一类含参数的Schr_dinger方程的多解_周琴.pdf

考虑形如-u+a(x)u=f(x,u),x ,u=0,x （1）的一类含参数的Schrdinger方程,其中是Rn中具有光滑边界的有界区域,0,f C1(R,R),a:R连续.Schrdinger方程又称为Schrdinger波动方程,最早由物理学家薛定谔在1926年提出的,是量子力学中最基本的一个方程.Schrdinger方程的一般形式为it=-22m+a(x)-f(x,|).（2）其中：i是虚数单位；表示Planck常数；表示Laplace算子；a(x)表示位势；=(x,t)是一个复值函数；f(x,|)是一个非线性项.Floer等1得到式(2)的驻波解为(x,t)=u(x)e-iEt.将(x,t)代入式（2）,则u(x)满足-u+a(x)u=f(x,u),x ,u=0,x .（3）Bartsch 等2给出了方程(3)在多种不同条件下有不同的解,如若有界,2 p 2=2NN-2且|u|2+a(x)u2dx cu2dx时,方 程(3)存 在 1 个 解.若N 3,p 2,RN且 具 有 光 滑 边 界,a(x)0时,方程无解.若N 4,p=2,0 1且a(x)=-时,方程(3)存在1个解等.吴伟力3在正向上下解的条件下得到了方程(3)的 4 个解,并且知道了解的存在区间,另外若f(x,0)=0,0,则4个解中有1个正解,1个负解和1个变号解.Li等4讨论了方程-u=f(x,u)+g(x,u),x ，u=0,x .（4）在满足|0,f C1(R,R),a:R连续.关键词：Schrdinger方程；多解；下降流不变集；上下解中图分类号：O177文献标识码：A文章编号：2095-2481（2023）02-0118-07收稿日期：2022-01-07*通信作者：曾晶(1981-),女,副教授.E-mail:基金项目：国家自然科学基金(11501110);福建省自然科学基金(2018J01656).第 35 卷第 2 期2023 年 6 月宁德师范学院学报(自然科学版)Journal of Ningde Normal University（Natural Science)Vol.35 No.2Jun.2023DOI:10.15911/ki.35-1311/n.2023.02.019第2期周琴，等：一类含参数的Schrdinger方程的多解lim|t|supf(x,t)|t|2-1+的条件下,至少存在3个解,且若supt 0f(x,t)t 0,当 (0,)时,方程(4)至少有1个非平凡解.王金根7讨论了方程(4)在 0时,存在 0,使得对任意,|的条件下,方程(4)至少有3个非平凡解,其中u1是正的,u2是负的,u3是变号的.张鹏8利用下降流不变集，讨论方程-u=f(x,u)+g(x,u),x ，u=0,x （5）在正向上下解的条件下至少存在4个解,其中至少有2个正解.假设如下(H1)存在正的上下解,C20(),0 0和p (2,2),满足|f(x,t)|c1|t|+c2|t|p-1,x ,t R.其中：2=2NN-2.(H4)存在 2,M 0使得0 F(x,t)f(x,t)t,x ,|t|M.其中：F(x,t)=0tf(x,s)ds.(H5)对任意x ,a(x)0,a:R连续.方程(1)对应的泛函为J(u)=12(|u2+a(x)u2)dx-F(x,u)dx.（6）主要结论是定理1设(H1)(H5)成立,并且J在整个空间上下方有界,则方程(1)至少存在6个解,其中至少有3个正解.文献5讨论了方程(4)在上下解的条件下的解,文献8比文献5多了一项非线性项,讨论了在上下解的条件下方程(5)的解,文献3讨论了方程(3)在上下解的条件下的解,在文献3,5,8-9的启发下,推广了文献3的结果，利用下降流不变集方法,证明在正向上下解的条件下方程(1)至少存在6个解,而且至少有3个正解.文中安排如下：第一部分给出与下降流不变集相关的一些定义,泛函取得临界点的相关引理；第二部分利用这些引理证明泛函(6)至少存在6个临界点.1预备知识首先给出一些记号:记X=C10(),X是 Banach 空间,K=u|u X,f(u)=0,X0=XK.其中：f(u)是f在u X处的梯度算子,X是X的对偶空间.S=u H|J(u)=0.-119宁德师范学院学报(自然科学版)2023年6月设1 p ,Lp()为Banach空间,其范数定义为|u|p=(|u|pdx)1p.