河北省衡水中学高三数学一模试题-理(含解析)新人教A版.doc

2013年河北省衡水中学高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）
1．（5分）（2013•牡丹江一模）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分集合．若x，y∈R，，B={y|y=3x，x＞0}，则A*B=（　　）
A．（2，+∞） B．[0，1）∪（2，+∞） C．[0，1]∪（2，+∞） D．[0，1]∪[2，+∞）

考点：
Venn图表达集合的关系及运算．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
先分别求出集合A和集合B，然后根据A*B表示阴影部分的集合得到A*B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}，最后根据新定义进行求解即可．
解答：
解：A={x|y=}=[0，2]
B={y|y=3x，x＞0}=[1，+∞）
根据A*B表示阴影部分的集合可知
A*B={x|x∈A或x∈B且x∉A∩B}
∴A*B={x|0≤x≤1或x＞2}
故选C．
点评：
本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力以及转化的能力，属于新颖题型．

2．（5分）如图，在△ABC中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（　　）

A．

B．

C．
1
D．
3

考点：
平面向量的基本定理及其意义．
专题：
计算题；证明题；平面向量及应用．
分析：
根据题意，设=λ，将向量表示成向量、的一个线性组合，再结合题中向量的等式，建立关于m、λ的方程组，解之即可得到实数m的值．
解答：
解：∵，
∴
设=λ，（λ＞0）得=+
∴m=且=，解之得λ=8，m=
故选：A
点评：
本题给出三角形的一边的三等分点，求某向量关于已知向量的线性关系式，着重考查了向量的线性运算、平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题．

3．（5分）（2013•渭南二模）设x，y满足约束条件，则取值范围是（　　）

A．
[1，5]
B．
[2，6]
C．
[3，10]
D．
[3，11]

考点：
简单线性规划的应用．
专题：
计算题；数形结合．
分析：
再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3即可．
解答：
解：根据约束条件画出可行域，
∵设k==1+，
整理得（k﹣1）x﹣2y+k﹣3=0，由图得，k＞1．
设直线l0=（k﹣1）x﹣2y+k﹣3，
当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，
当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．
故选 D．

点评：
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．

4．（5分）定义在R上的可导函数f（x），已知y=ef'（x）的图象如图所示，则y=f（x）的增区间是（　　）

A．
（﹣∞，1）
B．
（﹣∞，2）
C．
（0，1）
D．
（1，2）

考点：
函数的单调性与导数的关系．
专题：
计算题；数形结合．
分析：
由题意知，欲求函数的增区间，由图象确定出函数导数为非负的区间就可以了，由于y=ef'（x）是一个指数型的函数，当指数大于0时函数值大于1，故由图象找出函数图象在直线y=1上面的那一部分的自变量的集合即为所求
解答：
解：由题意如图f'（x）≥0的区间是（﹣∞，2）
故函数y=f（x）的增区间（﹣∞，2）
故应选B
点评：
本题考查函数的单调性与导数的关系，由于函数的导数是指数型函数的指数，故可以借助指数函数的图象观察出导数非负的区间，此即为函数的递增区间．

5．（5分）如图，过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线与圆（x﹣1）2+y2=1于A，B，C，D，则|AB|•|CD|=（　　）

A．
4
B．
2
C．
1
D．

考点：
圆与圆锥曲线的综合．
专题：
计算题；综合题．
分析：
当直线过焦点F且垂直于x轴时，|AD|=2p=4，|BC|=2r=2，由抛物线与圆的对称性知：|AB|=|CD|=1，所以|AB|•|CD|=1．
解答：
解：由特殊化原则，
当直线过焦点F且垂直于x轴时，
|AD|=2p=4，
|BC|=2r=2，
由抛物线与圆的对称性知：
|AB|=|CD|=1，
所以|AB|•|CD|=1；
故选C．
点评：
本题以抛物线与圆为载体，考查圆的性质和应用，解题时恰当地选取取特殊值，能够有效地简化运算．

6．（5分）（2010•宁波模拟）如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（　　）

A．
1
B．

C．

D．

考点：
异面直线及其所成的角；简单空间图形的三视图．
专题：
计算题．
分析：
先将三视图转化成空间图形，取AD的中点E，连接BE，PE，CE，将CD平移到BE，根据异面直线所成角的定义可知∠PBE为异面直线PB与CD所成角，在Rt△PBE中，求出此角的正切值即可．
解答：
解：取AD的中点E，连接BE，PE，CE，
根据题意可知BE∥CD，
∴∠PBE为异面直线PB与CD所成角
根据条件知，PE=1，BE=，PE⊥BE
∴tan∠PBE=
故选C．

