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参数方程化普通方程
　　[重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。
　　[例题分析]
　　1．把参数方程化为普通方程(1)　(θ∈R，θ为参数)
　　解:∵ y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入，∴ y=3-2x2,

　　又∵ |sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴ |x|≤1, 1≤y≤3,
　　∴ 所求方程为y=-2x2+3 　(-1≤x≤1, 1≤y≤3)
　　(2)　(θ∈R，θ为参数）
　　解:∵ x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴ x2=1+2y。
　　又∵ x=sinθ+cosθ=sin(θ+)　　y=sinθcosθ=sin2θ
　　∴ |x|≤，|y|≤。 ∴ 所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤)
　　小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。
　　(3)　(t≠1, t为参数)
　　法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。
　　x+y==1,　又x=-1≠-1，y=≠2,
　　∴ 所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。
　　法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由x=, ∴x+xt=1-t,
　　∴ (x+1)t=1-x，即t=　代入　y==1-x，∴ x+y=1，（其余略）
　　这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。
　　(4)(t为参数)
　　分析:此题是上题的变式，仅仅是把t换成t2而已，因而消参方法依旧，但带来的变化是范围的改变，可用两种求值域的方法:
　　法一:x=-1, ∵t2≥0, t2+1≥1,∴ 0<≤1, ∴-1<-1≤1, ∴-1<x≤1。
　　法二:解得t2=≥0, ∴ -1<x≤1,同理可得出y的范围。
　　(5) (t为参数)
　　分析:现在综合运用上述各种方法进行消参，首先，求x,y范围。
　　由x=得x2=≥0, ∴-1<x≤1,由y=, t=0时，y=0；
　　t≠0时，|y|=≤=1，从而|y|≤1。
　　法一:注意到分子，分母的结构，采用平方消参，
　　x2+y2=()2+()2===1。
　　法二:关键能不能用x, y表示t，且形式简单
　　由x=得t2=，代入y==t(1+x)
　 ∴t=　再代入x=，化简得x2+y2=1。
　　法三:注意到表达式与三角中万能公式非常相象
　　可令t=tgθ，θ∈(-)，∴x==cos2θ,　y==sin2θ,
　　∴ x2+y2=1，又2θ∈(-,)，∴ -1<x=cos2θ≤1, -1≤y=sin2θ≤1,所求方程为x2+y2=1(x≠-1)。
　　2．已知圆锥曲线方程是
　　1）若t为参数，φ为常数，求它的普通方程，并求出焦点到准线的距离。
　　2）若φ为参数，t为常数，求它的普通方程，并求它的离心率e。
　　解:1）由已知，　由(1) 得t=代入(2)
　　y-4sinφ+5=-6·(x-5cosφ-1)2=-(y-4sinφ+5)
　　为顶点在(5cosφ+1,4sinφ-5)开口向下的抛物线，其焦点到准线距离p=。
　　2）由已知　∴ =1，
　　表示中心在(3t+1, -6t2-5)的椭圆，其中a=5, b=4, c=3，∴ e=。
　　分析:从上题可以看出，所指定参数不同，方程所表示的曲线也各不相同。从而给出参数方程一般应指明所取参数。
　　3．抛物线y2=4p(x+p)(p>0)，过原点作互相垂直的两条直线分别被抛物线截得线段为AB，CD，M为AB中点，N为CD中点，G为MN中点。求G点轨迹方程，并说明其图形。
　　解:设AB方程为y=kx代入抛物线方程y2=4p(x+p)
　　∴ k2x2-4px-4p2=0, 若A，B坐标为(x1, y1), (x2, y2) 则
　　∴ xM=, yM=,
　　∵ AB⊥CD,∴ CD方程为y=-x，代入y2=4p(x+p)，
　　∴ x2-4px-4p2=0，设C(x3, y3),D(x4,y4)

　　∴ N(2pk2, -2pk) 则G点坐标(x,y)为
　　y2=p2(+k2-2)=p2(-2)=p(x-2p)

