一道恒等式的几个证法及其推广与应用.pdf

第2 6 卷第3期2023年5月doi:10.3969/j.issn.1008-1399.2023.03.019高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.26,No.3May,2023一道恒等式的几个证法及其推广与应用陈应生（华侨大学数学科学学院，福建泉州36 2 0 2 1)摘要本文针对一个恒等式给出四种不同的证明方法，并对这个恒等式进行推广，最后给出所得结论在解题中的应用。关键词高等数学；中值定理；泰勒公式；创新思维中图分类号0 17 2Proofs for an Identity and Its Extension and Applications(School of Mathematic Science,Huaqiao University,Quanzhou 362021,China)Abstract This paper provides four different proofs for an identity and its generalization,and shows theapplication of the conclusion obtained.Keywords Advanced Mathematics,intermediate value theorem,Taylor formula,innovative thinking1引言高等数学是大学理工类学生必修的一门公共基础数学课程1.2.3，它是其它数学的基础，也是理工类专业课程学习必备的工具，其重要程度不言而喻.相对于高中的初等数学，高等数学无论从概念的抽象程度、知识内容的广度、数学思想的深度都远超高中数学.不少新生进人大学后，在高等数学的学习上遇到困难一个典型的特点就是高等数学的方法和技巧很多，很多学生不能及时掌握在教学中，一题多解是拓宽学生思维、激发学生学习兴趣、挖掘学生学习潜能的重要教学方法4.5.6，数学题目的总结和推广是训练学生举一反三、触类旁通的重要启发式教学方式7。在针对理工类学生的教学过程中，为了提高学生学习的兴趣，吸引学生的注意力，我们经常尝试一题多解一般把一道题目布置给学生，让学生课后思考，下一堂课进行总结归纳.不同的学生有不同的思路，做起来不完全相同，教师也尽量提供收稿日期：2 0 2 2-0 7-2 1基金项目：国家自然科学基金（118 7 12 59），福建省自然科学基金项目（2 0 2 2 J0 130 6）；华侨大学教育教学研究项目（HQJGYB2204).作者简介：陈应生（197 6 一），男，福建泉州，硕士，讲师，研究方向，粗糙集与概念格.Email:,文献标识码ACHEN Yingsheng新的解题思路最后，再进行变式和拓展推广，从而在教学过程中培养学生的思维能力和创新能力.本文给出一道高等数学恒等式的四种证明方法，并把问题进一步拓展.2问题与证法题目设函数f()在a,b上连续，在（a,b)内二阶可导,证明存在E（a,b),使得a+b)+(b-a)?f(b)+f(a)=2f().24证法一禾利用拉格朗日中值定理b-aa+b令t，o2F()=f(+t)-f()，a o,注意到o一a=t，由拉格朗日中值定理,存在a.co,使得F(o)-F(a)=F(n)(o-a)=(f(n+t)-f(n)t.对（)在区间，n十上再次利用拉格朗日中值定理,存在nnt,使得 f（n t)-f（n）=f()t,所以修改日期：2 0 2 3-0 2-2 1F(o)-F(a)=f(=)t?.又 F(zo)-F(a)=(b)-2f(“)a+bf(6)-2f(b)+(a)=fr(e)(b).2文章编号10 0 8-1399(2 0 2 3)0 3-0 0 53-0 3，记+f(a),故24222k54证法二利用泰勒中值定理b-aa+b设t，又设f(）在o点的泰2.o勒展开式如下,其中在。与之间(a)=(2o)+F(20(-20)+L(-.).2！将=与=b分别代人上述泰勒展开式得f()(a-o),f(a)=f(ao)+f(co)(a-o)+L2！L(P(b-0).f(b)=f(o)+f(o)(b-o)+2！两式相加，并注意到（b一o）=。一a=t，于是有+(f(a)+f(3)(a=)f(a)+f(b)=2 f(a+b)2由于2 min(f(),f()f()+f()2max(f（),()），由介值定理得，存在asb,使得f()+f()=2f(s),从而f(a)+f(b)=2.r(ab)2证法三利用待定系数法设a+bf(b)2f2F()=f()-2f(a十+f(a)2则有 F(a)=0,且a+6F(b)=f(b)-2 f(2由罗尔定理,存在nE（a,b),使得 F(n)=0,即f(n)-f(a+)_(ra)c=0,22从而f(n)一又根据拉格朗日中值定理，有(n)-f(atn)对照（2)式,有C=f(=),再根据(1)式,有(b)-2f(9(a+62证法四利用罗尔定理原命题即证f(b)-2 f(ab)2F()=4(b-a)?如果令g（）=C,则得g（)=C十Ci与=%+Cia+C.一g（a2高等数学研究2解得再令F()=f()一g()=f()其中C1，C值如上，经计算可得，F(a)=0,F(b)=0,F82a+b.a+b根据罗尔定理，存在及22得 F(si)=F(s2)=0.