点评：
本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及空间图形的三视图等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．

7．（5分）已知的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆 上，且满足（O为坐标原点），，若椭圆的离心率等于，则直线AB的方程是 （　　）

A．

B．

C．

D．

考点：
椭圆的简单性质．
专题：
计算题．
分析：
由已知求出 设A（c，y）结合椭圆几何性质，进一步得出A（c，），直线方程可求．
解答：
解：∵，∴AF2⊥F1F2 设A（c，y）则∴y=，椭圆的离心率e==，，a=，
b2=a2﹣c2=c2∴A（c，），又，∴A，B关于原点对称，则直线AB的方程是
故选A
点评：
本题主要考查向量运算及应用、椭圆的几何性质、直线方程求解．

8．（5分）函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）=﹣x的图象所围成的封闭图形的面积为（　　）

A．

B．
2
C．

D．
3

考点：
定积分在求面积中的应用．
专题：
计算题．
分析：
先将两函数联立求得两图象的交点坐标，以确定积分区间，再根据图象和定积分的几何意义确定被积函数为f（x）﹣g（x），最后利用微积分基本定理计算定积分即可得面积
解答：
解：由得和
∴函数f（x）=﹣2x2+7x﹣6与函数g（x）=﹣x的图象所围成的封闭图形的面积S=∫13（f（x）﹣g（x））dx=∫13（﹣2x2+8x﹣6）dx
=（﹣x3+4x2﹣6x）|13=（﹣18+36﹣18）﹣（﹣+4﹣6）=
故选C
点评：
本题考查了定积分的几何意义和运算性质，微积分基本定理及其应用

9．（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左右焦点，P为双曲线上除顶点外的任意一点，且△F1PF2的内切圆交实轴于点M，则|F1M|•|MF2|的值为（　　）

A．
b2
B．
a2
C．
c2
D．

考点：
直线与圆锥曲线的关系．
专题：
圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
利用双曲线的定义，求出|F1M|=c+a或c﹣a，|F2M|=c﹣a或c+a，即可得出结论．
解答：
解：由已知，得|PF1|﹣|PF2|=±2a，即|F1M|﹣|F2M|=±2a．
又|F1M|+|F2M|=2c，
∴|F1M|=c+a或c﹣a，|F2M|=c﹣a或c+a．
因此|F1M|•|MF2|=（c+a）（c﹣a）=c2﹣a2=b2．
故选A．
点评：
本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的基本性质，考查学生的计算能力，属于中档题．

10．（5分）已知正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C分别是边P1P2，P2P3的中点，沿AB，BC，CA折叠成一个三棱锥P﹣ABC（使P1，P2，P3重合于P），则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为（　　）

A．
24π
B．
12π
C．
8π
D．
4π

考点：
球的体积和表面积；球内接多面体．
专题：
计算题；空间位置关系与距离．
分析：
因为折叠后的三棱锥的侧面PAB、侧面PBC、侧面PCA都是直角三角形，可得PA、PB、PC两两互相垂直，由球的几何性质得外接球的直径2R==2，从而半径R=，结合球的表面积公式，可得P﹣ABC的外接球表面积．
解答：
解：根据题意，得折叠后的三棱锥P﹣ABC中，侧面PAB、侧面PBC、侧面PCA都是直角三角形，
∴PA、PB、PC两两互相垂直，

∵PA=4，PB=PC=2
∴三棱锥P﹣ABC的外接球的直径为：2R===2
∴外接球的半径为R=，可得三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为S=4πR2=24π
故选：A
点评：
本题给出由正方形折叠成的三棱锥，求其外接球的表面积，着重考查了球的几何性质和表面积公式等知识点，属于基础题．

11．（5分）已知f（x）是偶函数，x∈R，若将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，又f（2）=﹣1，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=（　　）

A．
﹣1003
B．
1003
C．
1
D．
﹣1

考点：
函数的值．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
利用函数的奇偶性，及平移变换，从而得到函数f（x）是以4为周期的函数，再求出f（1）、f（3）、f（4），即可得出答案．
解答：
解：∵函知f（x）是R上偶函数，∴f（﹣x）=f（x）．
又将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，∴f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1）．
∴f（x+1）=f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），
∴f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），
∴函数f（x）是以4为周期的函数．
对于式子f（﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），令x=0，则f（﹣1）=﹣f（﹣1），
∴f（﹣1）=0=f（1），
∴f（3）=f（﹣1）=0，
又f（2）=﹣1，
∴f（4）=﹣f（3﹣1）=﹣f（2）=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0﹣1+0+1=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=f（2009）+f（2010）+f（2011）
=f（1）+f（2）+f（3）=0﹣1+0=﹣1．
故选D．
点评：
本题考查了函数的奇偶性、周期性及对称性，深刻理解以上性质是解决问题的关键．