　　x=p(k2+)≥p·2=2p，而y∈R在方程中都已体现，
　　∴ 轨迹方程为y2=p(x-2p)为顶点(2p,0)开口向右的抛物线。
　　说明:消参一般应分别给出x,y的范围，而二题中变量的范围已体现在方程之中。在某些特殊情况，消参之后给出x,y的范围也不能说明原曲线的轨迹，这时应用语言作补充说明。如方程 θ∈[0,π]，是个圆，但消参之后得x2+y2=1(|x|≤1, |y|≤1)却无法说明这一点。
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　　选择题
　　1．曲线的参数方程为（φ为参数），则方程所表示的曲线为（　）
　 A、射线　　B、线段　　C、双曲线的一支　　D、抛物线
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　　2．参数方程（θ为参数，且0≤θ<2π）所表示的曲线是（　）.
　 A、椭圆的一部分　　　　　　　　　　　B、双曲线的一部分
　 C、抛物线的一部分，且过(-1，)点　　D、抛物线的一部分，且过(1，)点
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　　3．已知直线l的参数方程为则直线l的倾斜角为（　）
　 A、　　B、　　C、　　D、
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　　4．抛物线（t为参数）的准线方程是（　）
　 A、x=3　　B、x=-1　　C、y=0　　D、y=-2
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　　5．弹道曲线的参数方程为（t为参数，α，v0，g为常数）当炮弹到达最高点时，炮弹飞行的水平距离是（　）
　 A、　　B、　　C、　　D、
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答案与解析
　　答案：1、B　 2、D 　3、D 　4、D　 5、C

　　解析：
　　（1）∵ x=cos2φ∈[0，1]，y=1-cos2φ=1-x，∴ x+y-1=0， x∈[0，1]为一条线段。故本题应选B。

　　（3）本题认为直线l的倾斜角是是不对的，因为只有当直线的参数方程为：
　　（其中t为参数），其中的α才是直线的倾斜角，消去参数t，化参数方程为普通方程后，再求直线l的倾斜角是可以的。但直线l的倾斜角θ适合tanθ=，
　　这里只要把两个方程相除就可得：，∴ tanθ==-，
　　又0≤θ<π， ∴θ=。故本题应选D。
　　（4）化参数方程为直角坐标方程，得(x-2)2=4(y+1)，其准线方程为y=--1=-2。故本题应选D。
　　（5）由y=v0tsinα-知，当炮弹到达最高点时，t=，代入x=v0tcosα，得
　　x=v0cosα·。故本题应选C。
参数方程、极坐标·疑难辨析
　　参数方程是曲线与方程理论的发展，极坐标是坐标法的延伸．参数方程的基本概念与极坐标系的理论是本章的重点．参数方程与消去参数后所得的普通方程同解性的判定、极坐标方程与曲线的基本理论是本章的难点与疑点．弄清这两个难点，把握参数法变与不变矛盾的统一的思想是学好本章的关键．
　　把握求轨迹方程的参数法的基本思路和消参数的基本方法，重视消参数前后x、y的取值范围的变化是保证轨迹完备性、纯粹性的关键．弄清一点的极坐标的多种表达式：（(-1)nρ，θ+nπ），（n∈Z）和极坐标与直角坐标的互化是运用极坐标解决问题的基本功．
　　题1　下列参数方程（t是参数）中方程y2=x表示同一曲线的是（　 ）

　　【疑难或错解】　参数方程与消去参数后所得的普通方程是否表示同一曲线的判定是一难点．问题的实质在于判定方程的同解性．方程的同解性原是代数中的难点，加上参数方程中出现的函数不局限于代数函数，其困难就更大了．本题各个参数方程消去参数后所得普通方程都是y2=x，更增加迷惑性，因而误选A、B、C都有．
　　【剖析】　从A、B、C、D消去参数t后所得的普通方程都是y2=x．但在A中y=t2≥0，这与y2=x中y的允许值范围y∈R不一致，故A应排除．在B中，x=sin2t≥0，x∈[0，1]与y=sint∈[-1，1]与方程y2=x中的x，y取值范围不一致，故B也应排除．

　　中的x∈[0，+∞)，y∈R完全相同，所以D中参数方程与y2=x同解，应选D．
　　【点评】　参数方程与消去参数后所得普通方程是否同解的判定，涉及函数定义域与值域的研究而无通法可循，只能根据参数方程通方程F(x，y)=0中x，y的允许值范围（即方程F(x，y)=0的定义域）是否一致来判断．仅根据消去参数后所得的普通方程F(x，y)=0的外形来判定，常易失误．
　　表示的曲线是（　 ）
　　A．圆　　B．半圆　　C．四分之一圆　　D．以上都不对
　消去θ，得x2+y2=1，未分析x，y的取值范围，即断言表示的曲线为圆，而误选A．
　时t不存在，所以消去t后方程x2+y2=1中x≠-1，即在圆x2+y2=1中应除去一点（-1，0）．所以此参数方程表示的曲线为单位圆x2+y2=1上除去一点（-1，0）．在普通方程x2+y2=1中应注明x∈(-1，1］．应选D．
　　为参数)交于A、B两点，求弦长|AB|．
　　【疑难或错解】　以直线的参数方程代入双曲线的普通方程(y-2)2-x2=1，有(-4t)2-(-1+3t)2=1，即

