资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列函数中，的值随着逐渐增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在边长为的小正方形组成的网格中，的三个顶点在格点上，若点是的中点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数为（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠ABC＝60°，则∠AOC的度数是（ ）
A．100° B．110° C．120° D．130°
5．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝40°，则∠D的度数为( )
A．140° B．135° C．130° D．125°
6．在平面直角坐标中，把△ABC以原点O为位似中心放大，得到△A'B'C'，若点A和它对应点A'的坐标分别为(2，5)，(-6，-15)，则△A'B'C'与△ABC的相似比为( )
A．-3 B．3 C． D．
7．今年元旦期间，某种女服装连续两次降价处理，由每件200元调至72元，设平均每次的降价百分率为，则得方程（ ）
A． B．
C． D．
8．寒假即将来临，小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为（ ）
A． B． C． D．
9．4月24日是中国航天日，1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439 000米．将439 000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．139×103
10．如图，已知正方形ABCD，点E是BC边的中点，DE与AC相交于点F，连接BF，下列结论：；；；，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．数据1，3，3，4，5的众数和中位数分别为（ ）
A．3和3 B．3和3.5 C．4和4 D．5和3.5
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B＝，则BC＝（ ）
A．15 B．6 C．9 D．8
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在一个不透明的布袋里装有若干个只有颜色不同的红球和白球,其中有3个红球,且从布袋中随机摸出1个球是红球的概率是三分之一 ,则白球的个数是______
14．若关于x的一元二次方程（a+3）x2+2x+a2﹣9＝0有一个根为0，则a的值为_____．
15．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FK1K2K3K4K5K6K7…叫做“正六边形的渐开线”，其中弧FK1、弧K1K2、弧K2K3、弧K3K4、弧K4K5、弧K5K6、…的圆心依次按点A、B、C、D、E、F循环，其弧长分别为l1、l2、l3、l4、l5、l6、…．当AB＝1时，l3=________，l2019＝_________．
16．对于实数a，b，定义运算“⊗”： ，例如：5⊗3，因为5＞3，所以5⊗3=5×3﹣32=1．若x1，x2是一元二次方程x2﹣1x+8=0的两个根，则x1⊗x2=________．
17．如图，E，G，F，H分别是矩形ABCD四条边上的点，EF⊥GH，若AB＝2，BC＝3，则EF︰GH＝ ．
18．在△ABC中，∠ABC=90°，已知AB=3，BC=4，点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交直线AB于点P，当△PQB为等腰三角形时，线段AP的长为_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，把沿轴对折，点落到点处，过点、的抛物线与直线交于点、．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上求一点，使面积最大，求出点坐标；
（3）在第一象限内的抛物线上，是否存在一点，作垂直于轴，垂足为点，使得以、、为项点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
20．（8分）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为P，且与y轴交于点A，与直线交于点B，C（点B在点C的左侧）.
（1）求抛物线的顶点P的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线与线段AC围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”.
①当时，请直接写出“W区域”内的整点个数；
②当“W区域”内恰有2个整点时，结合函数图象，直接写出a的取值范围.
21．（8分）在平面直角坐标系中，已知P（,）,R（,）两点，且，，若过点P作轴的平行线，过点R作轴的平行线，两平行线交于一点S，连接PR，则称△PRS为点P，R，S的“坐标轴三角形”.若过点R作轴的平行线，过点P作轴的平行线，两平行线交于一点，连接PR，则称△RP为点R，P，的“坐标轴三角形”.右图为点P，R，S的“坐标轴三角形”的示意图.
（1）已知点A（0，4），点B（3，0）,若△ABC是点A，B，C的“坐标轴三角形”，则点C的坐标为 ；
（2）已知点D（2，1），点E（e，4），若点D，E，F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值.
（3）若的半径为，点M（，4），若在上存在一点N，使得点N，M，G的“坐标轴三角形”为等腰三角形，求的取值范围.
22．（10分）综合与探究：三角形旋转中的数学问题．
实验与操作： Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°． 将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到Rt△AB′C′（点B′，C′分别是点B，C的对应点）． 设旋转角为α（0°＜α＜180°），旋转过程中直线B′B和线段CC′相交于点D．
猜想与证明：
（1）如图1，当AC′经过点B时，探究下列问题：
①此时，旋转角α的度数为 °；
②判断此时四边形AB′DC的形状，并证明你的猜想；
（2）如图2，当旋转角α＝90°时，求证：CD＝C′D；
（3）如图3，当旋转角α在0°＜α＜180°范围内时，连接AD，直接写出线段AD与C之间的位置关系（不必证明）．
23．（10分）已知四边形为的内接四边形，直径与对角线相交于点，作于，与过点的直线相交于点，.
