2014届广东省深圳市南山区高三上学期期末考试理科数学试卷及答案.doc

南山区高 三 期 末 考 试
理 科 数 学 2014.01.08
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损.之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B铅笔填涂相应的信息点．
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效．
3、非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排、如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案、不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．
4、考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损、考试结束后，将答题卡交回．
5、考试不可以使用计算器．

第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．
1、已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么∁UP=
A、(－∞，－1) B、(1，+∞)
C、(－1，1) D、(－∞，－1)∪(1，+∞)
2、计算：
A、2 B、－2 C、2i D、－2i
3、下列函数中是偶函数，且又在区间(－∞，0)上是增函数的是
A、y=x2 B、y=x-2 C、 D、
4、下列命题中的假命题是
A、$x∈R，x3<0 B、“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件
C、∀x∈R，2x>0 D、“x<2”是“|x|<2”的充分不必要条件
5、已知x，y满足，则z=2x－y的最大值是
A、 B、 C、 D、2
6、已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，且A=60o，c=3b，
则的值为
A、 B、 C、 D、
7、点P是抛物线y2=4x上一动点，则点P到点A(0，－1)的距离与到直线x=－1的距离和的最小值是
A、 B、 C、2 D、
8、若对任意a，b∈A，均有a+b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，下面正确的是
A、集合{－4，－2，0，2，4}为闭集合
B、集合{n|n=3k，k∈Z}为闭集合
C、若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
D、闭集合A至少有两个元素
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
(一)必做题：(11～13题)：
9、已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n，(n∈N*)，则an=______.
i=i+1
S=2(S+1)
i=1，S=1
开始
结束
输出S
i>5
是
否
10、如果执行右图程序框图，那么输出的S=______.

11、命题“若空间两条直线a，b分别垂直平面α，则a∥b”，学生小夏这样证明：设a，b与平面α相交于A，B，连结A、B，
∵a⊥α，b⊥α，ABÌα，…… ①
∴a⊥AB，b⊥AB， ……②
∴a∥b. ……③
这里的证明有两个推理，即①Þ②和②Þ③，老师评改认为小夏的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是_________.
12、已知，，且，则x的值为______.
13、双曲线(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，以过F1作倾斜角为30o的直线交双曲线的右支与M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为__________.
(二)选做题：(14～15题，考生只能从中选做一题)：
14、(坐标系与参数方程选做题)
A
B
C
D
E
F
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________________.
15、(几何证明选讲选做题)
如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，
则__________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤.
16、(本小题满分12分)
已知函数(x∈R)的最小正周期为T=6π，且f(2π)=2.
(1)求f(x)的表达式；
(2)设，，，求cos(α－β)的值.

17、(本小题满分12分)
有甲乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.

优秀
非优秀
总计
甲班
10

乙班

30

合计

105
已知在全部105人中抽到随机抽取一人为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表；
(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；
(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生 抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚的骰子，出现的点数之和为被抽取人序号. 试求抽到6或10号的概率.

18、(本小题满分14分)
如图所示，在所有棱长都为2a的直三棱柱ABC-A1B1C1中，D点为棱AB的中点.
(1)求四棱锥C1-ADB1A1的体积；
(2)求证：AC1∥平面CDB1；
A
B
C
D
A1
B1
C1
(3)求异面直线AC1与DB1所成的角的余弦值.

19、(本小题满分14分)
已知椭圆C：(a>b>0)的离心率为，其左焦点为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点D(1，0)，直线l：y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，设线段AB的中点为M，若DM⊥AB，试求k的取值范围.

20、(本小题满分14分)
已知函数(x>0)，设f(x)在点(n，f (n) (n∈N*)处的切线在y轴上的截距为bn，数列{an}满足a1=0.5，an+1= f(an) (n∈N*).
(1)求a2，a3的值；
(2)证明数列是等差数列并求出数列{an}的通项公式；
(3)在数列中，仅当n=5时，取得最小值，求λ的取值范围.

21、(本小题满分14分)
已知函数f(x)=ln(x－a)－x2的一个极值点.
(1)当a=0.5时，求函数y= f(x)的单调区间；
(2)若函数y= f(x)在[1，2]上为减函数，求实数a的取值范围；
(3)若直线y=x为函数y= f(x)的图像的一条切线，求实数a的值.

