浙江省杭州二中高三数学6月适应性考试试题-理.doc

2013杭州二中高三年级高考适应性考试数学（理科）
本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．
选择题部分（共50分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字亦的签字笔或钢笔镇写在答题纸规定的位置上．
2．每小题选出后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．

参考公式：
如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的体积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh
如果事件A, B相互独立, 那么 其中S表示棱柱的底面积, h表示棱柱的高
P(A·B)=P(A)·P(B) 棱锥的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是p, 那么n V=Sh
次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率 其中S表示棱锥的底面积, h表示棱锥的高
Pn(k)=Cpk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 球的表面积公式
棱台的体积公式 S = 4πR2
球的体积公式
其中S1, S2分别表示棱台的上．下底面积, h表示棱台 V=πR3
的高 其中R表示球的半径

第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知集合， ，且，那么的值可以是( )
A. B. C. D.
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为( )
A. B. C. D.

4．如果执行右面的程序框图，那么输出的为( )
A. 96 B. 120 C. 144 D. 300
5．已知，，则下列说法正确的是( )
A . 是的充要条件 B. 是的充分不必要条件
C. 是的必要不充分条件 D. 是的既不充分也不必要条件
6．在的展开式中，x的指数为整数的项共有( )
A. 3项 B. 4项 C. 5项 D. 6项
7．已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．已知函数 ,则下列结论正确的是( )
A.在上恰有一个零点　　 B.在上恰有两个零点
C.在上恰有一个零点　 　 D.在上恰有两个零点
9．如图，等腰梯形中，且，设，，以、为焦点，且过点的双曲线的离心率为；以、为焦点，且过点的椭圆的离心率为，则( )
A. 当增大时，增大，为定值 B. 当增大时，减小，为定值
C. 当增大时，增大，增大 D. 当增大时，减小，减小
10．若曲线在点处的切线平行于曲线在点处的切线，则直线的斜率为( )
A. B. 1 C. D.
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况，某市卫生部门对本地区9月份至11月份注射疫苗的所有养鸡场进行了调查.图1表示每个月所调查的养鸡场的个数，图2表示三个月中各养鸡场注射了疫苗的鸡的数量的平均数.根据下图表提供的信息，可以得出这三个月本地区每月注射了疫苗的鸡的数量平均为 万只.

12．有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有_____种．（用数字作答）
13．已知角的终边经过点，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则= ．
14．各项均为正数的等比数列满足，若函数的导数为，则 ．
15．在公园游园活动中有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有1个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同；每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏结束后将球放回原箱）.在两次游戏中，记获奖次数为,则的数学期望为___________.
第17题图
16．在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值为_________________.
17．如图，在直角梯形中，，∥，，，动点在以点为圆心，且与直线相切的圆上或圆内移动，设（，），则取值范围是 .

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（本题满分14分）已知函数．其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点．
( Ⅰ) 函数的表达式；
（Ⅱ）在中,分别是角的对边，，，角为锐角,且满足，求的值．
19．（本题满分14分）数列满足，
（Ⅰ）求证：为等差数列，并求出的通项公式；
（Ⅱ）设,数列的前项和为,对任意都有成立，求整数的最大值.

B
C
E
D

图2
图1
A
B
C
D
E
20．（本题满分14分）等边三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图1）．将△沿折起到△的位置，使二面角成直二面角，连结、 （如图2）．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为?若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．

21．（本题满分15分）已知抛物线，直线与抛物线交于两点.
（Ⅰ）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值.

22．（本题满分15分）已知函数，
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）设函数，若存在，使得成立，求的取值范围；
（Ⅲ）若方程有两个不相等的实数根，求证：．

2013年杭州二中适应性考试参考答案
一、 选择题DBABB ADCBC
9

二、 填空题 11 .90 12 .50 13. 14. 15. 16. 17.
15. 分析：，
或
16.

三、 解答题：
18. 解：（Ⅰ）.
两个相邻对称中心的距离为，则， 又过点，
.
（Ⅱ），，
，又，
由余弦定理得，.
19. 解：（1） ∴
∴为首次为-2，公差为-1的等差数列∴=-2+（n-1）×（-1）=-（n+1） ∴
(2)令
∴=
= ∴Cn+1-Cn>0 ∴｛Cn｝为单调递增数列
∴∴∴m<19 又∴m的最大值为18
20. 证明：（1）因为等边△的边长为3，且，所以，．
在△中，，由余弦定理得．
B
C
E
D

H
P
因为，所以．折叠后有． 因为二面角是直二面角，所以平面平面． 又平面平面，平面，，所以平面．
（2）解法1：假设在线段上存在点，使直线与平面所成的角为．如图，作于点，连结、．
由（1）有平面，而平面，所以．又，所以平面．
所以是直线与平面所成的角． 设，则，．在△中，，所以． 在△中，，．
由，得．解得，满足，符合题意．
B
C
E
D

H
x
y
z
P
所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．
解法2：由（1）的证明，可知，平面．
以为坐标原点，以射线、、分别为轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系如图．设，则，，．
所以，，．
所以．因为平面，所以平面的一个法向量为．因为直线与平面所成的角为，所以 ， 解得．
即，满足，符合题意． 所以在线段上存在点，使直线与平面所成的角为，此时．
21. 解：（Ⅰ）联立，消并化简整理得. 依题意应有，解得.
设，则，设圆心，则应有.
因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，
又 .
所以，解得. 所以，所以圆心为.
故所求圆的方程为.
（Ⅱ）因为直线与轴负半轴相交，所以，又直线与抛物线交于两点，由（Ⅰ）知，所以，
点到直线的距离 ， 所以. 令，，在增函数，在是减函数的最大值为. 所以当时，的面积取得最大值.
22. 解析：（1）
当时，，函数在上单调递增，函数的单调增区间为
当时，由得；由得
函数的单调增区间为，单调减区间为
（2）当时，
则当时，，
① 当，则显然成立，即
② 当，则，即综上可知
（3）是方程的两个不等实根，不妨设
则
两式相减得
即 又，当时；当 时
故只要证明即可，即证
即证明： ，设令则
则在为增函数，又
时，总成立，得证.

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