（1）求证：为的切线；
（2）若平分，求证：；
（3）在（2）的条件下，为的中点，连接，若，的半径为，求的长.
24．（10分）小瑜同学想测量小区内某栋楼房MA的高度，设计测量方案如下：她从楼底A处前行5米到达B处，沿斜坡BD向上行走16米，到达坡顶D处（A、B、C在同一条直线上），已知斜坡BD的坡角α为12.8°，小瑜的眼睛到地面的距离DE为1.7米，她站在坡顶测得楼顶M的仰角恰好为45°．根据以上数据，请你求出楼房MA的高度．（计算结果精确到0.1米）（参考数据：sin12.8°≈，cos12.8°≈，tan12.8°≈）
25．（12分）已知点在二次函数的图象上，且当时，函数有最小值1．
（1）求这个二次函数的表达式．
（1）如果两个不同的点，也在这个函数的图象上，求的值．
26．商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件，设每件商品降价元(为正整数)．据此规律，请回答：
(1)商场日销轡量增加 件，每件商品盈利 元(用含的代数式表示)；
(2)每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到元；
(3)在上述条件不变，销售正常情况下，求商场日盈利的最大值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．
【详解】A选项函数的图象是随着增大而增大，故本选项错误；
B选项函数的对称轴为，当时随增大而减小故本选项错误；
C选项函数，当或，随着增大而增大故本选项错误；
D选项函数的图象是随着增大而减小，故本选项正确；
故选D.
【点睛】
本题考查了三种函数的性质，了解它们的性质是解答本题的关键，难度不大．
2、C
【分析】利用勾股定理求出△ABC的三边长，然后根据勾股定理的逆定理可以得出△ABC为直角三角形，再利用直角三角形斜边中点的性质，得出AE=CE，从而得到∠CAE=∠ACB，然后利用三角函数的定义即可求解．
【详解】解：依题意得，
AB=，AC=，BC=，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，
又∵E为BC的中点，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠ACB，
∴sin∠CAE=sin∠ACB=．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了三角函数的定义，也考查了勾股定理及其逆定理，首先根据图形利用勾股定理求出三角形的三边长，然后利用勾股定理的逆定理和三角函数即可解决问题．
3、B
【分析】由抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置，可判断a、b、c的符号，可判断①，利用对称轴可判断②，由当x=-2时的函数值可判断③，当x=1时的函数值可判断④，从而得出答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，
∵0＜-＜1，∴b＞0，且b＜-2a，∴abc＜0，2a+b＜0，故①不正确，②正确；
∵当x=-2时，y＜0，∴4a-2b+c＜0，故③正确；
∵当x=1时，y＞0，∴a+b+c＞0，又c＞0，∴a+b+2c＞0，故④正确；
综上可知正确的有②③④，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
4、C
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【详解】解：∵∠ABC和∠AOC所对的弧为，∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5、C
【分析】根据圆周角定理可知，再由三角形的内角和可得，最后根据圆内接四边形的性质即可得.
【详解】 AB是半圆O的直径
（圆周角定理）
（圆内接四边形的对角互补）
故选：C.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理、圆内接四边形的性质，掌握灵活运用各定理和性质是解题关键.
6、B
【分析】根据位似图形的性质和坐标与图形的性质，进行解答即可．
【详解】解：∵△ABC和△A′B′C′关于原点位似，且点A和它的对应点A′的坐标分别为（2，5），（-6，-15），
∴对应点乘以-1，则△A′B′C′与△ABC的相似比为：1．
故选：B.
【点睛】
本题考查的是位似变换，熟知在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k是解答此题的关键．
7、C
【分析】设调价百分率为x，根据售价从原来每件200元经两次调价后调至每件72元，可列方程．
【详解】解：设调价百分率为x，
则：
故选：C．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，关键设出两次降价的百分率，根据调价前后的价格列方程求解．
8、B
【解析】由小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵小明要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，
∴小明选择到甲社区参加实践活动的可能性为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9、C
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：将439000用科学记数法表示为4.39×1．
故选C．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10、C
【解析】试题解析：①和的底分别相等，高 也相等，所以它们的面积也相等，故正确.
②和的底分别相等，高也相等，所以它们的面积也相等，并不是倍的关系.故错误.
③由于是的中点，所以和的相似比为，所以它们的面积之比为.故错误.
④和的底相等，高和 则是的关系，所以它们的面积之比为.故正确.
综上所述，符合题意的有①和④.
故选C.
11、A
【分析】根据众数和中位数的定义：一般来说,一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数；把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数；即可得解.
