线性代数第四章答案.doc

第四章　向量组的线性相关性

1. 设v1=(1, 1, 0)T, v2=(0, 1, 1)T, v3=(3, 4, 0)T, 求v1-v2及3v1+2v2-v3.
解 v1-v2=(1, 1, 0)T-(0, 1, 1)T
=(1-0, 1-1, 0-1)T
=(1, 0, -1)T.
3v1+2v2-v3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T
=(3´1+2´0-3, 3´1+2´1-4, 3´0+2´1-0)T
=(0, 1, 2)T.

2. 设3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a), 求a, 其中a1=(2, 5, 1, 3)T,
a2=(10, 1, 5, 10)T, a3=(4, 1, -1, 1)T.
解 由3(a1-a)+2(a2+a)=5(a3+a)整理得

=(1, 2, 3, 4)T.

3. 已知向量组
A: a1=(0, 1, 2, 3)T, a2=(3, 0, 1, 2)T, a3=(2, 3, 0, 1)T;
B: b1=(2, 1, 1, 2)T, b2=(0, -2, 1, 1)T, b3=(4, 4, 1, 3)T,
证明B组能由A组线性表示, 但A组不能由B组线性表示.
证明 由

知R(A)=R(A, B)=3, 所以B组能由A组线性表示.
由

知R(B)=2. 因为R(B)¹R(B, A), 所以A组不能由B组线性表示.

4. 已知向量组
A: a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 1, 0)T;
B: b1=(-1, 0, 1)T, b2=(1, 2, 1)T, b3=(3, 2, -1)T,
证明A组与B组等价.
证明 由
,
知R(B)=R(B, A)=2. 显然在A中有二阶非零子式, 故R(A)³2, 又R(A)£R(B, A)=2, 所以R(A)=2, 从而R(A)=R(B)=R(A, B). 因此A组与B组等价.

5. 已知R(a1, a2, a3)=2, R(a2, a3, a4)=3, 证明
(1) a1能由a2, a3线性表示;
(2) a4不能由a1, a2, a3线性表示.
证明 (1)由R(a2, a3, a4)=3知a2, a3, a4线性无关, 故a2, a3也线性无关. 又由R(a1, a2, a3)=2知a1, a2, a3线性相关, 故a1能由a2, a3线性表示.
(2)假如a4能由a1, a2, a3线性表示, 则因为a1能由a2, a3线性表示, 故a4能由a2, a3线性表示, 从而a2, a3, a4线性相关, 矛盾. 因此a4不能由a1, a2, a3线性表示.

6. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关:
(1) (-1, 3, 1)T, (2, 1, 0)T, (1, 4, 1)T;
(2) (2, 3, 0)T, (-1, 4, 0)T, (0, 0, 2)T.
解 (1)以所给向量为列向量的矩阵记为A. 因为
,
所以R(A)=2小于向量的个数, 从而所给向量组线性相关.
(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B. 因为
,
所以R(B)=3等于向量的个数, 从而所给向量组线性相无关.

7. 问a取什么值时下列向量组线性相关？
a1=(a, 1, 1)T, a2=(1, a, -1)T, a3=(1, -1, a)T.
解 以所给向量为列向量的矩阵记为A. 由

如能使行列式等于0，则此时向量组线性相关.（具体看书后相应答案）

8. 设a1, a2线性无关, a1+b, a2+b线性相关, 求向量b用a1, a2线性表示的表示式.
解 因为a1+b, a2+b线性相关, 故存在不全为零的数l1, l2使
l1(a1+b)+l2(a2+b)=0,
由此得 ,
设, 则
b=ca1-(1+c)a2, cÎR.

9. 设a1, a2线性相关, b1, b2也线性相关, 问a1+b1, a2+b2是否一定线性相关？试举例说明之. （也可看书后答案）
解 不一定.
例如, 当a1=(1, 2)T, a2=(2, 4)T, b1=(-1, -1)T, b2=(0, 0)T时, 有
a1+b1=(1, 2)T+b1=(0, 1)T, a2+b2=(2, 4)T+(0, 0)T=(2, 4)T,
而a1+b1, a2+b2的对应分量不成比例, 是线性无关的.