高三数学(理)参考答案及评分标准
2014、01、08
一、选择题：(10×5′=50′)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
B
D
D
C
B
A
B
A
二、填空题：(4×5′=20′)
11、2n ；1 2、94； 13、②⇒③； 14、ρ=2sinθ； 15、1.
三、解答题：(80′)
16、(本题满分12分)
解：(1)依题意得，∴， ……2分由f(2π)=2，得，即，∴A=4， ……4分
∴. ……5分
(2)由，得，
即，∴， ……6分
又∵，∴， ……7分
由，得，
即，∴， ……9分
又∵，∴， ……10分
cos(α－β)= cosαcosβ+ sinαsinβ. ……12分
17、(本题满分12分)
解：(1)

优秀
非优秀
总计
甲班
10
45
55
乙班
20
30
50
合计
30
75
105
……3分
(2)根据列联表中的数据，得到
， ……5分
因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”. ……6分
(3)设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y).
所有的基本事件有(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(1，5)、(1，6)、
(2，1)、(2，2)、(2，3)、(2，4)、(2，5)、(2，6)、(3，1)、(3，2)、(3，3)、(3，4)、(3，5)、(3，6)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(4，4)、(4，5)、(4，6)、
(5，1)、(5，2)、(5，3)、(5，4)、(5，5)、(5，6)、(6，1)、(6，2)、(6，3)、(6，4)、(6，5)、(6，6)，共36个. ……8分
事件A包含的基本事件有：(1，5)、(2，4)、(3，3)、(4，2)、(4，6)、
(5，1)、(5，5)、(6，4)，共8个， ……10分
∴， ……11分
A
B
C
D
A1
B1
C1
M
故抽到6或10号的概率是. ……12分
18、(本题满分12分)
解：(1)取线段A1B1中点M，连结C1M，
∵C1A1=C1B1，点M为线段A1B1中点，
∴C1M ⊥A1B.
又三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴A1A⊥平面C1A1B1，
∴A1A⊥C1M，
A
B
C
D
A1
B1
C1
E
∵A1A ∩A1B1= A1，
∴C1M⊥平面ADB1A1， ……2分
∴.
……5分
(2)连结BC1，B1C交于点E，
则点E是B1C的中点，连结DE，
因为D点为AB的中点，
所以DE是△ABC1的中位线，
所以AC1∥DE， ……7分
因为DEÌ平面CDB1，AC1 ⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.
……9分
(3)因为AC1∥DE，
所以∠EDB1是异面直线AC1与DB1所成的角， ……10分
因为棱长为2a，所以，，
取DB1的中点F，连接EF，则EF⊥DB1，且， ……12分
所以，
即异面直线AC1与DB1所成的角的余弦值为. ……14分
19、(本题满分14分)
解：(1)由题意知，，，∴a=2，b=1， ……1分
所以，椭圆C的方程为. ……4分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，
由，得(4k2+1)x2+8kmx+4(m2－1)=0， ……6分
据△>0，得4k2+1>m2 (※)， ……7分
有，，∴，
∴，， ……10分
又由题意知，DM垂直平分AB，则DM的方程为：x=－ky+1，……11分
将点M的坐标代入，得， (☆) ……12分
由(※)，(☆)得，，
解得所求. ……14分
20、(本题满分14分)
解：(1)易求得，. ……2分
(2)∵，则， ……3分
得， ……5分 即， ……6分
∴数列是首项为2，公差为1的等差数列， ……7分
∴， 即. ……9分
(3) ∵， ……10分
∴函数f(x)在点(n，f(n))(n∈N*)处的切线方程为：， ……11分
令x=0，得. ……12分
∴，
仅当n=5时取得最小值，只需，解得－11<λ<－9，
故λ的取值范围为(－11，－9)． ……14分
21、(本题满分12分)
解：(1)当时，f(x)的定义域为， ……1分
又 ……2分
∴时，f′(x)>0；x∈(1，+∞)时，f′(x)<0. ……3分
所以f(x)的递增区间为，递减区间为(1，+∞). ……4分
(2)当x∈[1，2]时，x－a>0恒成立，即a<1； ……5分
当x∈[1，2]时，恒成立，即恒成立，
……6分
又x∈[1，2]时，， ……8分
所以. ……9分
(3)设切点为(x0，y0)，则， ……10分
所以ln(x0－a)－x02=x0，且，即.
所以，所以 ……11分
设g(x)=x2+x+ln(1+2x)，，则，
所以g(x)在上为增函数，又g(0)=0， ……13分
所以g(x)=0有唯一解x=0，故x0=0，于是a=－1. ……14分
·14·