1、1微点深化极化恒等式的应用1.极化恒等式：ab14(ab)2(ab)2 几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14.2.平行四边形PMQN，O是对角线交点.则：(1)PMPN14|PQ|2|NM|2(平行四边形模式)；(2)PMPN|PO|214|NM|2(三角形模式).【例题】(1)在ABC中，M是BC的中点，AM 3，BC10，则ABAC_.(2)(2018 上海调研)已知正三角形ABC内接于半径为2 的圆O，点P是圆O上的一个动点，则PAPB的取值范围是_.解析(1)因为M是BC的中点，由极化恒等式得：ABAC|AM|214|BC
2、|291410016.(2)取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC 2OD 2，所以CD3，AB23.又由极化恒等式得：PAPB|PD|214|AB|2|PD|23，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min1，所以PAPB 2，6.答案(1)16(2)2，6 探究提高1.在运用极化恒等式的三角形模式时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式.2.涉及数量积的范围或最值时，可以利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围，最值
3、即可求出.【题组训练】(1)(2018 诸暨适应性考试)已知AB是圆O的直径，AB长为 2，C是圆O上异于A，B的一2点，P是圆O所在平面上任意一点，则(PAPB)PC的最小值为()A.14B.13C.12D.1 解析PAPB2PO，(PAPB)PC2POPC，取OC中点D，由极化恒等式得，POPC|PD|214|OC|2|PD|214，又|PD|2min0，(PAPB)PC的最小值为12.答案C(2)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，CP3PD，APBP2，则ABAD的值是()A.44 B.22 C.24 D.72 解析如图，取AB中点E，连接EP并延长，交AD延长线于F，A
4、PBP（APBP）2（APBP）24（2EP）2AB24 2，EP32，又CP3PD，AEEB，ABDC，AE2DP，即FAE中，DP为中位线，AF2AD10，AE12AB4，FE2PE 62，ADABAFAEAF2AE2EF221001672222.答案B(3)若点O和点F分别为椭圆x24y23 1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFP的最大值为()A.2 B.3 C.6 D.8 解析如图，由已知|OF|1，取FO中点E，连接PE，由极化恒等式得：OPFP|PE|214|OF|2|PE|214，|PE|2max254，OPFP的最大值为6.答案C(4)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DEDA的值为 _.3解析取AE中点O，设|AE|x(0 x1)，则|AO|12x，DEDA|DO|214|AE|2 1212x214x2 1.答案1(5)(2018 镇海中学模拟)在面积为 2 的ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，点P在直线EF上，则PCPBBC2的最小值是 _.解析取BC的中点为D，连接PD，则由极化恒等式得PCPBBC2PD2BC24BC2PD23BC24AD243BC24此时当且仅当ADBC时取等号，PCPBBC2AD243BC242AD243BC2423.答案23
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