12．（5分）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：
①当c=0时，有f（﹣x）=﹣f（x）成立；
②当b=0，c＞0时，方程f（x）=0，只有一个实数根；
③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称
④当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是．
其中正确的命题的序号是（　　）

A．
①②④
B．
①③④
C．
②③④
D．
①②③

考点：
命题的真假判断与应用．
专题：
压轴题；函数的性质及应用．
分析：
根据“奇”ד偶”=“奇”，“奇”+“奇”=“奇”，可得c=0时函数为奇函数，进而根据奇函数定义可判断①；
当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根，故②正确；
利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称，故③正确；
当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，b取不同值时，函数的最小值可判断④
解答：
解：当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，故①正确；
b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，故方程f（x）=0，只有一个实数根，故②正确；
对于③，因为f（﹣x）=﹣x|x|﹣bx+c，所以f（﹣x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确；
当x＞0时；函数f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，当b≤0时，f（x）有最小值是c，当b＞0时，f（x）有最小值是故④不正确．
故选D
点评：
本题以命题真假的判断为载体，考查了函数的单调性、奇偶性、图象的对称性和函数零点与等知识，属于基础题．

二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置）
13．（5分）已知定义在（﹣1，+∞）上的函数，若f（3﹣a2）＞f（2a），则实数a取值范围为　（，1）　．

考点：
函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法．
专题：
函数的性质及应用．
分析：
由函数的解析式可得函数在（﹣1，0）上是增函数，由 2x+1在[0，+∞）是增函数，且20+1≥3﹣2=1，
可得函数在（﹣1，+∞）上是增函数，故由不等式可得 3﹣a2 ＞2a＞﹣1，由此求得实数a取值范围．
解答：
解：由于==3﹣，故函数在（﹣1，0）上是增函数．
再由 2x+1在[0，+∞）是增函数，且20+1≥3﹣2=1，可得函数在（﹣1，+∞）上是增函数．
再由f（3﹣a2）＞f（2a），可得 3﹣a2 ＞2a＞﹣1，解得﹣＜a＜1，
故实数a取值范围为 （，1）．
点评：
本题主要考查函数的单调性的性质，注意2a＞﹣1，这是解题的易错点，属于中档题．

14．（5分）椭圆（a＞b＞0）且满足a≤，若离心率为e，则e2+的最小值为　　．

考点：
椭圆的简单性质；基本不等式．
专题：
计算题．
分析：
先根据e=，c=对e2+进行整理得2+，再根据a≤进而求得e2+的范围，求得最小值．
解答：
解：∵a≤，
e2+=+
=+
=2+
∵a≤，，∴a2≤3b2，
∴≥，且≥=
∴≥×=
∴e2+≥
故答案为：
点评：
本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．

15．（5分）设函数f（x）=2sin（x+）．若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为
　2　．

考点：
三角函数的周期性及其求法．
专题：
计算题．
分析：
先求出函数的周期，对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，说明f（x1）取得最小值，f（x2）取得最大值，然后求出|x1﹣x2|的最小值．
解答：
解：函数f（x）=2sin（x+）的周期T==4，
对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
说明f（x1）取得最小值，
f（x2）取得最大值，|x1﹣x2|min==2．
故答案为：2
点评：
本题是基础题，考查函数的周期，对表达式对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立的正确理解，是解题的关键，是突破口，|x1﹣x2|的最小值就是半周期．

16．（5分）设，对Xn的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S，则S2=　5　，Sn=　（n﹣1）2n+1　．

考点：
子集与真子集．
专题：
压轴题；规律型；探究型．
分析：
由题意得对M的任意非空子集A一共有2n﹣1个：在所有非空子集中每个元素出现2n﹣1次可以推出有2n﹣1个子集含n，有2n﹣2个子集不含n含n﹣1，有2n﹣3子集不含n，n﹣1，含n﹣2…有2k﹣1个子集不含n，n﹣1，n﹣2…k﹣1，而含k，进而利用错位相减法求出其和．
解答：
解：由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n﹣1次．
故有2n﹣1个子集含n，有2n﹣2个子集不含n含n﹣1，有2n﹣3子集不含n，n﹣1，含n﹣2…有2k﹣1个子集不含n，n﹣1，n﹣2…k﹣1，而含有k．
∵定义f（A）为A中的最大元素，
∴Sn=2n﹣1×n+2n﹣2×（n﹣1）+…+21×2+1
Sn=1+21×2+22×3+23×4+…2n﹣1×n①
又2Sn=2+22×2+23×3+24×4+…2n×n…②错位相减，
∴①﹣②可得﹣Sn=1+21+22+23+…+2n﹣1﹣2n×n
∴Sn=（n﹣1）2n+1
∴S2=（2﹣1）×22+1=5．
故答案为：5，（n﹣1）2n+1．
点评：
解决此类问题的关键是读懂并且弄清题意，结合数列求和的方法求其和即可，找出规律是关键，此题难度比较大．

