河北省衡水中学高三数学一模试题-理(含解析)新人教A版.doc

2013年河北省衡水中学高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1（5分）（2013牡丹江一模）如图所示的韦恩图中，A、B是非空集合，定义A*B表示阴影部分集合若x，yR，B=y|y=3x，x0，则A*B=（）A（2，+） B0，1）（2，+） C0，1（2，+） D0，12，+）考点：Venn图表达集合的关系及运算专题：函数的性质及应用分析：先分别求出集合A和集合B，然后根据A*B表示阴影部分的集合得到A*B=x|xA或xB且xAB，最后根据新定义进行求解即可解答：解：A=x|y=0，2B=y|y=3x，x0=1，+）根据A*B表示阴影部分的集合可知A*B=x|xA或xB且xABA*B=x|0x1或x2故选C点评：本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，同时考查了识图能力以及转化的能力，属于新颖题型2（5分）如图，在ABC中，P是BN上的一点，若，则实数m的值为（）ABC1D3考点：平面向量的基本定理及其意义专题：计算题；证明题；平面向量及应用分析：根据题意，设=，将向量表示成向量、的一个线性组合，再结合题中向量的等式，建立关于m、的方程组，解之即可得到实数m的值解答：解：，设=，（0）得=+m=且=，解之得=8，m=故选：A点评：本题给出三角形的一边的三等分点，求某向量关于已知向量的线性关系式，着重考查了向量的线性运算、平面向量的基本定理及其意义等知识，属于中档题3（5分）（2013渭南二模）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A1，5B2，6C3，10D3，11考点：简单线性规划的应用专题：计算题；数形结合分析：再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0）时l0最小，k也最小为3即可解答：解：根据约束条件画出可行域，设k=1+，整理得（k1）x2y+k3=0，由图得，k1设直线l0=（k1）x2y+k3，当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0）时l0最小，k也最小为3故选 D点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题4（5分）定义在R上的可导函数f（x），已知y=ef（x）的图象如图所示，则y=f（x）的增区间是（）A（，1）B（，2）C（0，1）D（1，2）考点：函数的单调性与导数的关系专题：计算题；数形结合分析：由题意知，欲求函数的增区间，由图象确定出函数导数为非负的区间就可以了，由于y=ef（x）是一个指数型的函数，当指数大于0时函数值大于1，故由图象找出函数图象在直线y=1上面的那一部分的自变量的集合即为所求解答：解：由题意如图f（x）0的区间是（，2）故函数y=f（x）的增区间（，2）故应选B点评：本题考查函数的单调性与导数的关系，由于函数的导数是指数型函数的指数，故可以借助指数函数的图象观察出导数非负的区间，此即为函数的递增区间5（5分）如图，过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线与圆（x1）2+y2=1于A，B，C，D，则|AB|CD|=（）A4B2C1D考点：圆与圆锥曲线的综合专题：计算题；综合题分析：当直线过焦点F且垂直于x轴时，|AD|=2p=4，|BC|=2r=2，由抛物线与圆的对称性知：|AB|=|CD|=1，所以|AB|CD|=1解答：解：由特殊化原则，当直线过焦点F且垂直于x轴时，|AD|=2p=4，|BC|=2r=2，由抛物线与圆的对称性知：|AB|=|CD|=1，所以|AB|CD|=1；故选C点评：本题以抛物线与圆为载体，考查圆的性质和应用，解题时恰当地选取取特殊值，能够有效地简化运算6（5分）（2010宁波模拟）如图是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD长为2；侧视图一直角三角形；俯视图为一直角梯形，且AB=BC=1，则异面直线PB与CD所成角的正切值是（）A1BCD考点：异面直线及其所成的角；简单空间图形的三视图专题：计算题分析：先将三视图转化成空间图形，取AD的中点E，连接BE，PE，CE，将CD平移到BE，根据异面直线所成角的定义可知PBE为异面直线PB与CD所成角，在RtPBE中，求出此角的正切值即可解答：解：取AD的中点E，连接BE，PE，CE，根据题意可知BECD，PBE为异面直线PB与CD所成角根据条件知，PE=1，BE=，PEBEtanPBE=故选C点评：本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，以及空间图形的三视图等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题7（5分）已知的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆 上，且满足（O为坐标原点），若椭圆的离心率等于，则直线AB的方程是 （）ABCD考点：椭圆的简单性质专题：计算题分析：由已知求出 设A（c，y）结合椭圆几何性质，进一步得出A（c，），直线方程可求解答：解：，AF2F1F2 