【详解】由已知，得该组数据中，众数为3，中位数为3，
故答案为A.
【点睛】
此题主要考查对众数、中位数概念的理解，熟练掌握，即可解题.
12、D
【分析】首先根据正弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理求得BC的长．
【详解】解：
∴直角△ABC中，
故选：D．
【点睛】
本题考查的是锐角三角形的正弦函数，理解熟记正弦三角函数定义是解决本题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、6
【分析】设白球的个数是x个，根据 列出算式，求出x的值即可.
【详解】解：设白球的个数是x个，根据题意得：
解得：x=6.
故答案为6.
【点睛】
本题考查了概率的知识.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
14、1
【分析】将x＝0代入原方程，结合一元二次方程的定义即可求得a的值．
【详解】解：根据题意，将x＝0代入方程可得a2﹣9＝0，
解得：a＝1或a＝﹣1，
∵a+1≠0，即a≠﹣1，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
15、π 673π
【分析】用弧长公式，分别计算出l1，l2，l3，…的长，寻找其中的规律，确定l2019的长．
【详解】解：根据题意得：l1=，
l2=，
l3=，
则l2019=.
故答案为：π；673π.
【点睛】
本题考查的是弧长的计算，先用公式计算，找出规律，则可求出ln的长．
16、±4
【解析】先解得方程x2﹣1x+8=0的两个根，然后分情况进行新定义运算即可.
【详解】∵x2﹣1x+8=0，
∴（x-2）（x-4）=0，
解得：x=2，或x=4，
当x1＞x2时，则x1⊗x2=4×2﹣22=4；
当x1＜x2时，则x1⊗x2=22﹣2×4=﹣4.
故答案为：±4.
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，解此题的关键在于利用因式分解法求得方程的解.
17、3：2．
【详解】解：
过F作FM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，
则∠4=∠5=90°=∠AMF
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠A=∠D=90°=∠AMF，
∴四边形AMFD是矩形，
∴FM∥AD，FM=AD=BC=3，
同理HN=AB=2，HN∥AB，
∴∠2=∠2，
∵HG⊥EF，
∴∠HOE=90°，
∴∠2+∠GHN=90°，
∵∠3+∠GHN=90°，
∴∠2=∠3=∠2，
即∠2=∠3，∠4=∠5，
∴△FME∽△HNG，
∴EF：GH=AD：CD=3：2．
故答案为：3：2．
考点：2．相似三角形的判定与性质；2．矩形的性质．
18、或1．
【解析】当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论:①当点P在线段AB上时，如图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；
②当点P在线段AB的延长线上时，如图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．
【详解】解:在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
当点P在线段AB上时，如题图1所示：
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ，
由(1)可知,△AQP∽△ABC，
∴ 即 解得：
∴
当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示：
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=BQ.
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P，
∵
∴∠AQB=∠A，
∴BQ=AB，
∴AB=BP，点B为线段AP中点，
∴AP=2AB=2×3=1.
综上所述,当△PQB为等腰三角形时,AP的长为或1.
故答案为或1.
【点睛】
本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题（共78分）
19、（1）；（2）；（3）存在，或．
【分析】(1)由直线可以求出A，B的坐标，由待定系数法就可以求出抛物线的解析式和直线BD的解析式；
(2)先求得点D的坐标，作EF∥y轴交直线BD于F，设，利用三角形面积公式求得，再利用二次函数性质即可求得答案；
(3)如图1，2，分类讨论，当△BOC∽△MON或△BOC∽△ONM时，由相似三角形的性质就可以求出结论；
【详解】(1)∵直线AB为，
令y=0，则，令，则y=2，
∴点A、B的坐标分别是：A (-1，0)，B(0，2)，
根据对折的性质：点C的坐标是：(1，0) ，
设直线BD解析式为，
把B(0，2)，C(1，0)代入，得，
解得：，，
∴直线BD解析式为，
把A(-1，0)，B(0，2)代入得，
解得：，，
∴抛物线的解析式为；
(2)解方程组得：和，
∴点D坐标为(3，-4) ，
作EF∥y轴交直线BD于F
设
∴
(0＜＜3)
∴当时，三角形面积最大，
此时，点的坐标为：；
(3)存在．
∵点B、C的坐标分别是B (0，2)、C (1，0)，
∴，，
①如图1所示，
当△MON∽△BCO时，
∴，即，
∴，
设，则，
将代入抛物线的解析式得：
解得：(不合题意，舍去)，，
∴点M的坐标为(1，2)；
②如图2所示，
当△MON∽△CBO时，
∴，即，
∴MN=ON，
设，则M(b，b)，
将M(b，b)代入抛物线的解析式得：
∴
解得：(不合题意，舍去)，，
∴点M的坐标为(，)，
∴存在这样的点或．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式的运用，相似三角形的性质的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
20、（1）顶点P的坐标为；（2）① 6个；② ，．
【分析】（1）由抛物线解析式直接可求；
（2）①由已知可知A（0，2），C（2+ ，-2），画出函数图象，观察图象可得；
②分两种情况求：当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，抛物线定点经过（2，-1）时，a= ，则＜a≤1；当a＜0时，抛物线定点经过（2，2）时，a=-1，抛物线定点经过（2，1）时，a=-，则-1≤a<-．
【详解】解：（1）∵y=ax2-4ax+2a=a（x-2）2-2a，
∴顶点为（2，-2a）；
（2）如图，①∵a=2，
∴y=2x2-8x+2，y=-2，
∴A（0，2），C（2+，-2），
∴有6个整数点；
②当a＞0时，抛物线定点经过（2，-2）时，a=1，
抛物线定点经过（2，-1）时，，；
∴ ．
当时，抛物线顶点经过点（2，2）时，；
抛物线顶点经过点（2，1）时，；
∴ ．
∴综上所述：，．
【点睛】
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
21、（1）（3，4）；（2）或；（3）m的取值范围是或.