10. 举例说明下列各命题是错误的:
(1)若向量组a1, a2, × × ×, am是线性相关的, 则a1可由a2, × × ×, am线性表示.
解 设a1=e1=(1, 0, 0, × × ×, 0), a2=a3= × × × =am=0, 则a1, a2, × × ×, am线性相关, 但a1不能由a2, × × ×, am线性表示.
(2)若有不全为0的数l1, l2, × × ×, lm使
l1a1+ × × × +lmam+l1b1+ × × × +lmbm=0
成立, 则a1, a2, × × ×, am线性相关, b1, b2, × × ×, bm亦线性相关.
解 有不全为零的数l1, l2, × × ×, lm使
l1a1+ × × × +lmam +l1b1+ × × × +lmbm =0,
原式可化为
l1(a1+b1)+ × × × +lm(am+bm)=0.
取a1=e1=-b1, a2=e2=-b2, × × ×, am=em=-bm, 其中e1, e2, × × ×, em为单位坐标向量, 则上式成立, 而a1, a2, × × ×, am和b1, b2, × × ×, bm均线性无关.

(3)若只有当l1, l2, × × ×, lm全为0时, 等式
l1a1+ × × × +lmam+l1b1+ × × × +lmbm=0
才能成立, 则a1, a2, × × ×, am线性无关, b1, b2, × × ×, bm亦线性无关.
解 由于只有当l1, l2, × × ×, lm全为0时, 等式
由l1a1+ × × × +lmam+l1b1+ × × × +lmbm =0
成立, 所以只有当l1, l2, × × ×, lm全为0时, 等式
l1(a1+b1)+l2(a2+b2)+ × × × +lm(am+bm)=0
成立. 因此a1+b1, a2+b2, × × ×, am+bm线性无关.
取a1=a2= × × × =am=0, 取b1, × × ×, bm为线性无关组, 则它们满足以上条件, 但a1, a2, × × ×, am线性相关.

(4)若a1, a2, × × ×, am线性相关, b1, b2, × × ×, bm亦线性相关, 则有不全为0的数, l1, l2, × × ×, lm使
l1a1+ × × × +lmam=0, l1b1+ × × × +lmbm=0
同时成立.
解 a1=(1, 0)T, a2=(2, 0)T, b1=(0, 3)T, b2=(0, 4)T,
l1a1+l2a2 =0Þl1=-2l2,
l1b1+l2b2 =0Þl1=-(3/4)l2,
Þl1=l2=0, 与题设矛盾.

11. 设b1=a1+a2, b2=a2+a3, b3=a3+a4, b4=a4+a1, 证明向量组b1, b2, b3, b4线性相关.
证明 由已知条件得
a1=b1-a2, a2=b2-a3, a3=b3-a4, a4=b4-a1,
于是 a1 =b1-b2+a3
=b1-b2+b3-a4
=b1-b2+b3-b4+a1,
从而 b1-b2+b3-b4=0,
这说明向量组b1, b2, b3, b4线性相关.

12. 设b1=a1, b2=a1+a2, × × ×, br =a1+a2+ × × × +ar, 且向量组a1, a2, × × × , ar线性无关, 证明向量组b1, b2, × × × , br线性无关.
证明 已知的r个等式可以写成
,
上式记为B=AK. 因为|K|=1¹0, K可逆, 所以R(B)=R(A)=r, 从而向量组b1, b2, × × × , br线性无关.

13. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:
(1)a1=(1, 2, -1, 4)T, a2=(9, 100, 10, 4)T, a3=(-2, -4, 2, -8)T;
解　由
,
知R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1与a2的分量不成比例, 故a1, a2线性无关, 所以a1, a2是一个最大无关组.
(2)a1T=(1, 2, 1, 3), a2T=(4, -1, -5, -6), a3T=(1, -3, -4, -7).
解 由
,
知R(a1T, a2T, a3T)=R(a1, a2, a3)=2. 因为向量a1T与a2T的分量不成比例, 故a1T, a2T线性无关, 所以a1T, a2T是一个最大无关组.

14. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:
(1);

解 因为
,
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
(2).
解 因为
,
所以第1、2、3列构成一个最大无关组.
（关于14的说明：14题和书上的14题有些不同，答案看书后的那个）

15. 设向量组
(a, 3, 1)T, (2, b, 3)T, (1, 2, 1)T, (2, 3, 1)T
的秩为2, 求a, b.
解 设a1=(a, 3, 1)T, a2=(2, b, 3)T, a3=(1, 2, 1)T, a4=(2, 3, 1)T.
因为
,
而R(a1, a2, a3, a4)=2, 所以a=2, b=5.

16. 设a1, a2, × × ×, an是一组n维向量, 已知n维单位坐标向量e1, e2,× × ×, en能由它们线性表示, 证明a1, a2, × × ×, an线性无关.
证法一 记A=(a1, a2, × × ×, an), E=(e1, e2,× × ×, en). 由已知条件知, 存在矩阵K, 使
E=AK.
两边取行列式, 得
|E|=|A||K|.
可见|A|¹0, 所以R(A)=n, 从而a1, a2, × × ×, an线性无关.
证法二 因为e1, e2,× × ×, en能由a1, a2, × × ×, an线性表示, 所以
R(e1, e2,× × ×, en)£R(a1, a2, × × ×, an),
而R(e1, e2,× × ×, en)=n, R(a1, a2, × × ×, an)£n, 所以R(a1, a2, × × ×, an)=n, 从而a1, a2, × × ×, an线性无关.

17. 设a1, a2, × × ×, an是一组n维向量, 证明它们线性无关的充分必要条件是: 任一n维向量都可由它们线性表示.
证明 必要性: 设a为任一n维向量. 因为a1, a2, × × ×, an线性无关, 而a1, a2, × × ×, an, a是n+1个n维向量, 是线性相关的, 所以a能由a1, a2, × × ×, an线性表示, 且表示式是唯一的.
充分性: 已知任一n维向量都可由a1, a2, × × ×, an线性表示, 故单位坐标向量组e1, e2, × × ×, en能由a1, a2, × × ×, an线性表示, 于是有
n=R(e1, e2, × × ×, en)£R(a1, a2, × × ×, an)£n,
即R(a1, a2, × × ×, an)=n, 所以a1, a2, × × ×, an线性无关.

18. 设向量组a1, a2, × × ×, am线性相关, 且a1¹0, 证明存在某个向量ak (2£k£m), 使ak能由a1, a2, × × ×, ak-1线性表示.
证明 因为a1, a2, × × ×, am线性相关, 所以存在不全为零的数l1, l2, × × ×, lm, 使
l1a1+l2a2+ × × × +lmam=0,
而且l2, l3,× × ×, lm不全为零. 这是因为, 如若不然, 则l1a1=0, 由a1¹0知l1=0, 矛盾. 因此存在k(2£k£m), 使
lk¹0, lk+1=lk+2= × × × =lm=0,
于是
l1a1+l2a2+ × × × +lkak=0,
ak=-(1/lk)(l1a1+l2a2+ × × × +lk-1ak-1),
即ak能由a1, a2, × × ×, ak-1线性表示.

19. 设向量组B: b1, × × ×, br能由向量组A: a1, × × ×, as线性表示为
(b1, × × ×, br)=(a1, × × ×, as)K, 其中K为s´r矩阵, 且A组线性无关. 证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩R(K)=r.
证明　令B=(b1, × × ×, br), A=(a1, × × ×, as), 则有B=AK.
必要性: 设向量组B线性无关.
由向量组B线性无关及矩阵秩的性质, 有
r=R(B)=R(AK)£min{R(A), R(K)}£R(K),
及 R(K)£min{r, s}£r.
因此R(K)=r.
充分性: 因为R(K)=r, 所以存在可逆矩阵C, 使为K的标准形. 于是
(b1, × × ×, br)C=( a1, × × ×, as)KC=(a1, × × ×, ar).
因为C可逆, 所以R(b1, × × ×, br)=R(a1, × × ×, ar)=r, 从而b1, × × ×, br线性无关.

