动量矩定理例题.doc

第12章 动量矩定理

12-1 质量为m的点在平面Oxy内运动，其运动方程为：

式中a、b和为常量。求质点对原点O的动量矩。
解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度

质点对点O的动量矩为

12-3 如图所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，AC = e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时，若vA 、已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。

解：（1）当轮子只滚不滑时B点为速度瞬心。
轮子角速度
质心C的速度
轮子的动量 （方向水平向右）
对B点动量矩
由于
故
（2）当轮子又滚又滑时由基点法求得C点速度。

轮子动量 （方向向右）
对B点动量矩

12-5 图示水平圆板可绕z轴转动。在圆板上有一质点M作圆周运动，已知其速度的大小为常量，等于v0，质点M的质量为m，圆的半径为r，圆心到z轴的距离为l，M点在圆板的位置由角确定，如图所示。如圆板的转动惯量为J，并且当点M离z轴最远在点M0时，圆板的角速度为零。轴的摩擦和空气阻力略去不计，求圆板的角速度与角的关系。
解：以圆板和质点M为系统，因为系统所受外力（包括重力和约束反力），对z轴的矩均为零，故系统对z轴动量矩守恒。在任意时刻M点的速度包含相对速度v0和牵连速度ve。其中。设质点M在M0 位置为起始位置，该瞬时系统对z轴的动量矩为

在任意时刻：

由图（a）可看出
根据动量矩守恒定律
代入解得

12-7 图示两带轮的半径为R1和R2，其质量各为m1和m2，两轮以胶带相连接，各绕两平行的固定轴转动。如在第一个带轮上作用矩为M的主动力偶，在第二个带轮上作用矩为的阻力偶。带轮可视为均质圆盘，胶带与轮间无滑动，胶带质量略去不计。求第一个带轮的角加速度。
解：分别取两皮带轮为研究对象，其受力分析如图所示，其中。以顺时针转向为正，分别应用两轮对其转动轴的转动微分方程有

将
代入式（1）、（2），联立解得
式中 ，

12-9 图示通风机的转动部分以初角速度绕中心轴转动，空气的阻力矩与角速度成正比，即，其中k为常数。如转动部分对其轴的转动惯量为J，问经过多少时间其转动角速度减少为初角速度的一半？又在此时间内共转过多少转？
解：以通风机的转动部分为研究对象，应用动量矩定理得
把 代入后，分离变量

上式积分
解得
再对式（1）积分，将等式左边积分上限改为，得

解得
即
故
把 代入，得
由于 所以
最后得转动部分共转过圈数

12-11 均质圆轮A质量为m1，半径为r1，以角速度绕杆OA的A端转动，此时将轮放置在质量为m2的另一均质圆轮B上，其半径为r2，如图所示。轮B原为静止，但可绕其中心自由转动。放置后，轮A的重量由轮B支持。略去轴承的摩擦和杆OA的重量，并设两轮间的摩擦系数为f。问自轮A放在轮B上到两轮间没有相对滑动为止，经过多少时间？
解：分别取轮A、B为研究对象，其受力和运动分析如图（a）及（b）所示，根据刚体绕定轴转动的微分方程式，对A、B轮分别有

分离变量并积分

得到

由题意知，将其代入以上两式，联立求解得

注意到 。代入上式解得

12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 mm，无初速地沿倾角的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m。试求轮子对轮心的惯性半径。
解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（a）所示，根据刚体平面运动微分方程有
（1）