【分析】（1）根据点C到x轴、y轴的距离解答即可；
（2）根据“坐标轴三角形”的定义求出线段DF和EF，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）根据题意可得：符合题意的直线MN应为y=x+b或y=－x+b．①当直线MN为y=x+b时，结合图形可得直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第四象限时，b取得最小值，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得b的最小值，进而可得m的最大值；当直线MN平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b取得最大值，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得b的最大值，进而可得m的最小值，可得m的取值范围；②当直线MN为y=－x+b时，同①的方法可得m的另一个取值范围，问题即得解决.
【详解】解：（1）根据题意作图如下：
由图可知：点C到x轴距离为4，到y轴距离为3，∴C（3，4）；
故答案为：（3，4）；
（2） ∵点D（2，1），点E（e，4），点D，E，F的“坐标轴三角形”的面积为3，
∴，，∴，即=2，解得：e=4或e=0；
（3）由点N，M， G的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得：直线MN为y=x+b或y=－x+b.
①当直线MN为y=x+b时，由于点M的坐标为（m，4），可得m=4－b，
由图可知：
当直线MN平移至与⊙O相切，且切点在第四象限时，b取得最小值.
此时直线MN记为M1 N1，其中N1为切点，T1为直线M1 N1与y轴的交点.
∵△O N1T1为等腰直角三角形，ON=，∴，
∴b的最小值为－3，∴m的最大值为m=4－b=7；
当直线MN平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b取得最大值.
此时直线MN记为M2 N2，其中N2为切点，T2为直线M2 N2与y轴的交点.
∵△ON2T为等腰直角三角形，ON2=，∴，
∴b的最大值为3，∴m的最小值为m=4－b=1，
∴m的取值范围是；
②当直线MN为y=－x+b时，同理可得，m=b－4，
当b=3时，m=－1；当b=－3时，m=－7；
∴m的取值范围是.
综上所述，m的取值范围是或.
【点睛】
本题是新定义概念题，主要考查了三角形的面积、直线与圆相切的性质、等腰三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、灵活应用数形结合的思想和分类讨论思想是解题的关键.
22、（1）①60；②四边形AB′DC是平行四边形，证明见解析．（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）①根据矩形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定方法解题；
②根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形解题；
（2）过点作的垂线，交于点E，由旋转的性质得到对应边、对应角相等，进而证明△CDB≌△，即可解题；
（3）先证明，再由相似三角形的性质解题，进而证明即可证明.
【详解】解：（1）①60；②四边形AB′DC是平行四边形．
证明：∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，
∴∠CAB=90°-30°=60°．
∵Rt△AB′C′是由 Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，
∴∠C′AB′=∠CAB=60°，，．
与都是等边三角形．
∴∠ACC′=∠AB′B=60°．
∵∠CAB′=∠CAB+∠C′AB′=120°，
∴∠ACC′+∠CAB′=180°，∠CAB′+∠ABB′=180°．
∴AB′//CD，AC//B′D．
∴四边形AB′DC是平行四边形．
（2）证明：过点作的垂线，交于点E，
∴∠B′C′E=90°．
∵Rt△AB′C′是由 Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的，
∴∠CAC′=∠BAB′=∠B′C′E=90°，，．
∴∠AB=∠AB=45°，BC∥AB′∥C′E
∵∠AC=∠ABC=90°，
∴∠B=∠CBE=45°．
∴∠=90°－45°=45°=∠B．
∴．
在△CBD和△ED中，
∴△CDB≌△DE．
∴CD= D．
（3）AD⊥C,理由如下：
设AC与D交于点O，连接AD，
∴∠ADC′=180°-∠DAO-∠AC′C=180°-∠OB′C′-∠AB′B，
，
【点睛】
本题考查几何综合，其中涉及三角形的旋转、等边三角形的判定与性质、平行线的判定、平行四边形的判定、全等三角形的判定等知识，综合性较强，是常见考点，掌握相关知识、学会作适当辅助线是解题关键.