20. 设
,
证明向量组a1, a2, × × ×, an与向量组b1, b2, × × ×, bn等价.
证明 将已知关系写成
,
将上式记为B=AK. 因为
,
所以K可逆, 故有A=BK -1. 由B=AK和A=BK -1可知向量组a1, a2, × × ×, an与向量组b1, b2, × × ×, bn可相互线性表示. 因此向量组a1, a2, × × ×, an与向量组b1, b2, × × ×, bn等价.

21. 已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x, 且向量组x, Ax, A2x线性无关.
(1)记P=(x, Ax, A2x), 求3阶矩阵B, 使AP=PB;
解 因为
AP=A(x, Ax, A2x)
=(Ax, A2x, A3x)
=(Ax, A2x, 3Ax-A2x)
,
所以.
(2)求|A|.
解 由A3x=3Ax-A2x, 得A(3x-Ax-A2x)=0. 因为x, Ax, A2x线性无关, 故3x-Ax-A2x¹0, 即方程Ax=0有非零解, 所以R(A)<3, |A|=0.

（从22题开始，凡涉及到基础解系问题的，答案都不是唯一的，可以参考本文答案，也可以看书后的答案，不过以书后的答案为主。每一题不再一一说明）

22. 求下列齐次线性方程组的基础解系:
(1);
解　对系数矩阵进行初等行变换, 有
,
于是得
.
取(x3, x4)T=(4, 0)T, 得(x1, x2)T=(-16, 3)T;
取(x3, x4)T=(0, 4)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T.
因此方程组的基础解系为
x1=(-16, 3, 4, 0)T, x2=(0, 1, 0, 4)T.
(2).
解 对系数矩阵进行初等行变换, 有
,
于是得
.
取(x3, x4)T=(19, 0)T, 得(x1, x2)T=(-2, 14)T;
取(x3, x4)T=(0, 19)T, 得(x1, x2)T=(1, 7)T.
因此方程组的基础解系为
x1=(-2, 14, 19, 0)T, x2=(1, 7, 0, 19)T.

(3)nx1 +(n-1)x2+ × × × +2xn-1+xn=0.
解 原方程组即为
xn=-nx1-(n-1)x2- × × × -2xn-1.
取x1=1, x2=x3= × × × =xn-1=0, 得xn=-n;
取x2=1, x1=x3=x4= × × × =xn-1=0, 得xn=-(n-1)=-n+1;
× × × ;
取xn-1=1, x1=x2= × × × =xn-2=0, 得xn=-2.
因此方程组的基础解系为
x1=(1, 0, 0, × × ×, 0, -n)T,
x2=(0, 1, 0, × × ×, 0, -n+1)T,
× × ×,
xn-1=(0, 0, 0, × × ×, 1, -2)T.

23. 设, 求一个4´2矩阵B, 使AB=0, 且
R(B)=2.
解 显然B的两个列向量应是方程组AB=0的两个线性无关的解. 因为
,
所以与方程组AB=0同解方程组为
.
取(x3, x4)T=(8, 0)T, 得(x1, x2)T=(1, 5)T;
取(x3, x4)T=(0, 8)T, 得(x1, x2)T=(-1, 11)T.
方程组AB=0的基础解系为
x1=(1, 5, 8, 0)T, x2=(-1, 11, 0, 8)T.
因此所求矩阵为.

24. 求一个齐次线性方程组, 使它的基础解系为
x1=(0, 1, 2, 3)T , x2=(3, 2, 1, 0)T .
解 显然原方程组的通解为
, 即, (k1, k2ÎR),
消去k1, k2得
,
此即所求的齐次线性方程组.

