历年高考数学真题全国卷整理版).doc

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013大纲全国，理1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为(　　)．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．(2013大纲全国，理2)＝(　　)．
A．－8 B．8 C．－8i D．8i
3．(2013大纲全国，理3)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)．
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
4．(2013大纲全国，理4)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)．
A．(－1,1) B． C．(－1,0) D．
5．(2013大纲全国，理5)函数f(x)＝(x＞0)的反函数f－1(x)＝(　　)．
A．(x＞0) B．(x≠0) C．2x－1(x∈R) D．2x－1(x＞0)
6．(2013大纲全国，理6)已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝，则{an}的前10项和等于(　　)．
A．－6(1－3－10) B．(1－310) C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
7．(2013大纲全国，理7)(1＋x)8(1＋y)4的展开式中x2y2的系数是(　　)．
A．56 B．84 C．112 D．168
8．(2013大纲全国，理8)椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是(　　)．
A． B． C． D．
9．(2013大纲全国，理9)若函数f(x)＝x2＋ax＋在是增函数，则a的取值范围是(　　)．
A．[－1,0] B．[－1，＋∞) C．[0,3] D．[3，＋∞)
10．(2013大纲全国，理10)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(　　)．
A． B． C． D．
11．(2013大纲全国，理11)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若，则k＝(　　)．
A． B． C． D．2
12．(2013大纲全国，理12)已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是(　　)．
A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称 B．y＝f(x)的图像关于直线对称
C．f(x)的最大值为 D．f(x)既是奇函数，又是周期函数
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013大纲全国，理13)已知α是第三象限角，sin α＝，则cot α＝__________.
14．(2013大纲全国，理14)6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种．(用数字作答)
15．(2013大纲全国，理15)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是__________．
16．(2013大纲全国，理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK＝，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013大纲全国，理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式．
18．(2013大纲全国，理18)(本小题满分12分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sin Asin C＝，求C
19．(2013大纲全国，理19)(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形．
(1)证明：PB⊥CD；
(2)求二面角A－PD－C的大小．
20．(2013大纲全国，理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
21．(2013大纲全国，理21)(本小题满分12分)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.
(1)求a，b；
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，证明：|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
22．(2013大纲全国，理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝.
(1)若x≥0时，f(x)≤0，求λ的最小值；
(2)设数列{an}的通项，证明：a2n－an＋＞ln 2.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(大纲全国卷)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：B
解析：由题意知x＝a＋b，a∈A，b∈B，则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素．故选B.
2．
答案：A
解析：.故选A.
3．
答案：B
解析：由(m＋n)⊥(m－n)?|m|2－|n|2＝0?(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0?λ＝－3.故选B.
4．
答案：B
解析：由题意知－1＜2x＋1＜0，则－1＜x＜.故选B.
5．
答案：A
解析：由题意知＝2y?x＝(y＞0)，
因此f－1(x)＝(x＞0)．故选A.
6．
答案：C
解析：∵3an＋1＋an＝0，∴an＋1＝.∴数列{an}是以为公比的等比数列．∵a2＝，∴a1＝4.
∴S10＝＝3(1－3－10)．故选C.
7．
答案：D
解析：因为(1＋x)8的展开式中x2的系数为，(1＋y)4的展开式中y2的系数为，所以x2y2的系数为.故选D.
8．
答案：B
解析：设P点坐标为(x0，y0)，则，
，，于是.
故.
∵∈[－2，－1]，
∴.故选B.
9．
答案：D
解析：由条件知f′(x)＝2x＋a－≥0在上恒成立，即在上恒成立．∵函数在上为减函数，∴.∴a≥3.故选D.
10．
答案：A
解析：如下图，连结AC交BD于点O，连结C1O，过C作CH⊥C1O于点H.
∵
CH⊥平面C1BD，
∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角．
设AA1＝2AB＝2，则，.
由等面积法，得C1O·CH＝OC·CC1，即，
∴.
∴sin∠HDC＝.故选A.
11．
答案：D
解析：由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0)，则直线AB的方程为y＝k(x－2)，将其代入y2＝8x，得k2x2－4(k2＋2)x＋4k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4.①
由
∵，
∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0.
∴(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0，
即x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.④
由①②③④解得k＝2.故选D.
12．
答案：C
解析：由题意知f(x)＝2cos2x·sin x＝2(1－sin2x)sin x.
令t＝sin x，t∈[－1,1]，
则g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3.
令g′(t)＝2－6t2＝0，得.