　　7t2+6t-2=0．　①

　　方程①的两个根分别为t1=PA，t2=PB，其中点P的坐标为（-1，2）．

　　方程①的两个根：

　　错解混淆了直线参数方程的标准型和非标准型中参数t的几何意义．在标准型中，P（x0，y0）为直线上的定点，Q（x，y）为直线上任意一点，则t表示有向线段PQ的数量（规定直线向上、向右为正方向）．这一结论不适用于非标准型．因此运用直线参数方程求二次曲线的弦长时，应先将直线的参数方程化为标准型，否则将导致错误．

　　将双曲线方程化为普通方程：
　　∴(y-2)2-x2=1．　　　　　　②

　　方程③的两个根分别为t1=PA，t2=PB,

　　【点评】　设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．
　　的定点，

　　故　x1-x2=a(t1-t2)，y1-y2=b(t1-t2)，∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=(a2+b2)(t1-t2)2．

　　利用这一结果也可求|AB|之长，结果与正解同．

　　所以此曲线为以为端点的线段。
　　【点评】　消去参数过程中不分析x，y的取值范围，导致轨迹纯粹性受破坏．

　　【剖析】　错解仅考虑ab≠0的情况，而忽视ab=0的情形，因而解答不完整．ab=0时，有a=0，b≠0；a≠0，b=0；a=0，b=0三种情况，应逐一进行讨论．
　　【正确】　当ab≠0时，如上解有
　　当ab=0时，有下列三种情形：

　　（1）a=0，b≠0时，原方程为此时，曲线为y轴（含原点）．
　　（2）a≠0，b=0，原方程为

　　∴|x|≥|a|，即x≥|a|或x≤-|a|．消去t，得普通方程为y=0，x∈(-∞，-|a|]∪[|a|，+∞)．此时曲线为x轴上的两条射线，端点分别为(|a|，0)指向正半轴；(-|a|，0)指向负半轴．

　　【点评】　消去参数过程中不注意方程中x，y的取值范围，对任意常数a，b的可能情况不分别讨论是导致失误的主要原因．
　　（t为参数）．问l1与12是否表示同一曲线？为什么？
　　【疑难或错解】　l1：

　　未对x，y的取值范围进行分析，根据两曲线的普通方程，即断言l1和l2表示同一直线，焉能不失误．
　　【剖析】　在曲线l1的参数方程中，x=1+cos2θ=2cos2θ∈[0，2]，消去参数θ所得的普通方程2x-y+1=0中
x∈[0，2]，所以曲线l1为以（0，1）与（2，5）为端点的线段．

　　只l2，所以l1、l2不是同一条曲线．
　　【点评】　在曲线l1消去参数时，未分析x的取值范围，破坏了轨迹的纯粹性，是导致失误的主要原因．

　　A．20°　　B．70°　　C．110°　　D．160°
　　而误选（A）．
　　（D）．
　　还有将原方程化为
　　而无法作出判断．
　　【剖析】　 上述疑难的根源在于对直线参数方程标准型概念模糊所致．在直线参数方程的标准型：

sinα＞0，故当a＜0，b＞0，且a2+b2=1时，才是标准型．

　　等都不是直线参数方程的标准型，由此推出的直线的倾斜角都是错的。

　　欲将其化为标准型，应将x=tsin20°+3化为x=3+(-t)sin(-20°)=3+(-t)cos(90°+20°)

　　即x=3+(-t)cos110°，y=(-t)sin(90°+20°)=(-t)sin110°．

　　这才是此直线参数方程的标准型，此直线倾斜角为110°，应选C．

倾斜率为110°，无须化为标准型．另外结合直线的图像，过点（3，0）、（3+sin20°，-cos20°）。所以直线的倾斜角为钝角，排除A、B，又由cos20°＞sin20°，可知倾斜角＜160°，排除D，而选C．诚如华罗庚所说：“不可得义忘形”，形义结合，常可快速获解。
　　B两点，试求|PA|+|PB|之值．
　　【疑难或错解】　直线l的参数方程为

　　代入椭圆方程，得

　　方程②的两个根分别为t1=PA，t2=PB．

　　∵t1=PA＞0，t2=PB＜0．

　　∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1-t2

　　【剖析】　错解对P(x0，0)的不同位置未加分析，贸然画图，把点P画在椭圆内部，只就|x0|＜5的情况作解答，忽视了点P在椭圆上或外的情况，可见错解是不完整的．
　　【正确】　当点P(x0，0)在椭圆内部时，|x0|＜5，此时，
　　上时，|x0|=5，
　　方程②为

　　当点P(x0，0)在椭圆外时，|x0|＞5，t1t2＞0，即t1、t2同号，

　　【点评】　当问题中出现任意常数（如这里的x0）时，应考虑各种可能，逐个进行分析讨论，否则可能犯以偏概全或漏解的错误．

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