25. 设四元齐次线性方程组
I: , II: .
求: (1)方程I与II的基础解系; (2) I与II的公共解.
解 (1)由方程I得.
取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 0)T;
取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, 1)T.
因此方程I的基础解系为
x1=(0, 0, 1, 0)T, x2=(-1, 1, 0, 1)T.
由方程II得.
取(x3, x4)T=(1, 0)T, 得(x1, x2)T=(0, 1)T;
取(x3, x4)T=(0, 1)T, 得(x1, x2)T=(-1, -1)T.
因此方程II的基础解系为
x1=(0, 1, 1, 0)T, x2=(-1, -1, 0, 1)T.
(2) I与II的公共解就是方程
III:
的解. 因为方程组III的系数矩阵
,
所以与方程组III同解的方程组为
.
取x4=1, 得(x1, x2, x3)T=(-1, 1, 2)T, 方程组III的基础解系为
x=(-1, 1, 2, 1)T.
因此I与II的公共解为x=c(-1, 1, 2, 1)T, cÎR.

26. 设n阶矩阵A满足A2=A, E为n阶单位矩阵, 证明
R(A)+R(A-E)=n.
证明 因为A(A-E)=A2-A=A-A=0, 所以R(A)+R(A-E)£n.
又R(A-E)=R(E-A), 可知
R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)³R(A+E-A)=R(E)=n,
由此R(A)+R(A-E)=n.

27. 设A为n阶矩阵(n³2), A*为A的伴随阵, 证明
.
证明 当R(A)=n时, |A|¹0, 故有
|AA*|=||A|E|=|A|¹0, |A*|¹0,
所以R(A*)=n.
当R(A)=n-1时, |A|=0, 故有
AA*=|A|E=0,
即A*的列向量都是方程组Ax=0的解. 因为R(A)=n-1, 所以方程组Ax=0的基础解系中只含一个解向量, 即基础解系的秩为1. 因此R(A*)=1.
当R(A)£n-2时, A中每个元素的代数余子式都为0, 故A*=O, 从而R(A*)=0.

28. 求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:
(1);
解 对增广矩阵进行初等行变换, 有
.
与所给方程组同解的方程为
.
当x3=0时, 得所给方程组的一个解h=(-8, 13, 0, 2)T.
与对应的齐次方程组同解的方程为
.
当x3=1时, 得对应的齐次方程组的基础解系x=(-1, 1, 1, 0)T.

(2).
解 对增广矩阵进行初等行变换, 有
.
与所给方程组同解的方程为
.
当x3=x4=0时, 得所给方程组的一个解
h=(1, -2, 0, 0)T.
与对应的齐次方程组同解的方程为
.
分别取(x3, x4)T=(1, 0)T, (0, 1)T, 得对应的齐次方程组的基础解系
x1=(-9, 1, 7, 0)T. x2=(1, -1, 0, 2)T.

29. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3, 已知h1, h2, h3是它的三个解向量. 且
h1=(2, 3, 4, 5)T, h2+h3=(1, 2, 3, 4)T,
求该方程组的通解.
解 由于方程组中未知数的个数是4, 系数矩阵的秩为3, 所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量, 且由于h1, h2, h3均为方程组的解, 由非齐次线性方程组解的结构性质得
2h1-(h2+h3)=(h1-h2)+(h1-h3)= (3, 4, 5, 6)T
为其基础解系向量, 故此方程组的通解:
x=k(3, 4, 5, 6)T+(2, 3, 4, 5)T, (kÎR).

30. 设有向量组A: a1=(a, 2, 10)T, a2=(-2, 1, 5)T, a3=(-1, 1, 4)T, 及b=(1, b, -1)T, 问a, b为何值时
(1)向量b不能由向量组A线性表示;
(2)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一;
(3)向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.
解 .
(1)当a=-4, b¹0时, R(A)¹R(A, b), 此时向量b不能由向量组A线性表示.
(2)当a¹-4时, R(A)=R(A, b)=3, 此时向量组a1, a2, a3线性无关, 而向量组a1, a2, a3, b线性相关, 故向量b能由向量组A线性表示, 且表示式唯一.
(3)当a=-4, b=0时, R(A)=R(A, b)=2, 此时向量b能由向量组A线性表示, 且表示式不唯一.
当a=-4, b=0时,
,
方程组(a3, a2, a1)x=b的解为
, cÎR.
因此 b=(2c+1)a3+(-3c-1)a2+ca1,
即 b= ca1+(-3c-1)a2+(2c+1)a3, cÎR.