当t＝±1时，函数值为0；
当时，函数值为；
当时，函数值为.
∴g(t)max＝，
即f(x)的最大值为.故选C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．答案：
解析：由题意知cos α＝.
故cot α＝.
14．答案：480
解析：先排除甲、乙外的4人，方法有种，再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中，有种排法，因此甲、乙不相邻的不同排法有(种)．
15．答案：
解析：作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．
∵直线y＝a(x＋1)过定点C(－1,0)，由图并结合题意可知，kAC＝4，
∴要使直线y＝a(x＋1)与平面区域D有公共点，
则≤a≤4.
16．答案：16π
解析：如下图，设MN为两圆的公共弦，E为MN的中点，
则OE⊥MN，KE⊥MN，结合题意可知∠OEK＝60°.
又MN＝R，∴△OMN为正三角形．∴OE＝.
又OK⊥EK，∴＝OE·sin 60°＝.
∴R＝2.
∴S＝4πR2＝16π.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．解：设{an}的公差为d.
由S3＝得3a2＝，故a2＝0或a2＝3.
由S1，S2，S4成等比数列得＝S1S4.
又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，
故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．
若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时Sn＝0，不合题意；
若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.
因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1.
18．
解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cos B＝，
因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，
所以cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C＝cos(A＋C)＋2sin Asin C＝，
故A－C＝30°或A－C＝－30°，
因此C＝15°或C＝45°.
19．
(1)证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形．
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.
连结OA，OB，OD，OE.
由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD，
所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，
故OE⊥BD，从而PB⊥OE.
因为O是BD的中点，E是BC的中点，
所以OE∥CD.因此PB⊥CD.
(2)解法一：由(1)知CD⊥PB，CD⊥PO，PB∩PO＝P，
故CD⊥平面PBD.
又PD平面PBD，所以CD⊥PD.
取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，
则FG∥CD，FG⊥PD.
连结AF，由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.
所以∠AFG为二面角A－PD－C的平面角．
连结AG，EG，则EG∥PB.
又PB⊥AE，所以EG⊥AE.
设AB＝2，则AE＝，EG＝＝1，
故AG＝＝3.
在△AFG中，FG＝，，AG＝3，
所以cos∠AFG＝.
因此二面角A－PD－C的大小为.
解法二：由(1)知，OE，OB，OP两两垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
设||＝2，则A(，0,0)，D(0，，0)，C(，，0)，P(0,0，)．
＝(，，)，＝(0，，)．
＝(，0，)，＝(，，0)．
设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，则n1·＝(x，y，z)·(，，)＝0，
n1·＝(x，y，z)·(0，，)＝0，
可得2x－y－z＝0，y＋z＝0.
取y＝－1，得x＝0，z＝1，故n1＝(0，－1,1)．
设平面PAD的法向量为n2＝(m，p，q)，则n2·＝(m，p，q)·(，0，)＝0，n2·＝(m，p，q)·(，，0)＝0，可得m＋q＝0，m－p＝0.
取m＝1，得p＝1，q＝－1，故n2＝(1,1，－1)．
于是cos〈n1，n2〉＝.
由于〈n1，n2〉等于二面角A－PD－C的平面角，所以二面角A－PD－C的大小为.
20．
解：(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”，
A2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A表示事件“第4局甲当裁判”．
则A＝A1·A2.
P(A)＝P(A1·A2)＝P(A1)P(A2)＝.
(2)X的可能取值为0,1,2.
记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”，B2表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，B3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P(X＝0)＝P(B1·B2·A3)＝P(B1)P(B2)·P(A3)＝，P(X＝2)＝P(·B3)＝P()P(B3)＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝，EX＝0·P(X＝0)＋1·P(X＝1)＋2·P(X＝2)＝.
21．
(1)解：由题设知＝3，即＝9，故b2＝8a2.
所以C的方程为8x2－y2＝8a2.
将y＝2代入上式，求得.
由题设知，，解得a2＝1.
所以a＝1，b＝.
(2)证明：由(1)知，F1(－3,0)，F2(3,0)，C的方程为8x2－y2＝8.①
由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，，代入①并化简得(k2－8)x2－6k2x＋9k2＋8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≤－1，x2≥1，x1＋x2＝，x1·x2＝.
于是|AF1|＝
＝＝－(3x1＋1)，
|BF1|＝
＝＝3x2＋1.
由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝.
故，解得k2＝，从而x1·x2＝.
由于|AF2|＝
＝＝1－3x1，
|BF2|＝
＝＝3x2－1，
故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.