三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=（1，cosA﹣1），=（cosA，1）且满足⊥．
（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若a=，b+c=3 求b、c的值．

考点：
解三角形；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
专题：
计算题；解三角形．
分析：
（Ⅰ）利用向量的数量积为0，建立方程，即可求A的大小；
（Ⅱ）由余弦定理可得bc=2与条件联立，即可求得结论．
解答：
解：（Ⅰ）∵向量=（1，cosA﹣1），=（cosA，1）且满足⊥，
∴cosA+cosA﹣1=0，∴cosA=，
∵A为△ABC内角，∴A=60°
（Ⅱ）∵a=，A=60°，
∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得a2=（b+c）2﹣2bc﹣2bccosA
∵b+c=3，∴3=9﹣3bc，bc=2
∴，解得或
点评：
本题考查向量的数量积，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．

18．（12分）（2012•怀化二模）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）当角θ变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围．

考点：
平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．
专题：
计算题；证明题．
分析：
解法一（几何法）（1）由已知中AC=BC，D是AB的中点，由等腰三角形三线合一，可得CD⊥AB，又由VC⊥底面ABC，由线面垂直的性质可得VC⊥AB，结合线面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD，再由面面垂直的判定定理可得平面VAB⊥平面VCD；
（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，连接BH，可得∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角，设∠CBH=φ，根据=asinφ，易得到直线BC与平面VAB所成角的取值范围．
解法二（向量法）（1）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分析求出，，易得根据向量数量积为0，得到CD⊥AB，VC⊥AB，结合线面垂直的判定定理可得AB⊥平面VCD，再由面面垂直的判定定理可得平面VAB⊥平面VCD；
（2）令直线BC与平面VAB所成的角为φ，求出平面VAB的一个法向量和，由向量夹角公式，易得到，进而得到直线BC与平面VAB所成角的取值范围．
解答：
解：法一（几何法）：
证明：（1）∵AC=BC=a
∴△ACB是等腰三角形，
又D是AB的中点∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC∴VC⊥AB
于是AB⊥平面VCD．
又AB⊂平面VAB∴平面VAB⊥平面VCD
解：（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，连接BH
则由（1）知AB⊥CH，∴CH⊥平面VAB
于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角．
在Rt△CHD中，CD=，；
设∠CBH=φ，在Rt△BHC中，CH=asinφ∴∵∴0＜sinθ＜1，
又，∴
即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为．
法二（向量法）：
证明：（1）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，
于是，，，．
从而，即AB⊥CD．
同理，
即AB⊥VD．又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB⊂平面VAB．∴平面VAB⊥平面VCD．
解：（2）设直线BC与平面VAB所成的角为φ，平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），
则由．
得
可取，又，
于是，
∵，∴0＜sinθ＜1，．
又，∴．
即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为．

点评：
本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中方法一（几何法）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化，方法二（向量法）的关键是建立空间坐标系，将空间线线关系、线面夹角转化为向量夹角问题是解答本题的关键．

19．（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）．现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完．
（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

考点：
根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．
专题：
应用题．
分析：
（1）根据年利润=销售额﹣投入的总成本﹣固定成本分0＜x＜80和当x≥80两种情况得到L与x的分段函数关系式；
（2）当0＜x＜80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x≥80时，利用基本不等式来求L的最大值．
解答：
解：（1）当0＜x＜80，x∈N*时，

当x≥80，x∈N*时，L（x）=﹣51x﹣+1450﹣250=1200﹣（x+）
∴．
（2）当0＜x＜80，x∈N*时，，
当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950
当x≥80，x∈N，∵，
∴当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000＞950．
综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，
该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
点评：
考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．

20．（12分）已知直线y=﹣x+1与椭圆相交于A、B两点．
（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；
（2）若向量与向量f（s）≥ϕ（t）互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值．