31. 设a=(a1, a2, a3)T, b=(b1, b2, b3)T, c=(c1, c2, c3)T, 证明三直线
l1: a1x+b1y+c1=0,
l2: a2x+b2y+c2=0, (ai2+bi2¹0, i=1, 2, 3)
l3: a3x+b3y+c3=0,
相交于一点的充分必要条件为: 向量组a, b线性无关, 且向量组a, b, c线性相关.
证明 三直线相交于一点的充分必要条件为方程组
, 即
有唯一解. 上述方程组可写为xa+yb=-c. 因此三直线相交于一点的充分必要条件为c能由a, b唯一线性表示, 而c能由a, b唯一线性表示的充分必要条件为向量组a, b线性无关, 且向量组a, b, c线性相关.

32. 设矩阵A=(a1, a2, a3, a4), 其中a2, a3, a4线性无关, a1=2a2- a3. 向量b=a1+a2+a3+a4, 求方程Ax=b的通解.
解 由b=a1+a2+a3+a4知h=(1, 1, 1, 1)T是方程Ax=b的一个解.
由a1=2a2- a3得a1-2a2+a3=0, 知x=(1, -2, 1, 0)T是Ax=0的一个解.
由a2, a3, a4线性无关知R(A)=3, 故方程Ax=b所对应的齐次方程Ax=0的基础解系中含一个解向量. 因此x=(1, -2, 1, 0)T是方程Ax=0的基础解系.
方程Ax=b的通解为
x=c(1, -2, 1, 0)T+(1, 1, 1, 1)T, cÎR.

33. 设h*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解, x1, x2, × × ×, xn-r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系, 证明:
(1)h*, x1, x2, × × ×, xn-r线性无关;
(2)h*, h*+x1, h*+x2, × × ×, h*+xn-r线性无关.
证明 (1)反证法, 假设h*, x1, x2, × × ×, xn-r线性相关. 因为x1, x2, × × ×, xn-r线性无关, 而h*, x1, x2, × × ×, xn-r线性相关, 所以h*可由x1, x2, × × ×, xn-r线性表示, 且表示式是唯一的, 这说明h*也是齐次线性方程组的解, 矛盾.
(2)显然向量组h*, h*+x1, h*+x2, × × ×, h*+xn-r与向量组h*, x1, x2, × × ×, xn-r可以相互表示, 故这两个向量组等价, 而由(1)知向量组h*, x1, x2, × × ×, xn-r线性无关, 所以向量组h*, h*+x1, h*+x2, × × ×, h*+xn-r也线性无关.

34. 设h1, h2, × × ×, hs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解, k1, k2, × × ×, ks为实数, 满足k1+k2+ × × × +ks=1. 证明
x=k1h1+k2h2+ × × × +kshs
也是它的解.
证明 因为h1, h2, × × ×, hs都是方程组Ax=b的解, 所以
Ahi=b (i=1, 2, × × ×, s),
从而 A(k1h1+k2h2+ × × × +kshs)=k1Ah1+k2Ah2+ × × × +ksAhs
=(k1+k2+ × × × +ks)b=b.
因此x=k1h1+k2h2+ × × × +kshs也是方程的解.