因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．
22．
(1)解：由已知f(0)＝0，f′(x)＝，f′(0)＝0.
若，则当0＜x＜2(1－2λ)时，f′(x)＞0，所以f(x)＞0.
若，则当x＞0时，f′(x)＜0，所以当x＞0时，f(x)＜0.
综上，λ的最小值是.
(2)证明：令.由(1)知，当x＞0时，f(x)＜0，
即．
取，则.
于是
＝
＝ln 2n－ln n＝ln 2.
所以.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷I)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅰ，理1)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－＜x＜}，则(　　)．
A．A∩B＝ B．A∪B＝R C．BA D．AB
2．(2013课标全国Ⅰ，理2)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)．
A．－4 B． C．4 D．
3．(2013课标全国Ⅰ，理3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)．
A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样
4．(2013课标全国Ⅰ，理4)已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的离心率为，则C的渐近线方程为(　　)．
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝±x
5．(2013课标全国Ⅰ，理5)执行下面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于(　　)．
A．[－3,4]
B．[－5,2]
C．[－4,3]
D．[－2,5]
6．(2013课标全国Ⅰ，理6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为(　　)．
A．cm3 B．cm3
C．cm3 D．cm3
7．(2013课标全国Ⅰ，理7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)．
A．3 B．4 C．5 D．6
8．(2013课标全国Ⅰ，理8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)．
A．16＋8π
B．8＋8π
C．16＋16π
D．8＋16π
9．(2013课标全国Ⅰ，理9)设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a＝7b，则m＝(　　)．
A．5 B．6 C．7 D．8
10．(2013课标全国Ⅰ，理10)已知椭圆E：(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为(　　)．
A． B． C． D．
11．(2013课标全国Ⅰ，理11)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)．
A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．[－2,1] D．[－2,0]
12．(2013课标全国Ⅰ，理12)设△AnBnCn的三边长分别为an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n＝1,2,3，….若b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝，cn＋1＝，则(　　)．
A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列
C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．(2013课标全国Ⅰ，理13)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝__________.
14．(2013课标全国Ⅰ，理14)若数列{an}的前n项和，则{an}的通项公式是an＝_______.
15．(2013课标全国Ⅰ，理15)设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝__________.
16．(2013课标全国Ⅰ，理16)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为__________．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(2013课标全国Ⅰ，理17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.
18．(2013课标全国Ⅰ，理18)(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.
(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．
19．(2013课标全国Ⅰ，理19)(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
(1)求这批产品通过检验的概率；
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．
20．(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
21．(2013课标全国Ⅰ，理21)(本小题满分12分)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．(2013课标全国Ⅰ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.
(1)证明：DB＝DC；
(2)设圆的半径为1，BC＝，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．
23．(2013课标全国Ⅰ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．
24．(2013课标全国Ⅰ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲：已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(2)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：B
解析：∵x(x－2)＞0，∴x＜0或x＞2.
∴集合A与B可用图象表示为：
由图象可以看出A∪B＝R，故选B.
2．
答案：D
解析：∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴.
故z的虚部为，选D.
3．
答案：C
解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样．
4．
答案：C
解析：∵，∴.
∴a2＝4b2，.
∴渐近线方程为.
5．
答案：A
解析：若t∈[－1,1)，则执行s＝3t，故s∈[－3,3)．
若t∈[1,3]，则执行s＝4t－t2，其对称轴为t＝2.
故当t＝2时，s取得最大值4.当t＝1或3时，s取得最小值3，则s∈[3,4]．
综上可知，输出的s∈[－3,4]．故选A.
6．
答案：A
解析：设球半径为R，由题可知R，R－2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OBA为直角三角形，如图．
BC＝2，BA＝4，OB＝R－2，OA＝R，
由R2＝(R－2)2＋42，得R＝5，
所以球的体积为(cm3)，故选A.
7．
答案：C
解析：∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，
∴am＝Sm－Sm－1＝0－(－2)＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3－0＝3.
∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.
∵Sm＝ma1＋×1＝0，∴.
又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴.
∴m＝5.故选C.
8．
答案：A
解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r＝2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为πr2×4×＋4×2×2＝8π＋16.故选A.
9．
答案：B
解析：由题意可知，a＝，b＝，
又∵13a＝7b，∴，
即.解得m＝6.故选B.
10．
答案：D
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A，B在椭圆上，
∴
①－②，得
，
即，
∵AB的中点为(1，－1)，∴y1＋y2＝－2，x1＋x2＝2，
而＝kAB＝，∴.
