
∴AE=EP；
（2）连接CD．

∵∠C=90°，D为AB的中点，
∴CD=AD．
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴∠DCF=∠ACB=45°．
∴∠A=∠FCD．
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90°，
∴∠ECF=∠PEC=∠PFC=90°．
∴四边形EPCF是矩形．
∴EP=CF
∵AE=PF
∴AE=CF
在△ADE和△CDF中，，
∴△ADE≌△CDF
∴DE=DF
（3）∵四边形EPCF是矩形
∴EF=CP
∴EF最小时，CP也最小．
由垂线段最短可知：当CP⊥AB时，PC最短．
∴当点P为AB的中点，CP最小．
在Rt△ABC中，AB==3
∴EF的最小值=CP=．
点评： 本题主要考查的是矩形的性质和判定、求得三角形的性质和判定、直角三角形斜边上中线的性质、等腰三角形的性质，垂线段最短，熟练掌握相关性质是解题的关键．
25．数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：
如图①，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．

（1）求证：AP=CQ；
（2）如图②，小明在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并证明．
（3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转到三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC的延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEQ的面积．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）根据题意证明∠ADP=∠CDQ，再根据三角形全等的判定定理证明△ADP≌△CDQ，得到答案；
（2）证明△PDE≌△QDE，根据全等三角形的性质即可证明结论；
（3）根据AB：AP=3：4和AB=6，求出AP的长，根据全等三角形的性质求出CQ、DQ，根据角平分线的性质求出EQ的长，根据三角形的面积公式计算得到答案．
解答： 证明（1）∵四边形ABCD正方形，
∴∠A=∠DCQ=∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ADP+∠PDC=90°，
∠CDQ+∠PDC=90°，
∴∠ADP=∠CDQ，
在△ADP和△CDQ中，
，
∴△ADP≌△CDQ，
∴AP=CQ；
（2）∵DE平分∠PDQ，
∴∠PDE=∠EDQ，
∵△ADP≌△CDQ，
∴DP=DQ，
在△PDE和△QDE中，
，
∴△PDE≌△QDE，
∴PE=EQ；
（3）∵AB：AP=3：4，AB=6，
∴AP=8，则BP=2，
由勾股定理得，DP=10，
由（2）可知，CQ=AP=8，DQ=DP=10，
∵BP∥DC，
∴△PBH∽△DCH，
∴==，
∴DH=，CH=，则HQ=，
∵DE是∠PDQ的平分线，
∴=，
∴=，
∴EQ=，
则△DEQ的面积=6×=．

点评： 本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及角平分线的性质，灵活运用相关的定理是解题的关键，注意类比思想的正确运用．
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