在Hilbert空间H=u H10():a(x)u2dx 0，u(0)=u?0.（8）由常微分方程可知,方程(8)的解存在且唯一,记为u(t,u?0),其右向最大存在区间为0,T(u?0).由于对任意t 0,T(u?0),有df(u(t,u?0)dt=(f(u(t,u?0),u(t,u?0)=(f(u(t,u?0),-W(u(t,u?0)-12f(u(t,u?0)2 0.故f(u(t,u?0)关于t在0,T(u?0)上是单调递减的,称u(t,u?0)(0 t T(u?0)是f的下降流曲线.定义 210设非空集合M E,称M是f的由W生成的下降流不变集,如果对任意u0 MK,u(t,u0)|0 t T(u0)M成立.定理211设是RN中的有界光滑区域,1 p ,则对任意1 q p=NpN-p,W1,p()嵌入Lq()是紧的.特别地,对任意的1 q 2,H10()嵌入Lq()是紧的.定理312作如下假设1)J(u)=u-Au,J(u):X X是Lipschitz连续的；2)当0 t supt 0,1J(h(t)，则J至少有四个临界点.其中：u1 D1 D2,u2 D1DX2,u3 D2DX1及u4 X(DX1 DX2),DXi(i=1,2)表示Di在X中的闭包.注1定理3中对u0 X,考虑如下初值问题|du(t)dt=-u(t)+Au(t),u(0)=u0.（9）u(t,u0),u?(t,u0)分别为式(9)在H和X中的唯一饱和解,其右向最大存在区间分别为0,T(u0),0,T?(u0).由于X嵌入H,得T?(u0)T(u0)且当0 t T?(u0)时,u?(t,u0)=u(t,u0).引理19若假设定理3的条件均满足,且泛函J在整个空间上下方有界,则J至少存在6个临界点,其中：u5 D1DX2且u5 u2,u6 D2DX1且u6 u3.引理2J(u):X X是Lipschitz连续的.证明由(H3)可知,|fu(x,u)|c1+c2p-1|u|p-2.对任意um,un,H,z (0,1),由式(7)及(H5)可知|(Aum-Aun,)|=|(f(x,um)-f(x,un)dx|=|fu(x,un+z(um-un)(um-un)dx|(c1+c3|un+z(um-un)|p-2)|um-un|dx(c1+c4(|um|p-2+|un|p-2)|um-un|dx c1|um-un|2|2+c4|um|p-2|um-un|dx+c4|un|p-2|um-un|dx c1|um-un|2|2+c4(|um|p)p-2p(|um-un|p)1p(|p)1p+c4(|un|p)p-2p(|um-un|p)1p(|p)1p=c1|um-un|2|2+c4|um|p-2p|um-un|p|p+c4|un|p-2p|um-un|p|pc5um-un|p+c6|um|p-2pum-un|p+c7|un|p-2pum-un|p=(c5+c6|um|p-2p+c7|un|p-2p)|pum-un.另外由J(u)=u-(-+a)-1(f(x,u)=u-Au可知|J(um)-J(un)|=|um-Aum-un+Aun|um-un|+|Aum-Aun|.故J(u)是H HLipschitz连续的,从而J(u)也是X XLipschitz连续的.引理3如果假设(H3),(H4)成立,则J在空间H10()上满足P.S.条件.证明设un H,满足d=supnJ(un)0使得对任意|u|M,有|F(x,u)-1f(x,u)u|b1|u|.d+o(1)un J(un)-1(J(un),un)=12|un|2+a(x)(un)2dx-F(x,un)dx-1(|un|2+a(x)(un)2dx-f(x,un)undx)=(12-1)|un|2+a(x)(un)2dx+(1f(x,un)un-F(x,un)dx=(12-1)un2+|un|M(1f(x,un)un-F(x,un)dx+|un|M(1f(x,un)un-F(x,un)dx(12-1)un2-b1|un|dx (12-1)un2-b2un.其中：un=(|un|2+a(x)(un)2)dx)12.故 un在H中有界.取 un的子列,不妨仍记为 un,假设当n 时,un u.由于当n 时,(J(un)-J(u),un-u)0.