设A（c，y）则y=，椭圆的离心率e=，a=，b2=a2c2=c2A（c，），又，A，B关于原点对称，则直线AB的方程是故选A点评：本题主要考查向量运算及应用、椭圆的几何性质、直线方程求解8（5分）函数f（x）=2x2+7x6与函数g（x）=x的图象所围成的封闭图形的面积为（）AB2CD3考点：定积分在求面积中的应用专题：计算题分析：先将两函数联立求得两图象的交点坐标，以确定积分区间，再根据图象和定积分的几何意义确定被积函数为f（x）g（x），最后利用微积分基本定理计算定积分即可得面积解答：解：由得和函数f（x）=2x2+7x6与函数g（x）=x的图象所围成的封闭图形的面积S=13（f（x）g（x）dx=13（2x2+8x6）dx=（x3+4x26x）|13=（18+3618）（+46）=故选C点评：本题考查了定积分的几何意义和运算性质，微积分基本定理及其应用9（5分）已知F1，F2分别为双曲线的左右焦点，P为双曲线上除顶点外的任意一点，且F1PF2的内切圆交实轴于点M，则|F1M|MF2|的值为（）Ab2Ba2Cc2D考点：直线与圆锥曲线的关系专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用双曲线的定义，求出|F1M|=c+a或ca，|F2M|=ca或c+a，即可得出结论解答：解：由已知，得|PF1|PF2|=2a，即|F1M|F2M|=2a又|F1M|+|F2M|=2c，|F1M|=c+a或ca，|F2M|=ca或c+a因此|F1M|MF2|=（c+a）（ca）=c2a2=b2故选A点评：本小题主要考查双曲线的定义、双曲线的基本性质，考查学生的计算能力，属于中档题10（5分）已知正方形AP1P2P3的边长为4，点B，C分别是边P1P2，P2P3的中点，沿AB，BC，CA折叠成一个三棱锥PABC（使P1，P2，P3重合于P），则三棱锥PABC的外接球表面积为（）A24B12C8D4考点：球的体积和表面积；球内接多面体专题：计算题；空间位置关系与距离分析：因为折叠后的三棱锥的侧面PAB、侧面PBC、侧面PCA都是直角三角形，可得PA、PB、PC两两互相垂直，由球的几何性质得外接球的直径2R=2，从而半径R=，结合球的表面积公式，可得PABC的外接球表面积解答：解：根据题意，得折叠后的三棱锥PABC中，侧面PAB、侧面PBC、侧面PCA都是直角三角形，PA、PB、PC两两互相垂直，PA=4，PB=PC=2三棱锥PABC的外接球的直径为：2R=2外接球的半径为R=，可得三棱锥PABC的外接球表面积为S=4R2=24故选：A点评：本题给出由正方形折叠成的三棱锥，求其外接球的表面积，着重考查了球的几何性质和表面积公式等知识点，属于基础题11（5分）已知f（x）是偶函数，xR，若将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，又f（2）=1，则f（1）+f（2）+f（3）+f（2011）=（）A1003B1003C1D1考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：利用函数的奇偶性，及平移变换，从而得到函数f（x）是以4为周期的函数，再求出f（1）、f（3）、f（4），即可得出答案解答：解：函知f（x）是R上偶函数，f（x）=f（x）又将f（x）的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，f（x1）=f（x1）f（x+1）=f（x1）=f（x1），f（x+2）=f（x），f（x+4）=f（x+2）=f（x），函数f（x）是以4为周期的函数对于式子f（x1）=f（x1），令x=0，则f（1）=f（1），f（1）=0=f（1），f（3）=f（1）=0，又f（2）=1，f（4）=f（31）=f（2）=1，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=01+0+1=0，f（1）+f（2）+f（3）+f（2011）=f（2009）+f（2010）+f（2011）=f（1）+f（2）+f（3）=01+0=1故选D点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性及对称性，深刻理解以上性质是解决问题的关键12（5分）设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出以下四个命题：当c=0时，有f（x）=f（x）成立；当b=0，c0时，方程f（x）=0，只有一个实数根；函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称 