JC = Fr （2）
因轮子只滚不滑，所以有 aC =r （3）
将式（3）代入式（1）、（2）消去F得到
上式对时间两次积分，并注意到t = 0时，则

把 r = 0.025 m及t = 5 s时，代入上式得

12-15 图示两小球A和B，质量分别为mA = 2 kg，mB =1 kg，用AB = l = 0.6m的杆连接。在初瞬时，杆在水平位置，B不动，而A的速度，方向铅直向上，如图所示。杆的质量和小球的尺寸忽略不计。求：（1）两小球在重力作用下的运动；（2）在t = 2 s时，两小球相对于定坐标系Oxy的位置；（3）t = 2 s时杆轴线方向的内力。
解：取球A、B和连杆进行研究，系统只受重力作用，定坐标系Oxy，其坐标原点O取在运动开始前系统的质心C点上如图（a）。由于mA ：mB = 2 ：1，所以AC ：BC = 1：2；AC = 0.2 m，BC = 0.4 m。
（1）由于系统水平方向不受外力，且开始时系统静止，所以系统质心C的坐标xC = 0。又由于对质心C的外力矩之和为零，系统对质心C的动量矩守恒，由此得

代入数据解得 ，
由质心运动定理MaC = F在y方向投影式
式中 ，m = mA + mB，
代入上式并对时间两次积分，得到
由初始条件知t = 0时，
求得

两小球的运动可由两小球与AB杆组成系统的平面运动方程表达：

（2）t = 2 s时，
yC = - 17.1 m
由此可见两球与杆所组成的系统所占有位置与初始位置平行，仅向下移动了17.1 m的距离。
（3）t = 2 s时杆轴线方向的内力为拉力，由于，故其大小为

12-17 图示均质杆AB长为l，放在铅直平面内，杆的一端A靠在光滑铅直墙上，另一端B放在光滑的水平地板上，并与水平面成角。此后，令杆由静止状态倒下。求（1）杆在任意位置时的角加速度和角速度；（2）当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。
解：（1）取均质杆为研究对象，受力分析及建立坐标系Oxy如图（a），杆AB作平面运动，质心在C点。
刚体平面运动微分方程为

由于
将其对间t求两次导数，且注意到 ，得到

将式（4）、（5）代入式（1）、（2）中，得

再将FNA，FNB的表达式代入式（3）中，得

即
把 代入上式得
而
分离变量并积分得

（2）当杆脱离墙时FNA = 0，设此时
则
将和表达式代入上式解得

12-19 均质实心圆柱体A和薄铁环B的质量均为m，半径都等于r，两者用杆AB铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为，如图所示如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的内力。

解：分别取圆柱A和薄铁环B为研究对象，其受力分析如图（a）、（b）所示，A和B均作平面运动，杆AB作平动，由题意知
。
对圆柱A有

对薄铁环B有

联立求解式（1）、（2）、（3）、（4），并将，以及根据只滚不滑条件得到的a = r代入，解得 （压力）及

12-21 图示均质圆柱体的质量为m，半径为r，放在倾角为的斜面上。一细绳缠绕在圆柱体上，其一端固定于点A，此绳与A相连部分与斜面平行。若圆柱体与斜面间的摩擦系数为，试求其中心沿斜面落下的加速度aC。
解：取均质圆柱为研究对象，其受力如图（a）所示，圆柱作平面运动，则其平面运动微分方程为

而 F = fFN （4）
圆柱沿斜面向下滑动，可看作沿AD绳向下滚动，且只滚不滑，所以有 aC=r
把上式及代入式（3）、（4）解方程（1）至（4），得
aC = 0.355g （方向沿斜面向下）

12-23 均质圆柱体A和B的质量均为m，半径为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，如图所示。摩擦不计。求：（1）圆柱体B下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体A上作用一逆时针转向，矩为M的力偶，试问在什么条件下圆柱体B的质心加速度将向上。

解：（1）分别取轮A和B研究，其受力如图（a）、（b）所示，轮A定轴转动，轮B作平面运动。
对轮A运用刚体绕定轴转动微分方程
（1）
对轮B运用刚体平面运动微分方程有
(2)
（3）
再以C为基点分析B点加速度，有
（4）
联立求解式（1）、（2）、（3）、（4），并将
及代入，解得

2）若在A轮上作用一逆时针转矩M，则轮A将作逆时针转动，对A运用刚体绕定轴转动微分方程有 （5）
以C点为基点分析B点加速度，根据题意，在临界状态有
（6）
联立求解式（5）、（6）和（2）、（3）并将及代入，得

故当转矩时轮B的质心将上升。
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