又对函数F（)在（si，s 2）上应用罗尔定理,存(a-b)2()4(b-a)2f(a)4(a-a)2C4(b-a)24a+n(n二a)22()(n二a)2f(a)=(ba)(E).4aC.2023年5月Ca?+Cia+C,2Cf(6)62+Ci6+C22Cf(6)-f(a)b-a2bf(a)-af(b)CC2ab.b-a2C-CiC2,(a+b)52b,使在E(si,s2)C(a,b),使得 F(=)=0,即 F()=(s)-C=0,从而 (s)=C,即证明原命题.3推广与应用在闭区间a,b上选取中点2。=“专写出(1)f()的泰勒展开式，再将端点a,b的值代入，即得题目所给的恒等式.这个关系式可以推广到一般的情形，即如下结论。定理1设函数f()在a,b上连续,在(a,b)内2 m十2 阶可导,则存在E（a,b),使得f(b)+f(a)=2k=02(b-a)2m+222m+2(2m+2)（2)证明设a+b则()在o点的泰勒2展开式为2m+1f()=k=0f(2m+2)(n)(2m+2)!其中在。与之间.于是2m+1f()(o)f(a)=(a 一o)k！k=0(2m+2)(）(a 一 ao)2m+2.(2m+2)！2m+1f(k)(o)f(6)=(b-o)k=0k！(26-一o)2m+2,(2m+2)!(a+b);2f(2k)(o)2(b-a)2k(2k)!(一）k！C0)2m+2f(2m+2)().第2 6 卷第3期两式相加，注意到a一o=22m+12(a-b)(b-a)f(a)+f(b)=k！k一0一4(2k)(c)2(b-a)2k(2k）！=0注这里利用介值定理，存在E（a,b）使得2m2(n1)+f(2m+2(m)=2 f(2m+2().定理2 设函数f()在a,b上连续,在(a,b)内2 m十1阶可导，则存在E（a,b)，使得777(6)-f(a)=2k=1(b-a)2m+122m(2m+1)！证明f()在o=a+b2点的泰勒展开式为f(1)-f(-1)=f(0)2+(),得 (e)=3.2mf()=k=0(2m+1)(2m+1)！(一o)2m+1.其中在。与之间.于是f(k)(ao22m(6)-2k！k=0f(2m+1)(n2)+(6一ao)2m+1,(2m+1)!2m(a)=2f(k)(co)(a一o)kk=0k！f(2m+1)（）a一o)2m+1.(2m+1)!两式相减得(6)-5(a)-22mf(k)(co2(b-a)k！k=0+f(2m+1)(m)+f(2m+1)(f(2k-1)(0o)(2k-1)!k=1下面列举3个例题，说明定理1和定理2 的应用.例1设函数f()在0,2 上连续，在(0,2)内二阶可导，且f（0)=0，f(1)=2,f(2)=0,证明存在E(0,2),使得f(s)=一4.证明由定理1,当m=0时，存在E（0,2)，使得 f(0)十f(2)=2f(1)十f(),所以f()=一4.例2 设函数f()是a,b上连续的严格单调递增函数，f()在(a,b)内具有连续的三阶导数,证陈应生：一道恒等式的几个证法及其推广与应用a-662k(b-a)2m+222k22m+2(2m+2)2(b-a)2m+2F(2-1(0)22(-1)(2k-1)f(2m+1)().(一o)kk！(b-o)k(a-b)2k2k（m2）(b-a)2m+122m+1(2m+1)!(6-(b-a)2m+122m(2m+1)55b,有明存在一点E（a,b)，使得2(E)0,E(a,b),所以(b)一f(a),即-24(f(b)-f(a)(b-a)3例3（2 0 11年全国高等数学竞赛（非数学类）设函数f()在一1,1具有连续的三阶导数，且(b-a)kf（1)=0,f(1)=1,f（0）=0,证明在至少存在一点E(-1,1),使得f()=3.证明由定理2,当m=1时，存在E(0,1)使得4总结本文通过一道高等数学恒等式的多种证明方法，力图使学生深刻领会拉格朗日中值定理、泰勒公式、罗尔定理的灵活运用，学习函数的构造、待定系数、级数运算等常用的数学方法并通过拓展推广，使学生初步了解数学的研究方法.高等数学是一门方法和技巧比较强的基础数学学科，如何使学生牢固掌握基本技能和基本方法，并会灵活运用是这门课程教学的核心问题在课堂教学上适当融人一题多解的教学方式，有利于学生深刻体会数学的思想方法，领悟数学的奥妙，对激发学生的思维，提高学生的创新能力有重要的作用.参考文献1同济大学数学系.高等数学M.6版.北京：高等教育出版社2 0 14.2张宇高等数学18 讲M北京：北京理工大学出版f2m+1)(E).社.2 0 16.3陈静，邹辉，侯松波.“高等数学强基”课程“小学分小模块”教学新形态探究J.大学数学，2 0 2 2,38（3）：6 9-7 4.4张莉，檀结庆，唐烁高等数学课题教学与一题多解J.大学数学，2 0 12,2 8（6)：144-148.5尹江华，姚晓洁，谢兴祥。一道数学竞赛题的再推广及运用J.高等数学研究，2 0 18，2 1（6）：52-53.6戴立辉，苏化明一道研究生人学考试题的多种解法J.高等数学研究，2 0 2 0,2 3（5）：34-37.7王佳颖关于几类微分中值定理题型的解题策略探究J.高等数学研究，2 0 2 0,2 3（5）：13-17.(b-a)3()，由24(b-a)324()f