2019高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量微点深化极化恒等式的应用学案.pdf

1微点深化极化恒等式的应用1.极化恒等式：ab14(ab)2(ab)2 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.2.平行四边形PMQN，O是对角线交点.则：(1)PMPN14|PQ|2|NM|2(平行四边形模式)；(2)PMPN|PO|214|NM|2(三角形模式).【例题】(1)在ABC中，M是BC的中点，AM 3，BC10，则ABAC_.(2)(2018 上海调研)已知正三角形ABC内接于半径为2 的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PAPB的取值范围是_.解析(1)因为M是BC的中点，由极化恒等式得：ABAC|AM|214|BC|291410016.(2)取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC 2OD 2，所以CD3，AB23.又由极化恒等式得：PAPB|PD|214|AB|2|PD|23，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min1，所以PAPB 2，6.答案(1)16(2)2，6 探究提高1.在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.2.涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围，最值即可求出.【题组训练】(1)(2018 诸暨适应性考试)已知AB是圆O的直径，AB长为 2，C是圆O上异于A，B的一2点，P是圆O所在平面上任意一点，则(PAPB)PC的最小值为()A.14B.13C.12D.1 解析PAPB2PO，(PAPB)PC2POPC，取OC中点D，由极化恒等式得，POPC|PD|214|OC|2|PD|214，又|PD|2min0，(PAPB)PC的最小值为12.答案C(2)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD的值是()A.44 B.22 C.24 D.72 解析如图，取AB中点E，连接EP并延长，交AD延长线于F，APBP（APBP）2（APBP）24（2EP）2AB24 2，EP32，又CP3PD，AEEB，ABDC，AE2DP，即FAE中，DP为中位线，AF2AD10，AE12AB4，FE2PE 62，ADABAFAEAF2AE2EF221001672222.答案B(3)若点O和点F分别为椭圆x24y23 1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.8 解析如图，由已知|OF|1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得：OPFP|PE|214|OF|2|PE|214，|PE|2max254，OPFP的最大值为6.答案C(4)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DEDA的值为 _.3解析取AE中点O，设|AE|x(0 x1)，则|AO|12x，DEDA|DO|214|AE|2 1212x214x2 1.答案1(5)(2018 镇海中学模拟)在面积为 2 的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则PCPBBC2的最小值是 _.解析取BC的中点为D，连接PD，则由极化恒等式得PCPBBC2PD2BC24BC2PD23BC24AD243BC24此时当且仅当ADBC时取等号，PCPBBC2AD243BC242AD243BC2423.答案23