当x0时；函数f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是其中正确的命题的序号是（）ABCD考点：命题的真假判断与应用专题：压轴题；函数的性质及应用分析：根据“奇”“偶”=“奇”，“奇”+“奇”=“奇”，可得c=0时函数为奇函数，进而根据奇函数定义可判断；当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根，故正确；利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称，故正确；当x0时；函数f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，b取不同值时，函数的最小值可判断解答：解：当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx为奇函数，f（x）=f（x）恒成立，故正确；b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，故方程f（x）=0，只有一个实数根，故正确；对于，因为f（x）=x|x|bx+c，所以f（x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故正确；当x0时；函数f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，当b0时，f（x）有最小值是c，当b0时，f（x）有最小值是故不正确故选D点评：本题以命题真假的判断为载体，考查了函数的单调性、奇偶性、图象的对称性和函数零点与等知识，属于基础题二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分.把每小题的答案填在答题纸的相应位置）13（5分）已知定义在（1，+）上的函数，若f（3a2）f（2a），则实数a取值范围为（，1）考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法专题：函数的性质及应用分析：由函数的解析式可得函数在（1，0）上是增函数，由 2x+1在0，+）是增函数，且20+132=1，可得函数在（1，+）上是增函数，故由不等式可得 3a2 2a1，由此求得实数a取值范围解答：解：由于=3，故函数在（1，0）上是增函数再由 2x+1在0，+）是增函数，且20+132=1，可得函数在（1，+）上是增函数再由f（3a2）f（2a），可得 3a2 2a1，解得a1，故实数a取值范围为 （，1）点评：本题主要考查函数的单调性的性质，注意2a1，这是解题的易错点，属于中档题14（5分）椭圆（ab0）且满足a，若离心率为e，则e2+的最小值为考点：椭圆的简单性质；基本不等式专题：计算题分析：先根据e=，c=对e2+进行整理得2+，再根据a进而求得e2+的范围，求得最小值解答：解：a，e2+=+=+=2+a，a23b2，且=e2+故答案为：点评：本题主要考查了椭圆的简单性质属基础题15（5分）设函数f（x）=2sin（x+）若对任意xR，都有f（x1）f（x）f（x2）成立，则|x1x2|的最小值为 2考点：三角函数的周期性及其求法专题：计算题分析：先求出函数的周期，对任意xR，都有f（x1）f（x）f（x2）成立，说明f（x1）取得最小值，f（x2）取得最大值，然后求出|x1x2|的最小值解答：解：函数f（x）=2sin（x+）的周期T=4，对任意xR，都有f（x1）f（x）f（x2）成立，说明f（x1）取得最小值，f（x2）取得最大值，|x1x2|min=2故答案为：2点评：本题是基础题，考查函数的周期，对表达式对任意xR，都有f（x1）f（x）f（x2）成立的正确理解，是解题的关键，是突破口，|x1x2|的最小值就是半周期16（5分）设，对Xn的任意非空子集A，定义f（A）为A中的最大元素，当A取遍Xn的所有非空子集时，对应的f（A）的和为S，则S2=5，Sn=（n1）2n+1考点：子集与真子集专题：压轴题；规律型；探究型分析：由题意得对M的任意非空子集A一共有2n1个：在所有非空子集中每个元素出现2n1次可以推出有2n1个子集含n，有2n2个子集不含n含n1，有2n3子集不含n，n1，含n2有2k1个子集不含n，n1，n2k1，而含k，进而利用错位相减法求出其和解答：解：由题意得：在所有非空子集中每个元素出现2n1次故有2n1个子集含n，有2n2个子集不含n含n1，有2n3子集不含n，n1，含n2有2k1个子集不含n，n1，n2k1，而含有k定义f（A）为A中的最大元素，Sn=2n1n+2n2（n1）+212+1Sn=1+212+223+234+2n1n又2Sn=2+222+233+244+2nn错位相减，可得Sn=1+21+22+23+2n12nnSn=（n1）2n+1S2=（21）22+1=5故答案为：5，（n1）2n+1点评：解决此类问题的关键是读懂并且弄清题意，结合数列求和的方法求其和即可，找出规律是关键，此题难度比较大三、解答题（共6个题，共70分，把每题的答案填在答卷纸的相应位置）17（10分）在ABC中，内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量=（1，cosA1），=（cosA，1）且满足（）求A的大小；（）若a=，b+c=3 