排列组合解题策略与方法学案版.docx

高考数学复习 排列组合解题策略与强化训练
排列组合问题是高考的必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.
复习巩固
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．
2.分步计数原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．
3.分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
1.认真审题弄清要做什么事
2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.
4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略
一.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
例1. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.
解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有种不同的排法

要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.

强化训练:
1.某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为
2.五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有 .
A、60种 B、48种 C、36种 D、24种
3.四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有 种.
4.某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有 .
二.不相邻问题插空法
例2.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有种
元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端

强化训练：
1.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 。
2. 在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？
3. 七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 .
A、1440种 B、3600种 C、4820种 D、4800种
4. 排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。
（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有 种。
（2）歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有 种。

三.特殊元素和特殊位置优先策略
例3.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.
解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,
以免不合要求的元素占了这两个位置.
先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步计数原理得
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

强化训练:
1. 1名老师和4名获奖学生排成一排照像留念，若老师不排在两端，则共有不同的排法 种．
2.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名队员参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种.
3. 用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。

4. 三个女生和五个男生排成一排
（1）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？
（2）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

5.1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？

四.间接法 当直接法求解类别比较大时，可采用间接法。
例4. 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．
分析与解法：6六门课总的排法是，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有种排法，如图中Ⅰ；数学排在最后一节有种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一节，如图中Ⅲ，这种情况有种排法，因此符合条件的排法应是： （种）．
强化训练：
1. 三个女生和五个男生排成一排，如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

2. 用0,1,2,3,4,5这六个数字,能组成多少个无重复数字的四位数？

3. 已知有5名男生和4名女生, 排成一排，如果男生甲不站排头，女生乙不站排尾，则有多少种不同的排法？

五.标号排位问题:
例5.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选.
但是此种问题元素个数最大一般为5，所以可以采取记忆的方法。
2人站队，站好后打乱顺序重新站队，2人不站在原来位置的站法有1种。
3人站队，站好后打乱顺序重新站队，3人不站在原来位置的站法有2种。
4人站队，站好后打乱顺序重新站队，4人不站在原来位置的站法有9种。
5人站队，站好后打乱顺序重新站队，5人不站在原来位置的站法有44种。
六.定序问题缩倍空位插入策略:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数和的方法，还可以使用占位插入法.
例6. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法
解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：
(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有种方法。
思考:可以先让甲乙丙就坐吗?
（插入法1)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法
（插入法2) 先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入，分别有4,5,6,7个空可以插，共有4x5x6x7种
定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插入。
空模型处理

可以这样理解：

强化训练：
1.五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数是（ ）
A、24种 B、60种 C、90种 D、120种

2. 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

3.若把英文单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有 种。

七.分组问题

n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有完全不平均分组、完全平均分组、和不完全平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者无顺序后者有顺序。对于后者必须先分组后排列。
典型例题：6本不同的书分成三组。
1.平均分成三组（2,2,2无序）。
2.平均分给三个人（2,2,2有序）。
3.一组1本，一组2本，一组3本（无序）。
4.分给甲乙丙3个人，一人1本，1人2本，1人3本（有序）。
5.一组1本，一组1本，一组4本（无序）。
6.分给甲乙丙3个人，一人1本，1人1本，1人4本（有序）。
一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
变式训练：6本不同的书分成三组。
1.平均分给甲乙丙三个人，其中甲2本，乙2本，丙2本。
2.分给甲乙丙3个人，其中甲1本，乙2本，丙3本。
3.分给甲乙丙3个人，其中甲1本，乙1本，丙4本。
强化训练：
1. 已知有5名男生和4名女生。
（1）分成3组，一组2人，一组3人，一组4人，有多少种不同分配方式？
（2）分成甲，乙，丙三组，一组2人，一组3人，一组4人，有多少种不同分配方式？
（3）平均分成3组，每组3人，有多少种不同分配方式？
（4）平均分成甲，乙，丙3组，每组3人，有多少种不同分配方式？
（5）分成3组，一组5人，另外两组每组2人，有多少种不同分配方式？
（6）甲，乙，丙3组中，一组5人，另外两组每组2人，有多少种不同分配方式？
（7）甲组2人，乙组2人，丙组5人，有多少种不同分配方式？

2.将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种。

八.多排问题直排策略
例8.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有种,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种

一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.

强化训练：
1.6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数是（ ）
A、36种 B、120种 C、720种 D、1440种
2.8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有 种不同排法。
3.有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 。

九.环排问题，剪断直排

例9. 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即！

一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有

强化训练：
1.6颗颜色不同的钻石，可穿成 种钻石圈.

