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通用版2023高中数学导数及其应用考点突破.pdf

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通用版2023高中数学导数及其应用考点突破.pdf

1、1 (每日一练每日一练)通用版通用版 20232023 高中数学导数及其应用考点突破高中数学导数及其应用考点突破单选题 1、已知，设函数()=2 2+2,1,ln,1,若关于的不等式()0在上恒成立，则的取值范围为 A0,1B0,2C0,D1,答案：C 解析：先判断 0时，2 2+2 0在(,1上恒成立；若 ln 0在(1,+)上恒成立，转化为 ln在(1,+)上恒成立 (0)0，即 0，（1）当0 1时，()=2 2+2=()2+2 2 2 2=(2 )0，当 1时，(1)=1 0，故当 0时，2 2+2 0在(,1上恒成立；若 ln 0在(1,+)上恒成立，即 ln在(1,+)上恒成立

2、，令()=ln，则()=ln1(ln)2，当 ,函数单增，当0 ,函数单减，故()=()=，所以当 0时，2 2+2 0在(,1上恒成立；综上可知，的取值范围是0,，2 故选 C 小提示：本题考查分段函数的最值问题，关键利用求导的方法研究函数的单调性，进行综合分析 2、已知函数()=2+1,03+3+,0 的值域为1,+)，则实数的取值范围是（）A1,+)B(1,+)C(3,+)D3,+)答案：D 解析：求出函数=2+1在 0时值的集合，函数=3+3+在 0时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.当 0时，()=2+1在0,+)上单调递增，0,+)，()(0)=1，则()在0,+)上

3、值的集合是1,+)，当 0时，()=3+3+，()=32+3=3(+1)(1)，当 1时，()0，当1 0，即()在(,1)上单调递减，在(1,0)上单调递增，0，()(1)=2，则()在(,0)上值的集合为 2,+)，因函数()=2+1,03+3+,0，令1+1=2，得=1，故切点横坐标为 1，当=1时，=ln1+1+1=2，所以切点坐标为(1,2)，所以切线方程为 2=2(1)，即=2.5、已知1 2，函数()=e ，其中e=2.71828为自然对数的底数（）证明：函数=()在(0，+)上有唯一零点；（）记x0为函数=()在(0，+)上的零点，证明：（）1 0 2(1)；（）0(0)(1)

4、(1)答案：（I）证明见解析，（II）（i）证明见解析，（ii）证明见解析.解析：（I）方法一：先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；（II）（i）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；（ii）方法一：先根据零点条件转化：0(0)=0(0+)，再根据1 0,1,()0,()在(0,+)上单调递增，1 0,(0)=1 0)只有 1 个交点记=,()=(0)，由于()=1 0在(0,+)内恒成立，所以()在(0,+)内单调递增，故()(0)=1 因此，当1 0)只有 1 个交点（II）（i）(0)=0,0

5、 0 =0，1 0 2(1)0 0 1 02 2(0 0 1)，令()=1 2(0 2),()=1 22(0 0，()(0)=0,()在(0,2)单调递增，()(0)=0，1 22 0,2(1)2，另一方面：1 2 1 1，所以当0 1时，1 0成立，因此只需证明当0 1时，()=1 2 0，因为()=1 2=1()，1()=2=0 =ln2 当 (0,ln2)时，1()0，所以()max(0),(1),(0)=0,(1)=3 0,()0，6 ()在(0,1)单调递减，()(0)=0，1 0，1 0 2(1)，(0)(1)=1(1)1+(2)=(1)(1)+1(2)，因为1 ,2(1)，(0)

6、(1)(1)+2(1)1(2)，只需证明2(1)1(2)(1)(1)2，即只需证明4(2)2(1)2(1)，令()=4(2)2(1)2(1),(1 0，()(1)=4(2)2 0，即4(2)2(1)2(1)成立，因此0(ex0)(e 1)(1).方法二【最优解】：放缩转化法 0(0)(1)(1)0(0+)(1)(1)设(0)=0(0+)(1 0 2(1)，则由0+1+0+得(0)=(0+1)0+2(0+)(0+1)(0+1)2(0+)0 从而只要证(1)(1)(1)0 上式左边=1+2+1(1)使用不等式 +1,可得1+2+1(1)(1+1)2+1(7 1)=(2)+(1)1 0【整体点评】（）方法一：直接研究函数的单调性，并根据零点存在定理证得结论，为通性通法；方法二：先分离常数，转化为证明水平直线=与函数()=(0)的图象交点个数问题，为最优解；（）（）通过分析，转化，然后构造函数证得；（）方法一：构造函数(0)=0(1)0+(2)，利用导数研究单调性，求得最小值，然后根据条件放缩转化为证明不等式2(1)1(2)(1)(1)2利用作差法构造关于实数的函数，利用导数证得此不等式，为该题的通性通法；方法二：利用0+1+0+放缩判定(0)=0(0+)的导函数大于零，确定单调性，得到其最小值，转化为1+2+1(1)0，然后利用不等式+1,放缩证明，运算相对简洁，为最优解.