求b、c的值考点：解三角形；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题；解三角形分析：（）利用向量的数量积为0，建立方程，即可求A的大小；（）由余弦定理可得bc=2与条件联立，即可求得结论解答：解：（）向量=（1，cosA1），=（cosA，1）且满足，cosA+cosA1=0，cosA=，A为ABC内角，A=60（）a=，A=60，由余弦定理a2=b2+c22bccosA得a2=（b+c）22bc2bccosAb+c=3，3=93bc，bc=2，解得或点评：本题考查向量的数量积，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题18（12分）（2012怀化二模）如图，在三棱锥VABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，VDC=（1）求证：平面VAB平面VCD；（2）当角变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角专题：计算题；证明题分析：解法一（几何法）（1）由已知中AC=BC，D是AB的中点，由等腰三角形三线合一，可得CDAB，又由VC底面ABC，由线面垂直的性质可得VCAB，结合线面垂直的判定定理可得AB平面VCD，再由面面垂直的判定定理可得平面VAB平面VCD；（2）过点C在平面VCD内作CHVD于H，连接BH，可得CBH就是直线BC与平面VAB所成的角，设CBH=，根据=asin，易得到直线BC与平面VAB所成角的取值范围解法二（向量法）（1）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分析求出，易得根据向量数量积为0，得到CDAB，VCAB，结合线面垂直的判定定理可得AB平面VCD，再由面面垂直的判定定理可得平面VAB平面VCD；（2）令直线BC与平面VAB所成的角为，求出平面VAB的一个法向量和，由向量夹角公式，易得到，进而得到直线BC与平面VAB所成角的取值范围解答：解：法一（几何法）：证明：（1）AC=BC=aACB是等腰三角形，又D是AB的中点CDAB，又VC底面ABCVCAB于是AB平面VCD又AB平面VAB平面VAB平面VCD解：（2）过点C在平面VCD内作CHVD于H，连接BH则由（1）知ABCH，CH平面VAB于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角在RtCHD中，CD=，；设CBH=，在RtBHC中，CH=asin0sin1，又，即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为法二（向量法）：证明：（1）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，于是，从而，即ABCD同理，即ABVD又CDVD=D，AB平面VCD又AB平面VAB平面VAB平面VCD解：（2）设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），则由得可取，又，于是，0sin1，又，即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中方法一（几何法）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化，方法二（向量法）的关键是建立空间坐标系，将空间线线关系、线面夹角转化为向量夹角问题是解答本题的关键19（12分）某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C（x），当年产量不足80千件时，（万元）；当年产量不小于80千件时，（万元）现已知此商品每件售价为500元，且该厂年内生产此商品能全部销售完（1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？考点：根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用专题：应用题分析：（1）根据年利润=销售额投入的总成本固定成本分0x80和当x80两种情况得到L与x的分段函数关系式；（2）当0x80时根据二次函数求最大值的方法来求L的最大值，当x80时，利用基本不等式来求L的最大值解答：解：（1）当0x80，xN*时，当x80，xN*时，L（x）=51x+1450250=1200（x+）（2）当0x80，xN*时，当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950当x80，xN，当，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000950综上所述，当x=100时L（x）取得最大值1000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大点评：考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力20（12分）已知直线y=x+1与椭圆相交于A、B两点（1）若椭圆的离心率为，焦距为2，求线段AB的长；（2）若向量与向量f（s）（t）互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质专题：综合题分析：（1）由椭圆的离心率为，焦距为2，求出椭圆的方程为联立，消去y得：5x26x3=0，再由弦长公式能求求出|AB|（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由，知x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x22a2x+a2（1b2）=0，再由根的判断式得到a2+b21，利用韦达定理，得到