2.5对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？

十. 元素相同问题隔板策略

例10.有10张完全相同的桌子，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10张完全相同的桌子没有差别，把它们排成一排。相邻桌子之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。

将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为

强化训练：
1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法？
2. 某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共 种 。
十一. 分解与合成策略
例11. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5 × 7 ×11×13依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：
例12.正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线
分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案 ,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略。

十二.化归策略
例13. 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？

解：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有种。再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有选法所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有选法。
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题

强化训练:
1. 某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走
到B的最短路径有多少种？

2. 圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点最多有多少个？

十三.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 种
一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决

练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？

十四. 合理分类与分步策略
例15.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有 种。
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

练习题：
1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有多少种？

2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.

本例题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果

限制条件的分配问题分类法:
例16.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
①若甲乙都不参加，则有派遣方案种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；③若乙参加而甲不参加同理也有种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数为种.
多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.
例17.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有
A、210种 B、300种 C、464种 D、600种
解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有、、、和个，合并总计300个,选.
（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？
解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做共有86个元素；由此可知，从中任取2个元素的取法有，从中任取一个，又从中任取一个共有，两种情形共符合要求的取法有种.
（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？
解析：将分成四个不相交的子集，能被4整除的数集；能被4除余1的数集，能被4除余2的数集，能被4除余3的数集，易见这四个集合中每一个有25个元素；从中任取两个数符合要；从中各取一个数也符合要求；从中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有种.
十五.排列组合专题之染色问题
涂色问题的突破口：不相邻的区域可以同色也可以不同色（换一句话说也就是能用几种染色来完成这件事情），从而先用分类，再用分步解决。
根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
一.区域涂色问题
例1.用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
②
①
③
④

分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
二.点的涂色问题
方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨论
（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，
（3）将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。

例2.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是多少？
解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜色中任选一种染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种涂A、B、C、D四点，此时只能A与C、B与D分别同色，故有种方法。
（2）若恰用四种颜色染色，可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S，再从余下的四种颜色中任选两种染A与B，由于A、B颜色可以交换，故有种染法；再从余下的两种颜色中任选一种染D或C，而D与C，而D与C中另一个只需染与其相对顶点同色即可，故有种方法。
（3）若恰用五种颜色染色，有种染色法
综上所知，满足题意的染色方法数为60+240+120=420种。
解法二：设想染色按S—A—B—C—D的顺序进行，对S、A、B染色，有 种染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到D点颜色的选取方法数，故分类讨论：
S
C
D
A
B
C与A同色时（此时C对颜色的选取方法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D也有2种颜色可供选择，从而对C、D染色有种染色方法。
由乘法原理，总的染色方法是
三.线段涂色问题
对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，
主要方法有：（1）根据共用了多少颜色分类讨论
（2）根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色　，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
解法一：（1）使用四颜色共有种
（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有种，
（3）使用二种颜色时，则两组对边必须分别同色，有种
　因此，所求的染色方法数为种
解法二：涂色按AB－BC－CD－DA的顺序进行，对AB、BC涂色有种涂色方法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色，这影响到DA颜色的选取方法数，
故分类讨论：
当CD与AB同色时，这时CD对颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可供选
当CD与AB不同色时，CD有两种可供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜色，从而对CD、DA涂色有种涂色方法。
由乘法原理，总的涂色方法数为种
　　　　例8、用六种颜色给正四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？
解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同，
故有种方法。
（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组之间不同色，故有种方法。
（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色，故有种方法。
（4）若恰用六种颜色涂色，则有种不同的方法。
综上，满足题意的总的染色方法数为种。
四.面涂色问题
对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：按色数来分
例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方案共有多少种？
分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多种不同情况，仍应考虑利用加法原理分类、乘法原理分步进行讨论
解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论
（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面，则其余3个面有3！种涂色方案，根据乘法原理
（2）共用五种颜色，选定五种颜色有种方法，必有两面同色（必为相对面），确定为上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择（前后面可通过翻转交换）
(3)共用四种颜色,仿上分析可得
(4)共用三种颜色,
A
B
C
D
P
例10、四棱锥，用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻不同色，有多少种涂法？

5
3
2
1
4

解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面，区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：
（1） 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有种；
（2） 当用4种颜色时，1与3同色、2与4两组中只能有一组同色，此时有；
故满足题意总的涂色方法总方法交总数为
十六。元素成双，先组后拆
.
十七.等价转化，变换思维

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