23、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
【分析】（1）根据直径所对的圆周角为90°，得到∠ADC=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠DAC+∠DCA=90°，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，可得到∠FAD+∠DAC=90°，即可得出结论；
（2）连接OD．根据圆周角定理和角平分线定义可得∠DOA=∠DOC，即可得出结论；
（3）连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P．可求出AD=4，AF∥OM．根据三角形中位线定理得出OM=AF．证明△ODE≌△OCM，得到OE=OM．设OM=m，用m表示出OE，AE，AP，DP．通过证明△EAN∽△DPE，根据相似三角形对应边成比例，求出m的值，从而求得AN，AE的值．在Rt△NAE中，由勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC+∠DCA=90°．
∵，
∴∠ABD=∠DCA．
∵∠FAD=∠ABD，
∴∠FAD=∠DCA，
∴∠FAD+∠DAC=90°，
∴CA⊥AF，
∴AF为⊙O的切线．
（2）连接OD．
∵，
∴∠ABD=∠AOD．
∵，
∴∠DBC=∠DOC．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠DOA=∠DOC，
∴DA=DC．
（3）连接OD交CF于M，作EP⊥AD于P．
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°．
∵DA=DC，
∴DO⊥AC，
∴∠FAC=∠DOC=90°，AD=DC==4，
∴∠DAC=∠DCA=45°，AF∥OM．
∵AO=OC，
∴OM=AF．
∵∠ODE+∠DEO=90°，∠OCM+∠DEO=90°，
∴∠ODE=∠OCM．
∵∠DOE=∠COM，OD=OC，
∴△ODE≌△OCM，
∴OE=OM．
设OM=m，
∴OE=m，，，
∴．
∵∠AED+∠AEN=135°，∠AED+∠ADE=135°，
∴∠AEN=∠ADE．
∵∠EAN=∠DPE，
∴△EAN∽△DPE，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由勾股定理得：．
【点睛】
本题是圆的综合题．考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识．用含m的代数式表示出相关线段的长是解答本题的关键．
24、楼房MA的高度约为25.8米
【分析】根据△BCD是直角三角形，利用正弦和余弦可以求出CD，BC的长度，则可得到EC，EF的长度，再根据， ，利用四边形ECAF是矩形，即可得到MA的长．
【详解】解：在Rt△BCD中，
∴，
在矩形ECAF中，AF=EC=5.22，EF=AC=20.6
在Rt△EFM中，
∴，
答：楼房MA的高度约为25.8米
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题和坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
25、（1）；（1）
【分析】（1）把点代入可得c的值，再将点代入，与对称轴等于1联立，即可求解；
（1）易知点，纵坐标相同，即其关于对称轴对称，即可求解．
【详解】解：（1）把点代入，可得，
∵当时，函数有最小值1，
∴，解得，
∴二次函数解析式为；
（1）∵点，纵坐标相同，
∴点，关于二次函数图象的对称轴对称，
∴，即．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、求二次函数解析式，掌握二次函数的对称性是解题的关键．
26、（1）2x；（50-x）；（2）每件商品降价1元，商场可日盈利2400元；（3）商场日盈利的最大值为2450元．
【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数＝原来的盈利−降低的钱数；
（2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数40＋2×降价的钱数），列出方程求解即可；
（3）求出（2）中函数表达式的顶点坐标的横坐标即可解决问题．
【详解】（1）商场日销售量增加2x件，每件商品盈利（50−x）元，
故答案为：2x；（50−x）；
（2）由题意得：（50-x）（40+2x）=2400
化简得：x2-30x+10=0，即（x-10）（x-1）=0，
解得：x1=10，x2=1，
∵该商场为了尽快减少库存，
∴降的越多，越吸引顾客，
∴x=1．
答：每件商品降价1元，商场可日盈利2400元．
（3） y = （50- x ）×（40+ 2x ） = -2（x-15）2 +2450
当x=15时，y最大值= 2450
即 商场日盈利的最大值为2450元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用；得到日盈利的等量关系是解决本题的关键．
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