考点：
直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．
专题：
综合题．
分析：
（1）由椭圆的离心率为，焦距为2，求出椭圆的方程为．联立，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，再由弦长公式能求求出|AB|．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，知x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，再由根的判断式得到a2+b2＞1，利用韦达定理，得到a2+b2﹣2a2b2=0．由此能够推导出长轴长的最大值．
解答：
解：（1）∵，2c=2，
∴a=，b=，
∴椭圆的方程为．…（2分）
联立，消去y得：5x2﹣6x﹣3=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
∴|AB|=
=•
=．…（5分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
∵，∴，
即x1x2+y1y2=0，
由，消去y得（a2+b2）x2﹣2a2x+a2（1﹣b2）=0，
由△=（﹣2a2）2﹣4a2（a2+b2）（1﹣b2）＞0，整理得a2+b2＞1…（7分）
∵，，
∴y1y2=（﹣x1+1）（﹣x2+1）=x1x2﹣（x1+x2）+1，
∴x1x2+y1y2=0，得：2x1x2﹣（x1+x2）+1=0，
∴，
整理得：a2+b2﹣2a2b2=0．…（9分）
∴b2=a2﹣c2=a2﹣a2e2，代入上式得
2a2=1+，∴，…（10分）
∵，
∴，∴，
∴，∴，
∴适合条件a2+b2＞1．
由此得，∴，
故长轴长的最大值为．…（12分）
点评：
本题考查椭圆方程和长轴长最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量垂直的条件、韦达定理、根的判别式、弦长公式、椭圆性质等知识点的灵活应用．

21．（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．

考点：
直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；恒过定点的直线；圆的标准方程；抛物线的简单性质．
专题：
计算题；证明题；压轴题．
分析：
（Ⅰ）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x2=y22，依题意可知等式成立进而推断出k1=k2原式得证．
（Ⅱ）首先表示出结果为求得m，进而求得y2﹣y1的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得．
解答：
解：（Ⅰ）抛物线C：y2=4x①的焦点为F（1，0），
设过点K（﹣1，0）的直线L：x=my﹣1，
代入①，整理得
y2﹣4my+4=0，
设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则
y1+y2=4m，y1y2=4，
点A关于X轴的对称点D为（x1，﹣y1）．
BD的斜率k1==，
BF的斜率k2=．
要使点F在直线BD上
需k1=k2
需4（x2﹣1）=y2（y2﹣y1），
需4x2=y22，
上式成立，∴k1=k2，
∴点F在直线BD上．
（Ⅱ）=（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）=（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2=（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2=4（m2+1）﹣8m2+4=8﹣4m2=，
∴m2=，m=±．
y2﹣y1==4=，
∴k1=，BD：y=（x﹣1）．
易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y﹣1和到BD的距离相等，即
|a+1|×=|（（a﹣1）|×，
∴4|a+1|=5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，
解得a=．
∴半径r=，
∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）2+y2=．
点评：
本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想．

22．（12分）已知函数f（x）=ax﹣1﹣lnx（a∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，对∀x∈（0，+∞），f（x）≥bx﹣2恒成立，求实数b的取值范围；
（2）当0＜x＜y＜e2且x≠e时，试比较与的大小．

考点：
利用导数研究函数的极值；函数单调性的性质．
专题：
压轴题；导数的概念及应用．
分析：
（1）函数f（x）的导数f′（x）=a﹣．通过在x=1处取得极值，得出a=1；将f（x）≥bx﹣2恒成立，即（1﹣b）x＞lnx﹣1，将b分离得出，b＜1﹣，令g（x）=1﹣，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用导数求最小值．
（2）由（1）g（x）=1﹣在（0，e2）上为减函数，g（x）＞g（y），1﹣＞1﹣，整理得＞，考虑将1﹣lnx除到右边，为此分1﹣lnx正负分类求解．
解答：
解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=a﹣．
∵函数在x=处取得极值，∴a=1，
f（x）=x﹣1﹣lnx，
∵f（x）≥bx﹣2，移项（1﹣b）x＞lnx﹣1，将b分离得出，b＜1﹣，令g（x）=1﹣，
则令g′（x）=，可知在（0，e2）上g′（x）＜0，在（e2，+∞）上g′（x）＞0，
∴g（x）在x=e2处取得极小值，也就是最小值．此时g（e2）=1﹣，
所以b≤1﹣．
（1）由（1）g（x）=1﹣在（0，e2）上为减函数．0＜x＜y＜e2且x≠e时，
有g（x）＞g（y），1﹣＞1﹣，整理得＞①
当0＜x＜e时，1﹣lnx＞0，由①得，＞
当e＜x＜e2时，1﹣lnx＜0，由①得＜．
点评：
本题考查函数与导数，利用导数研究函数的单调性，极值，并利用单调性比较大小，考查了分类讨论、推理计算能力．

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