特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式.doc

特殊的四边形及三角形的定义、性质、判定、相关计算公式

平行四边形
1.平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2.平行四边形的性质：
（1）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，不是轴对称图形。（关于对称性的）
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的邻角互补；
（4）平行四边形的对边相等；（推论：夹在两条平行线间的平行线段。）
（5）平行四边形的对边平行；
（6）平行四边形的对角线互相平分。
（7）连接平行四边形各边的中点所得图形是平行四边形。
3.平行四边形的判定方法：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（定义判定法）
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4. 相关计算公式：
平行四边形的面积公式：
底×高；如用“h”表示高，“a”表示底，“s”表示平行四边形面积，则S=ah
平行四边形周长：
2×（底1+底2）；如用“a"表示底1，“b”表示底2，“c“表示平行四边形周长，则C=2（a+b）
5.平行四边形中常用辅助线的添法：
（1）连结对角线或平移对角线；
（2）过顶点作对边的垂线构成直角三角形；
（3）连结对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构成线段平行或中位线；
（4）连结顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形；
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。

矩形
1.矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质：
（1）矩形是中心对称图形，也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，对称轴共有两条；（关于对称性的）
（2）矩形的对角相等；
（3）矩形的邻角互补；
（4）矩形的对边相等；
（5）矩形的对边平行；
（6）矩形的对角线互相平分；
（7）矩形的四个角都是直角；
（8）矩形的对角线相等。
（9）矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
3.矩形的判定方法：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（定义判定法）
（2）对角线相等的平行四边形是矩形；
（3）关于任何一组对边中点的连线成轴对称图形的平行四边形是矩形
（4）对于平行四边形，若存在一点到两双对顶点的距离的平方和相等，则此平行四边形为矩形
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个内角都相等的四边形为矩形；
（7）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（8）对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。
4.相关计算公式
矩形面积：S=ah(注:a为边长,h为该边上的高)S=ab(注:a为长,b为宽)
矩形周长：C=2(a+b)(注:a为长,b为宽)
顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形。

菱形
1.菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.菱形的性质：
（1）菱形既是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，也是中心对称图形；
（2）在60°的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的√3倍。
（3）菱形的对角相等；
（4）菱形的邻角互补；
（5）菱形的对边相等；
（6）菱形的对边平行；
（7）菱形的对角线互相平分；
（8）菱形的四边都相等；
（9）菱形的对角线互相垂直，且平分各内角；
（10）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形。
3.菱形的判定方法：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（定义判定法）
（2）对角线相互垂直的平行四边形是菱形；
（3）关于两条对角线都成轴对称的四边形是菱形；
（4）四条边都相等的四边形是菱形。
4. 相关计算公式：
菱形的面积：菱形的面积等于两对角线乘积的一半。（只要是对角线互相垂直的四边形都可用）

正方形
1.正方形的定义：
（1）四条边都相等且四个角都是直角的四边形叫做正方形。
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（3）有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形是正方形。
（4）有一个角为直角的菱形是正方形。
（5）对角线平分，垂直且相等，并且交角为直角的四边形为正方形。
2.正方形的性质：
（1）既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）；
（2）正方形的对角相等；
（3）正方形的邻角互补；
（4）正方形的对边相等；
（5）正方形的相邻边互相垂直；
（6）正方形的对边平行；
（7）正方形的对角线互相平分；
（8）正方形的四个角都是直角；
（9）正方形的对角线相等。
（10）正方形的四边都相等；
正方形的对角线互相垂直，且平分各内角。
3.正方形的判定方法：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形；
（3）有一个角为直角的菱形是正方形；
（4）对角线相等的菱形是正方形；
（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；
（6）四边均相等，对角线互相垂直平分且相等的平行四边形是正方形；
（7）四边相等，有三个角是直角的四边形是正方形；
（8）对角线相互垂直平分且相等的四边形为正方形。
4.相关计算公式：
　 面积计算公式：S=边长×边长 或：S=对角线×对角线÷2
　 周长计算公式: C=4×边长
顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形。

等腰梯形
1.等腰梯形的定义:
　　一组对边平行（不相等），另一组对边不平行但相等的四边形是等腰梯形。
2.等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形只有一条对称轴，上底和下底的中垂线就是它的对称轴；
（2）等腰梯形在同一底上的两个角相等；
（3）等腰梯形的两腰相等；
（4）等腰梯形的两底平行；
（5）等腰梯形的两个底角相等；
（6）等腰梯形的对角线相等；
（7）等腰梯形内接于圆。
3. 等腰梯形的判定方法：
（1）一组对边不平行但相等的梯形是等腰梯形；（定义判定法）
（2）同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；
（3）对角线相等的梯形是等腰梯形；
（4）一组对边平行（不相等），另一组对边相等（不平行）的四边形是等腰梯形；
4.相关计算公式
等腰梯形的中位线长是上下底边长度和的一半 ；
等腰梯形的面积公式等于上底加下底和一半乘高,也等于中位线乘高。

直角三角形
1.直角三角形的定义：
有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形。
2.直角三角形的性质
直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：
（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）在直角三角形中，两个锐角互余。
（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外心位于斜边的中点，外接圆半径R＝C/2）。
（4）直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积。
（5）在直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
3.直角三角形的判定方法：
（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；
（2）一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形；
（3）若a的平方＋b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c为斜边的直角三角形；（勾股定理的逆定理）。
（4）若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形；
（5）两个锐角互余的三角形是直角三角形。

等腰三角形
1.等腰三角形的定义：
有两边相等的三角形是等腰三角形。
2. 等腰三角形的性质：
（1）等腰三角形的两个底角相等； （简写成“等边对等角”）
（2）等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合；（简写成“三线合一”）
（3）等腰三角形的两底角的平分线相等；（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）
（4）等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等；
（5）等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半；
（6）等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高；(需用等面积法证明)
（7）等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
3. 等腰三角形的判定方法：
（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形
（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）

等边三角形
1.等边三角形的定义：
三边都相等的三角形是等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。
　　（注意：若三角形三边都相等则说这个三角形为等边三角形，而一般不称这个三角形为等腰三角形）
2.等边三角形的性质：
（1）等边三角形的内角都相等，且为60度；
（2）等边三角形底角边上的中线、底角边上高线和所对顶角的角的平分线互相重合；（三线合一）
（3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。
3.等边三角形的判定方法：
　　（首先考虑判断三角形是等腰三角形）
（1）三边相等的三角形是等边三角形；（定义）
（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形；
（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形；
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