a2+b22a2b2=0由此能够推导出长轴长的最大值解答：解：（1），2c=2，a=，b=，椭圆的方程为（2分）联立，消去y得：5x26x3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，|AB|=（5分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），即x1x2+y1y2=0，由，消去y得（a2+b2）x22a2x+a2（1b2）=0，由=（2a2）24a2（a2+b2）（1b2）0，整理得a2+b21（7分），y1y2=（x1+1）（x2+1）=x1x2（x1+x2）+1，x1x2+y1y2=0，得：2x1x2（x1+x2）+1=0，整理得：a2+b22a2b2=0（9分）b2=a2c2=a2a2e2，代入上式得2a2=1+，（10分），适合条件a2+b21由此得，故长轴长的最大值为（12分）点评：本题考查椭圆方程和长轴长最大值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量垂直的条件、韦达定理、根的判别式、弦长公式、椭圆性质等知识点的灵活应用21（12分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点K（1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D（）证明：点F在直线BD上；（）设，求BDK的内切圆M的方程考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；恒过定点的直线；圆的标准方程；抛物线的简单性质专题：计算题；证明题；压轴题分析：（）先根据抛物线方程求得焦点坐标，设出过点K的直线L方程代入抛物线方程消去x，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理求得y1+y2和y1y2的表达式，进而根据点A求得点D的坐标，进而表示出直线BD和BF的斜率，进而问题转化两斜率相等，进而转化为4x2=y22，依题意可知等式成立进而推断出k1=k2原式得证（）首先表示出结果为求得m，进而求得y2y1的值，推知BD的斜率，则BD方程可知，设M为（a，0），M到x=y1和到BD的距离相等，进而求得a和圆的半径，则圆的方程可得解答：解：（）抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设过点K（1，0）的直线L：x=my1，代入，整理得y24my+4=0，设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=4，点A关于X轴的对称点D为（x1，y1）BD的斜率k1=，BF的斜率k2=要使点F在直线BD上需k1=k2需4（x21）=y2（y2y1），需4x2=y22，上式成立，k1=k2，点F在直线BD上（）=（x11，y1）（x21，y2）=（x11）（x21）+y1y2=（my12）（my22）+y1y2=4（m2+1）8m2+4=84m2=，m2=，m=y2y1=4=，k1=，BD：y=（x1）易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x=y1和到BD的距离相等，即|a+1|=|（a1）|，4|a+1|=5|a1|，1a1，解得a=半径r=，BDK的内切圆M的方程为（x）2+y2=点评：本小题为解析几何与平面向量综合的问题，主要考查抛物线的性质、直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知识，考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力，同时考查了数形结合思想、设而不求思想22（12分）已知函数f（x）=ax1lnx（aR）（1）若函数f（x）在x=1处取得极值，对x（0，+），f（x）bx2恒成立，求实数b的取值范围；（2）当0xye2且xe时，试比较与的大小考点：利用导数研究函数的极值；函数单调性的性质专题：压轴题；导数的概念及应用分析：（1）函数f（x）的导数f（x）=a通过在x=1处取得极值，得出a=1；将f（x）bx2恒成立，即（1b）xlnx1，将b分离得出，b1，令g（x）=1，只需b小于等于g（x）的最小值即可利用导数求最小值（2）由（1）g（x）=1在（0，e2）上为减函数，g（x）g（y），11，整理得，考虑将1lnx除到右边，为此分1lnx正负分类求解解答：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+）f（x）=a函数在x=处取得极值，a=1，f（x）=x1lnx，f（x）bx2，移项（1b）xlnx1，将b分离得出，b1，令g（x）=1，则令g（x）=，可知在（0，e2）上g（x）0，在（e2，+）上g（x）0，g（x）在x=e2处取得极小值，也就是最小值此时g（e2）=1，所以b1（1）由（1）g（x）=1在（0，e2）上为减函数0xye2且xe时，有g（x）g（y），11，整理得当0xe时，1lnx0，由得，当exe2时，1lnx0，由得点评：本题考查函数与导数，利用导数研究函数的单调性，极值，并利用单调性比较大小，考查了分类讨论、推理计算能力19