又(J(un)-J(u),un-u)=(J(un),un)-(J(un),u)-(J(u),un)+(J(u),u)=|un|2+a(x)(un)2-f(x,un)undx-unu+a(x)unu-f(x,un)udx-uun+a(x)uun-f(x,u)undx+|u|2+a(x)u2-f(x,u)udx=|un|2-unu-uun+|u|2+a(x)(un)2-a(x)unu-a(x)uun+a(x)u2-f(x,un)un+f(x,un)u+f(x,u)un-f(x,u)udx=|un|2-2unu+|u|2+a(x)(u2n-2unu+u2)-(f(x,un)-f(x,u)(un-u)dx=|(un-u)|2+a(x)(un-u)2dx-(f(x,un)-f(x,u)(un-u)dx=un-u2-(f(x,un)-f(x,u)(un-u)dx.从而，根据条件(H3)及Hlder不等式可知un-u2=(J(un)-J(u),un-u)+(f(x,un)-f(x,u)(un-u)dx o(1)+|f(x,un)-f(x,u)|un-u|dx o(1)+(|f(x,un)|+|f(x,u)|)|un-u|dx o(1)+(c1|un|+c2|un|p-1+c1|u|+c2|u|p-1)|un-u|dx=o(1)+(c1(|un|+|u|)+c2(|un|p-1+|u|p-1)|un-u|dx o(1)+c1(|un|2+|u|2)|un-u|2+c2(|un|p-1p+|u|p-1p)|un-u|p.由定理2可知,对任意的2 s 2,H嵌入Ls()是紧的,则在Ls()中当n 时,un u,故当n 时,|un-u|2 0,|un-u|p 0.因此,当n 时,un-u 0.引理491)当0 t T?(u0)时,T?(u0)=T(u0)和u?(t,u0)=u(t,u0).2)对u E,若limt T(u0)u(t,u0)=u在H中成立,则在X中也成立.引理513设a(x)0,函数u C2()C()且在内满足Lu:=-u+a(x)u ,x ,且unn,x ,D2=u C10()|u n,x .其中：,是由条件(H1)所定义的一对正的上下解,n是上的外法线单位向量.对任意的u1(x),u2(x)D1,任意的 0,1,若x ,则有u1(x)+(1-)u2(x)(x)+(1-)(x)=(x).若x ,则有u1n+(1-)u2n f(x,)-+a,对任意的x ,有v=0.故由引理5可知,对任意的x ,有v ,且对任意的x ,有vn 0,c9 0使得对任意的x ,t R,有F(x,t)c8|t|-c9.对X中任意一个有限维空间X1 X,若u X1,则有J(u)=12(uu+a(x)u2)dx-F(x,u)dx=12u2-F(x,u(x)dx 12u2-c8|u|dx+c9|=12u2-c8|u|+c9|.因为在有限维空间中,任何两个范数等价且 2,所以存在d1 0,d2 0,使得若u X1,有J(u)-d1u2+d2.因此当u 时,J(u)-.令hR1(s)=R1cos(s)1+R1sin(s)2.其中：R1 0,0 s 1,1,2表示特征函数且假设在中1 0.当s=0时,hR1(0)=R11,当R1充分大时,hR1(0)D1.当s=1时,hR1(1)=-R11,当R1充分大时,hR1(1)D2.当R1充分大时,u充分大,则J(u)充分小,又当u DX1 DX2时,u ,J(u)下方有-123宁德师范学院学报(自然科学版)2023年6月界.因此,infu DX1 DX2J(u)supt 0,1J(hR1(t).故上述道路hR1:0,1 X,满足hR1(0)D1D2,hR1(1)D2D1,且infu DX1 DX2J(u)supt 0,1J(hR1(t).从而结合定理3及引理1可知,J至少有6个临界点，即u1 D1 D2,u2,u5 D1DX2且u2 u5,u3,u6 D2DX1且u3 u6,u4 X(DX1 DX2).而0 0,f C1(R,R),a:Ris a continuous function.We obtain that the equation has at least six solutions andat least three positive solutions by using the invariant sets of descending flow.Key words:Schrdinger equation;multiple solutions;invariant sets of descending flow;sub-and-super solution责任编辑郭涓-124