子式和秩的关系.doc

二、矩阵的秩
1．定义2.10 m×n阶矩阵A的行秩、列秩，统称为矩阵A的秩，记作r(A)
注1°0≤r(A)≤min
  2°r(A)=m称A为行满秩矩阵
     r(A)=n称A为列满秩矩阵
     行满秩或列满秩，统称为满秩矩阵。
  3°看例1，只要将A化为阶梯形，知道行秩即可得矩阵的秩，即

      由B的行向量值，知道行秩为2，∴
2．矩阵秩的判断定理
引 n个n维向量的相关与无关，可以通过构成的n阶行列式是否为零来判断。
矩阵的秩是否也可以通过矩阵中元素构成的行列式来讨论呢？这就是下面要阐述的判断定理。
(1)矩阵A的k阶子式
行列式的k阶子式的概念同样可以运用到矩阵上来。即：
在矩阵 中，任取k行，k列，位于这些行列交叉处的 个元素按原来顺序组成的一个k阶行列式N，称为矩阵A的一个k阶子式。
(2)引理
矩阵A有r阶子式不为零，则r(A)≥r
证明
      不妨设A的前r行、r列构成的r阶子式

      则

      ……
       线性无关
      又 为 ， ，…， 增维所得。
      由“无关增维仍无关”，则 线性无关。
      ∴ r(A)≥r
(3)定理2.12

证明
1°设
    ∴ A的行向量中一定有r个线性无关，设为 ，由其构成矩阵

   则 的列秩为r，必有r个列向量线性无关。不妨设 线性无关
   所以
   即至少有一个r阶子式不为0。
2°仅证 r+1阶子式都为0
   设有r+1阶子式不为0，由引理r(A)=r+1，矛盾。

   首先 所有r+1阶子式都为0，
        由行列式展开定理，任意大于r+1阶的子式也为0。
         有r阶子式不为0
        由引理 r(A)≥r
        如果 ，由“ ”的证明必有 阶子式不为0，矛盾。
        ∴
* 一个矩阵通过初等变换，化阶梯形来确定矩阵的秩的方法，可以从定理2.12处再次找到依据。
看例1

      分析B，阶梯为2，必有2阶子式不为0
       为上三角行列式，必不为0。
      又第三行元素全为0，则任意3阶子式都为0
      ∴
下面举例说明如何借助矩阵研究向量组。
例2 从向量组中选出一个极大无关组，将其余向量用极大无关组线性表示，并求向量组的秩。

解 方法1
      以向量作为行构成矩阵A
      并对矩阵施以初等行变换，化阶梯形为B
      记录行的变换

       ∴

      ∴ ∴ 线性无关，即极大无关组。
       =0 ∴
       ∴
      方法2
      以向量作为列构成矩阵
      对 施以初等行变换

       线性无关 ∴ 线性无关，即极大无关组。
      仍然通过初等行变换，将 变为基本单位向量。

       ∴

注1°方法2的依据是定理2.10，对矩阵施以初等行变换，列向量间的线性关系不变，所以自始至终应施以初等行变换。2°将极大无关组中向量化为基本单位向量，目的在使线性表示一目了然。因为
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