通用版2023高中数学导数及其应用考点突破.pdf

1 (每日一练每日一练)通用版通用版 20232023 高中数学导数及其应用考点突破高中数学导数及其应用考点突破 单选题 1、已知 ，设函数()=2 2+2,1,ln,1,若关于的不等式()0在上恒成立，则的取值范围为 A0,1B0,2C0,D1,答案：C 解析：先判断 0时，2 2+2 0在(,1上恒成立；若 ln 0在(1,+)上恒成立，转化为 ln在(1,+)上恒成立 (0)0，即 0，（1）当0 1时，()=2 2+2=()2+2 2 2 2=(2 )0，当 1时，(1)=1 0，故当 0时，2 2+2 0在(,1上恒成立；若 ln 0在(1,+)上恒成立，即 ln在(1,+)上恒成立，令()=ln，则()=ln1(ln)2，当 ,函数单增，当0 ,函数单减，故()=()=，所以 当 0时，2 2+2 0在(,1上恒成立；综上可知，的取值范围是0,，2 故选 C 小提示：本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析 2、已知函数()=2+1,03+3+,0 的值域为1,+)，则实数的取值范围是（）A1,+)B(1,+)C(3,+)D3,+)答案：D 解析：求出函数=2+1在 0时值的集合，函数=3+3+在 0时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.当 0时，()=2+1在0,+)上单调递增，0,+)，()(0)=1，则()在0,+)上值的集合是1,+)，当 0时，()=3+3+，()=32+3=3(+1)(1)，当 1时，()0，当1 0，即()在(,1)上单调递减，在(1,0)上单调递增，0，()(1)=2，则()在(,0)上值的集合为 2,+)，因函数()=2+1,03+3+,0，令1+1=2，得=1，故切点横坐标为 1，当=1时，=ln1+1+1=2，所以切点坐标为(1,2)，所以切线方程为 2=2(1)，即=2.5、已知1 2，函数()=e ，其中e=2.71828为自然对数的底数（）证明：函数=()在(0，+)上有唯一零点；（）记x0为函数=()在(0，+)上的零点，证明：（）1 0 2(1)；（）0(0)(1)(1)答案：（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.解析：（I）方法一：先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；（ii）方法一：先根据零点条件转化：0(0)=0(0+)，再根据1 0,1,()0,()在(0,+)上单调递增，1 0,(0)=1 0)只有 1 个交点 记=,()=(0)，由于()=1 0在(0,+)内恒成立，所以()在(0,+)内单调递增，故()(0)=1 因此，当1 0)只有 1 个交点（II）（i）(0)=0,0 0 =0，1 0 2(1)0 0 1 02 2(0 0 1)，令()=1 2(0 2),()=1 22(0 0，()(0)=0,()在(0,2)单调递增，()(0)=0，1 22 0,2(1)2，另一方面：1 2 1 1，所以当0 1时，1 0成立，因此只需证明当0 1时，()=1 2 0，因为()=1 2=1()，1()=2=0 =ln2 当 (0,ln2)时，1()0，所以()max(0),(1),(0)=0,(1)=3 0,()0，6 ()在(0,1)单调递减，()(0)=0，1 0，1 0 2(1)，(0)(1)=1(1)1+(2)=(1)(1)+1(2)，因为1 ,2(1)，(0)(1)(1)+2(1)1(2)，只需证明2(1)1(2)(1)(1)2，即只需证明4(2)2(1)2(1)，令()=4(2)2(1)2(1),(1 0，()(1)=4(2)2 0，即4(2)2(1)2(1)成立，因此0(ex0)(e 1)(1).方法二【最优解】：放缩转化法 0(0)(1)(1)0(0+)(1)(1)设(0)=0(0+)(1 0 2(1)，则由0+1+0+得(0)=(0+1)0+2(0+)(0+1)(0+1)2(0+)0 从而只要证(1)(1)(1)0 上式左边=1+2+1(1)使用不等式 +1,可得1+2+1(1)(1+1)2+1(7 1)=(2)+(1)1 0【整体点评】（）方法一：直接研究函数的单调性，并根据零点存在定理证得结论，为通性通法；方法二：先分离常数，转化为证明水平直线=与函数()=(0)的图象交点个数问题，为最优解；（）（）通过分析，转化，然后构造函数证得；（）方法一：构造函数(0)=0(1)0+(2)，利用导数研究单调性，求得最小值，然后根据条件放缩转化为证明不等式2(1)1(2)(1)(1)2利用作差法构造关于实数的函数，利用导数证得此不等式，为该题的通性通法；方法二：利用0+1+0+放缩判定(0)=0(0+)的导函数大于零，确定单调性，得到其最小值，转化为1+2+1(1)0，然后利用不等式+1,放缩证明，运算相对简洁，为最优解.