35. 设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r, h1, h2, × × ×, hn-r+1是它的n-r+1个线性无关的解. 试证它的任一解可表示为
x=k1h1+k2h2+ × × × +kn-r+1hn-r+1, (其中k1+k2+ × × × +kn-r+1=1).
证明　因为h1, h2, × × ×, hn-r+1均为Ax=b的解, 所以x1=h2-h1, x2=h3-h1, × × ×, xn-r=h n-r+1-h1均为Ax=b的解.
用反证法证: x1, x2, × × ×, xn-r线性无关.
设它们线性相关, 则存在不全为零的数l1, l2, × × ×, ln-r, 使得
l1x1+ l2x2+ × × × + l n-r x n-r=0,
即 l1(h2-h1)+ l2(h3-h1)+ × × × + l n-r(hn-r+1-h1)=0,
亦即 -(l1+l2+ × × × +ln-r)h1+l1h2+l2h3+ × × × +l n-rhn-r+1=0,
由h1, h2, × × ×, hn-r+1线性无关知
-(l1+l2+ × × × +ln-r)=l1=l2= × × × =ln-r=0,
矛盾. 因此x1, x2, × × ×, xn-r线性无关. x1, x2, × × ×, xn-r为Ax=b的一个基础解系.
设x为Ax=b的任意解, 则x-h1为Ax=0的解, 故x-h1可由x1, x2, × × ×, xn-r线性表出, 设
x-h1=k2x1+k3x2+ × × × +kn-r+1xn-r
=k2(h2-h1)+k3(h3-h1)+ × × × +kn-r+1(hn-r+1-h1),
x=h1(1-k2-k3 × × × -kn-r+1)+k2h2+k3h3+ × × × +k n-r+1hn-r+1.
令k1=1-k2-k3 × × × -kn-r+1, 则k1+k2+k3 × × × -kn-r+1=1, 于是
x=k1h1+k2h2+ × × × +kn-r+1hn-r+1.

36. 设
V1={x=(x1, x2, × ×× ×, xn)T | x1, × × ×, xnÎR满足x1+x2+ × × × +xn=0},
V2={x=(x1, x2, × × ×, xn)T | x1, × × ×, xnÎR满足x1+x2+ × × × +xn=1},
问V1, V2是不是向量空间？为什么？
解 V1是向量空间, 因为任取
a=(a1, a2, × × ×, an)T ÎV1, b=(b1, b2, × × ×, bn)T ÎV1, lÎR,
有 a1+a2+ × × × +an=0,
b1+b2+ × × × +bn=0,
从而 (a1+b1)+(a2+b2)+ × × × +(an+bn)
=(a1+a2+ × × × +an)+(b1+b2+ × × × +bn)=0,
la1+la2+ × × × +lan=l(a1+a2+ × × × +an)=0,
所以 a+b=(a1+b1, a2+b2, × × ×, an+bn)TÎV1,
la=(la1, la2, × × ×, lan)T ÎV1.
V2不是向量空间, 因为任取
a=(a1, a2, × × ×, an)T ÎV1, b=(b1, b2, × × ×, bn)T ÎV1,
有 a1+a2+ × × × +an=1,
b1+b2+ × × × +bn=1,
从而 (a1+b1)+(a2+b2)+ × × × +(an+bn)
=(a1+a2+ × × × +an)+(b1+b2+ × × × +bn)=2,
所以 a+b=(a1+b1, a2+b2, × × ×, an+bn)TÏV2.

37. 试证: 由a1=(0, 1, 1)T, a2=(1, 0, 1)T, a3=(1, 1, 0)T所生成的向量空间就是R3.
证明　 设A=(a1, a2, a3), 由
,
知R(A)=3, 故a1, a2, a3线性无关, 所以a1, a2, a3是三维空间R3的一组基, 因此由a1, a2, a3所生成的向量空间就是R3.

38. 由a1=(1, 1, 0, 0)T, a2=(1, 0, 1, 1)T所生成的向量空间记作V1,由b1=(2, -1, 3, 3)T, b2=(0, 1, -1, -1)T所生成的向量空间记作V2, 试证V1=V2.
证明 设A=(a1, a2), B=(b1, b2). 显然R(A)=R(B)=2, 又由
,
知R(A, B)=2, 所以R(A)=R(B)=R(A, B), 从而向量组a1, a2与向量组b1, b2等价. 因为向量组a1, a2与向量组b1, b2等价, 所以这两个向量组所生成的向量空间相同, 即V1=V2.

39. 验证a1=(1, -1, 0)T, a2=(2, 1, 3)T, a3=(3, 1, 2)T为R3的一个基, 并把v1=(5, 0, 7)T, v2=(-9, -8, -13)T用这个基线性表示.
解 设A=(a1, a2, a3). 由
,
知R(A)