009高考数学点拨精华：集合相等的性质及应用.doc

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集合相等的性质及应用

两个集合相等是集合之间的一个重要关系，集合A和B相等的概念应分几个层次去理解．
⑴若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
⑵对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A = B．
⑶对于两个集合A 和B，如果AB，同时BA ，那么就说这两个集合相等，记作 A = B．
⑷对于两个有限数集A = B ，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质：①两个集合的元素个数相等；②两个集合的元素之和相等；③两个集合的元素之积相等．
由此知，集合A 与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据．
例1 设集合 A = { a| a = 3n + 2 ，n∈Z }， B = { b| b = 3k－1 ，k∈Z }，试证明集合A = B．
证明：先证明AB ．设任一元素a∈A ，则a = 3n + 2 = 3( n + 1 ) －1 (n ∈Z)，
由于n ∈Z，则n + 1 ∈Z，所以有a∈B，故AB．
再证明BA．又设一元素 b∈B ，则 b = 3k－1 = 3(k－1) + 2 ，（k ∈Z）．
因为k ∈Z，则k－1∈Z．所以b∈A ，故BA ．
由此可知A = B ．
例２ 已知集合 A = { m， ，1}，集合 B = {m，m + n， 0}，若A = B ，求实数m、n的值．
解：由 A = B ，得
由集合的互异性可知m≠1．所以m =－1，n = 0．

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