matlab5二次规划问题.doc

二次规划的标准形式为：
min    (1/2)X’HX+f’X
约束条件：Ax£b Aeqx=beq，lb£x£ub，其中：f、b、beq、lb、ub、x是矢量，H、 A、Aeq为矩阵。
在MATLAB中可以使用quadprog函数来求最小值。
调用格式:
x=quadprog (H,f,A,b)
x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq)
x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
x=quadprog (H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options,P1,P2,…)
[x,fval]= quadprog (…)
[x,fval,exitflag]= quadprog (…)
[x,fval,exitflag,output]= quadprog (…)
[x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog (…)
fval为目标函数的最优值；其中：H,f,A,b为标准形中的参数，x为目标函数的最小值；x0为初值；Aeq,beq满足等式约束Aeq.x=beq；lb,ub满足lb lambda是Lagrange乘数，它体现有效约束的个数；output输出优化信息；exitflag为终止迭代的条件：若exitflag>0，表示函数收敛于解x；若exitflag=0,表示超过函数估值或迭代的最大次数；exitflag<0表示函数不收敛于解x；output为优化信息：若参数output=iterations表示迭代次数，output=funccount表示函数赋值次数，output=algorithm表示所使用的算法。
例0-6 计算下面二次规划问题
minf（x）= (1/2)x1^2+x2^2- x1x2-2x1-6x2
约束条件： x1+x2£2
-x1+x2£2，
2x1+x2£3；
x1£0； x2£0
解：把二次规划问题写成标准形式：(1/2)XTHX+fTX
这里：H=  1  -1     f=   -2       X=  x1
         -1   2          -6           x2
在命令窗口键入命令：
>>H=[1 –1;-1 2];
>>f=[-2;-6];
>>A=[1 1;-1 2;2 1];
>>b=[2;2;3];
>>lb=[zeros(2,1)];
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)
运行以上命令得到的显示结果如下：
x=                          %最优值点
§3 二次规划模型
数学模型：

其中H为二次型矩阵，A、Aeq分别为不等式约束与等式约束系数矩阵，f,b,beq,lb,ub,x为向量。
求解二次规划问题函数为quadprog( )
调用格式： X= quadprog(H,f,A,b)
X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)
X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
X= quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,fval]= quadprog(…)
[x,fval,exitflag]= quadprog(…)
[x,fval,exitflag,output]= quadprog(…)
[x,fval,exitflag,output,lambda]= quadprog(…)
说明：输入参数中，x0为初始点；若无等式约束或无不等式约束，就将相应的矩阵和向量设置为空；options为指定优化参数。输出参数中，x是返回最优解；fval是返回解所对应的目标函数值；exitflag是描述搜索是否收敛；output是返回包含优化信息的结构。Lambda是返回解x入包含拉格朗日乘子的参数。
例1：求解：二次规划问题
min f(x)= x1-3x2+3x12+4x22-2x1x2
s.t 2x1+x2≤2
-x1+4x2≤3
程序： f=[1;-3]
H=[6 -2;-2 8]
A=[2 1;-1 4]
b=[2;3]
[X,fval,exitflag]=quadprog(H,f,A,b)
结果： X =
-0.0455
0.3636
fval =
-0.5682
exitflag =
1
例2：求解：二次规划问题
min +x12+2x22-2x1x2-4x1-12x2
s.t x1+x2≤2
-x1+2x2≤2
2x1+x2≤3
0≤x1, 0≤x2
程序： H=[2 -2;-2 4];
f=[-4;-12];
A=[1 1;-1 2;2 1];
b=[2;2;3];
lb=zeros(2,1);
[x,fval,exitflag]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)
结果： x =
0.6667
1.3333
fval =
-16.4444
exitflag =
1