又∵a2－b2＝9，∴a2＝18，b2＝9.
∴椭圆E的方程为.故选D.
11．
答案：D
解析：由y＝|f(x)|的图象知：
①当x＞0时，y＝ax只有a≤0时，才能满足|f(x)|≥ax，可排除B，C.
②当x≤0时，y＝|f(x)|＝|－x2＋2x|＝x2－2x.
故由|f(x)|≥ax得x2－2x≥ax.
当x＝0时，不等式为0≥0成立．
当x＜0时，不等式等价于x－2≤a.
∵x－2＜－2，∴a≥－2.
综上可知：a∈[－2,0]．
12．
答案：B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．答案：2
解析：∵c＝ta＋(1－t)b，
∴b·c＝ta·b＋(1－t)|b|2.
又∵|a|＝|b|＝1，且a与b夹角为60°，b⊥c，
∴0＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)，
0＝＋1－t.
∴t＝2.
14．答案：(－2)n－1
解析：∵，①
∴当n≥2时，.②
①－②，得，
即＝－2.
∵a1＝S1＝，
∴a1＝1.
∴{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，an＝(－2)n－1.
15．答案：
解析：f(x)＝sin x－2cos x
＝，
令cos α＝，sin α＝，
则f(x)＝sin(α＋x)，
当x＝2kπ＋－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值，
即θ＝2kπ＋－α(k∈Z)，
所以cos θ＝＝＝sin α＝.
16．答案：16
解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，
∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，
即
解得
∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.
由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，
得x1＝－2－，x2＝－2，x3＝－2＋.
易知，f(x)在(－∞，－2－)上为增函数，在(－2－，－2)上为减函数，在(－2，－2＋)上为增函数，在(－2＋，＋∞)上为减函数．
∴f(－2－)＝[1－(－2－)2][(－2－)2＋8(－2－)＋15]
＝(－8－)(8－)
＝80－64＝16.
f(－2)＝[1－(－2)2][(－2)2＋8×(－2)＋15]
＝－3(4－16＋15)
＝－9.
f(－2＋)＝[1－(－2＋)2][(－2＋)2＋8(－2＋)＋15]
＝(－8＋)(8＋)
＝80－64＝16.
故f(x)的最大值为16.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.
故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得，
化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan∠PBA＝.
18．
(1)证明：取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B.
因为CA＝CB，所以OC⊥AB.
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，
故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB.
因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.
又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.
(2)解：由(1)知OC⊥AB，OA1⊥AB.
又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA1B1B，
故OA，OA1，OC两两相互垂直．
以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz.
由题设知A(1,0,0)，A1(0，，0)，C(0,0，)，B(－1,0,0)．
则＝(1,0，)，＝＝(－1，，0)，＝(0，，)．
设n＝(x，y，z)是平面BB1C1C的法向量，
则即可取n＝(，1，－1)．
故cos〈n，〉＝＝.
所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
19．
解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1与A2B2互斥，所以
P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)
＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)
＝.
(2)X可能的取值为400,500,800，并且
P(X＝400)＝，P(X＝500)＝，P(X＝800)＝.
所以X的分布列为
X
400
500
800
P

EX＝＝506.25.
20．
解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝.
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．
由l与圆M相切得，
解得k＝.
当k＝时，将代入，
并整理得7x2＋8x－8＝0，
解得x1,2＝.
所以|AB|＝.
当时，由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝或|AB|＝.
21．
解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1)．
设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，
则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1)．
由题设可得F(0)≥0，即k≥1.
令F′(x)＝0得x1＝－ln k，x2＝－2.
①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)单调递减，在(x1，＋∞)单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)的最小值为F(x1)．
而F(x1)＝2x1＋2－－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.
故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2)．
从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)单调递增．
而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．
③若k＞e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.
从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．
综上，k的取值范围是[1，e2]．
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．
(1)证明：连结DE，交BC于点G.
由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.
而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.
又因为DB⊥BE，
所以DE为直径，∠DCE＝90°，
由勾股定理可得DB＝DC.
(2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC的中垂线，所以BG＝.
设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.
从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于.
23．
解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0.
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为，.
24．
解：(1)当a＝－2时，不等式f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图像如图所示．从图像可知，当且仅当x∈(0,2)时，y＜0.
所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)当x∈时，f(x)＝1＋a.
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2对x∈都成立．
故≥a－2，即.
从而a的取值范围是.
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝(　　)．
A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}
2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝(　　)．
A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i
3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)．
A．